全等三角形全章复习讲义.doc

全等三角形专题一 全等三角形基本性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1) AB与 是对应边，BC与 是对应边， CA与 是对应边；(2)A与 是对应角，ABC与 是对应角，BAC与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)BOD ； (2)ACD .【例题2】已知图2中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50【例题3】如图，ABCC1A1B1若，且，则 【练习1】如图，30，则的度数为（ ）CABA 20 B30 C35 D40【练习2】如图，ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90到EBC， 且ABD90。（1）ABD和EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若AB3cm,BC5cm,你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由专题二 全等三角形的判定 - （以图形常见类型为标准）三角形全等的判定方法1、如图：ABC与DEF中 2、如图：ABC与DEF中 ABCDEF（ SSS ） ABCDEF（ SAS ）3、如图：ABC与DEF中 4、如图：ABC与DEF中 ABCDEF（ ASA ） ABCDEF（ AAS ）5、如图：RtABC与RtDEF中， 90 RtABCRtDEF（ HL ）【题型一】公共边类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 A B C D D C B A 注意隐含条件ADAD 隐含条件ABBA 隐含条件ACCAA B C D B C A DD 【例1】 在中，AB=AC,AD平分BAC，求证：【针对训练】1. 已知：如图BDCD,12,求证：BC.2. 如图，已知：，. 求证：. 3. 已知：在中，M在BC上，D在AM上，（如图）求证：4. 如图所示，已知，E是AC上一点. 求证：. 5. 如图，在中,M在BC上，D在AM上，ABAC , DBDC 。求证：MBMC6.【例2】如图, ABCDCB, ACBDBC,求证：ACDB.A B C DD 【针对训练】1. 已知：（如图）. 求证：2. 如图：ACBC,ADBD,ADBC,CEAB,DFAB,垂足分别是E,F，求证：CEDF.C D A E F B 【例3】已知：如图，ABCD，ABCD求证：ADBC【题型二】边加减类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 A D B E F C (1) A BB F E D C (2) A B E F D C (3) A B F E C D (4) BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE 【例4】已知点B,E,C,F在同一条直线上，ABDF,ACDE,BECF. 求证：AD.A D B E C F 【例5】如图，已知：求证：.【例6】如图，已知：.求证：（1）;(2)AEDF. 【例7】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，BCDEFA求证：ABCDEF【针对训练】1. 已知A,B,C,D在同一条直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB.2. 已知B,E,F,D在同一条直线上，ABCD, BD,BFDE.求证：（1）AECF, (2) AECF，(3) AFECED3. 已知：如图，ABDC,ACDB,BECE.求证：AEDE.【题型三】公共角类型的全等三角形右图中全等的三角形有 写出他们所有的对应边与对应角 【例7】如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.【针对训练】1. 如图，已知：，.求证：.2、已知：如图，PMPN，MN求证：AMBNAEDBCO123. 如图，已知：BECD，BC，求证：12。4. 已知：如图，ABAC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BECDACBDEF5. 已知：如图ABC中，BDAC，CEAB，BD、CE交于O点，且BDCE求证：OBOC.6. 如图，已知点D、E分别是线段AB、AC上的点，ABAC，ADAE.求证：CDEBED.【题型四】对顶角类型的全等三角形图形1 图形2 【例8】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：B=D.【针对训练】已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD 求证：ADBC；【例9】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OFD F C O A E B 【针对训练】1、如图4，ABDE，AB=DE，1=2.求证：BG=DF.2.如图已知：AB=CD，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E，F.求证：AE=CF. DFCOBAE【题型五】旋转类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 【例10】已知：如图(1)，AB=AD，BC=DE，1=2.求证：(1)AC=AE； (2) CAE=CDE.【针对训练】1.如图，点E在ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若1=2 =3，AC=AE，求证：AB=AD。2.已知：如图，ABAD，ACAE，12求证：BCDE【例11】已知：如图(2)，E=F=90，B=C，AE=AF，给出下列结论：1=2；BE=CF；CANABM；CD=DN.其中正确的结论是_.【例12】如图，已知AB=AD， B=D，1=2，证明：BC=DE【针对训练】1.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .2.如图，已知：，.求证：点B是线段AC的中点.【例13】已知A、C、B共线，ACD和BCE为等边三角形，直线BD、AE交与F，AE、CD相较于点M， BD、AE相较于点N。如图1， 求证：AE=BD 求AFB的度数 求证：CM=CN 求证：MNAB 求线段BF、EF、CF的关系【题型六】大山型的全等三角形【例14】已知：如图，ABCD,EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE.【针对训练】1、已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.2已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求证：EDAC3. 已知，如图14，在ABC中，ADBC，AD=BD，E是AD上一点，ED=CD，连结BE并延长交AC于F， 求证：BE=AC，BEAC.4.已知，如图7， AD为ABC的高， E为AC边上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD. 求证：（1）BEAC；（2）若把条件BF=AC和结论BEAC互换，那么这个命题成立吗？5.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论C E B A F D 6.如图所示：在ABC和DBC中，ACB=DBC=,E是BC的中点，EFAB,垂足为F，且AB=DE. （1）求证：BD=BC; （2）若BD=8cm，求AC的长.【题型七】以等腰直角三角形为背景的全等三角形【例15】如图，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBD【题型八】角的平分线的性质1如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC求证1=22如图，OC是AOB的平分线，P是OC上的一点，PDOA交OA于D，PEOB交OB于EF是OC上的另一点，连接DF，EF求证DF=EF3如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BE=CF求证：AD是ABC的角平分线4如图, 在ABC中, A90, BD平分B, DEBC于E, 且BEEC, (1)求ABC与C的度数；(2)求证：BC2AB. 【题型九】倍长中线与截长补短法1在ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（ ）.A.14 B.35 C.23 D.0AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,BCD=CBE，BE、CD相交于O点，求BOC的度数.6ABC中，D是BC中点，DEDF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？.7已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，1=2， 求证：BC=AB+ADA21CBD（分别用截长法和补短法各证一次）8已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，BD90（1）如果BEDFEF，求证：EAF45；FA平分DFE（2）如果EAF45，求证：BEDFEFFA平分DFE（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB