《高等工程数学》习题二参考答案.doc

高等工程数学习题二参考答案（姚仰新，罗家洪，庄楚强，华南理工大学出版社）由于时间仓促，错误难免，请把意见发到，谢谢.1、1）因为，所以有效数字为6位，其误差为，相对误差为。2）因为，所以所以有效数字为7位，其误差为，相对误差为。2、解：1），回代可得，即方程组的解为。2）回代可得，即方程组的解为。3) 分三个步骤：（i）求分解式. 求Doolittle分解，即，(ii) 求解，用前推过程(iii) 求解，用回代过程 回代可得，即方程组的解为。3、解：1），设， 解得，所以，即2），设， 解得，所以，即4、解：A=16 4 8;4 5 -4;8 -4 22;b = -4; 3; 10;n = length(b);L = cholfrac(A);y = zeros(n,1);y(1) = b(1)/L(1,1);for i = 2:n y(i) = (b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)/L(i,i);endx = zeros(n,1);x(n) = y(n)/L(n,n);for i = n-1:-1:1 x(i) = (y(i) - L(i+1:n,i)*x(i+1:n) )/L(i,i);endxx = -2.2500 4.0000 2.00005. 由第133页（6.33）式，范数取为无穷范数，用MATLAB可得附： A=1 0 -1;2 2 1; 0 2 2; b=1/2 1/3 -2/3; cond(A,inf); cond(A,inf)*1/2*1e-6/norm(b,inf)ans = 1.6875e-0056. 解：(1)，重写为，所以Jacobi迭代格式，即，Jacobi迭代矩阵.所以Gauss-Seidel迭代格式， 整理得，所以Gauss-Seidel迭代矩阵，(2) 因为，所以J迭代和GS迭代都收敛。(3)clearclcA=10 -2 -2; -2 10 -1; -1 -2 3;b=1; 0.5; 1;D = diag(diag(A);L = -(tril(A)-D);U = -(triu(A)-D);B = inv(D)*(L+U);f = inv(D)*b;n = length(b);x0 = 0*ones(n,1);% 雅克比迭代法for k = 1:3 x1 = B*x0 + f; fprintf( 雅克比迭代法经过 %d 迭代后的结果为n,k) fprintf(%f %f %f n,x1) x0 = x1;endrho1 = max(abs(eig(B);fprintf(雅克比迭代法谱半径 %f n,rho1)% 高斯-赛德尔迭代法B = inv(D-L)*U;f = inv(D-L)*b;x0 = 0*ones(n,1);for k = 1:3 x1 = B*x0 + f; fprintf(高斯-赛德尔迭代法经过 %d 迭代后的结果为n,k) fprintf(%f %f %f n,x1) x0 = x1;endrho2 = max(abs(eig(B);fprintf(高斯-赛德尔迭代法谱半径 %f n,rho2)运行结果为：雅克比迭代法经过 1 迭代后的结果为0.100000 0.050000 0.333333 雅克比迭代法经过 2 迭代后的结果为0.176667 0.103333 0.400000 雅克比迭代法经过 3 迭代后的结果为0.200667 0.125333 0.461111 雅克比迭代法谱半径 0.491126 高斯-赛德尔迭代法经过 1 迭代后的结果为0.100000 0.070000 0.413333 高斯-赛德尔迭代法经过 2 迭代后的结果为0.196667 0.130667 0.486000 高斯-赛德尔迭代法经过 3 迭代后的结果为0.223333 0.143267 0.503289 高斯-赛德尔迭代法谱半径 0.2290997. 解：Jacobi迭代矩阵为，其范数，所以由第139页定理6.5知，Jacobi迭代收敛。根据第138页定义6.4谱半径的定义，故特征根为，其谱半径，由第140页收敛速度定义可得；类似地有Gauss-Seidel迭代矩阵为，其范数，所以由第139页定理6.5知，Gauss-Seidel迭代收敛。根据第138页定义6.4谱半径的定义，故特征根为，其谱半径，由第140页收敛速度定义可得。8. 证明：因为迭代公式可改写为,所以迭代矩阵为，其特征多项式为，由于的特征根为，所以的特征根为当时，所以，由第138页迭代法收敛基本定理6.4，可知迭代公式收敛。9. 解：因为构造插值节点100121144101112由第145页第一行拉格朗日插值可得，所以，由第147页(7.10)和(7.11)可得，所以。由第146页(4.9)拉格朗日插值可得，所以，由第147页(7.10)和(7.11)可得，所以10.解：01210016因为，所以由第147页(7.10)可得，所以。11. 略。12. 解：差商表为一阶差商二阶差商1.50.997491.60.999570.02081.70.991660.07910.2915所以由第149页(7.12)可得，所以。13.解：由边界条件，得，所以，所以，所以14.解：使用ployfit和polyval命令，%P219 ex14.x = 1.36 1.73 1.95 2.28;y = 14.094 16.844 18.475 20.963;plot(x,y,o)axis(min(x)-0.2 max(x)+0.2 min(y)-1 max(y)+1)p = polyfit(x,y,1);xp = linspace(min(x)-0.2, max(x)+0.2,100);yp = polyval(p,xp);hold onplot(xp,yp)拟合结果： 15. 解：，所以，所以，即，%P219 ex15.x = 0 1 2 4;y = 2.010 1.210 0.740 0.450;yl = log(y);plot(x,yl,o)axis(min(x)-0.2 max(x)+0.2 min(yl)-1 max(yl)+1)p = polyfit(x,yl,1);xp = linspace(min(x)-0.2, max(x)+0.2,100);yp = polyval(p,xp);hold onplot(xp,yp)注意：也可用lsqcurvefit命令直接求，效果会更好一些。16.解：%P219 ex16.x = -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00;y = -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836;p1 = polyfit(x,y,1);xp = linspace(min(x)-0.2, max(x)+0.2,100);yp1 = polyval(p1,xp);p2 = polyfit(x,y,2);yp2 = polyval(p2,xp)