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例 老鼠以1m s的速度由A向西北逃窜 同一时刻 猫在B处以3m s的速度向正东追去 问 猫能否追到老鼠 为什么 结论 猫的速度再快也没用 因为方向错了 请再举出几个既有大小又有方向的量 引例 F 力 它们都是有大小和方向的量 叫向量 向量的概念及表示 二 向量的表示方法 一 向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量 1 几何表示法 用有向线段表示向量 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 2 字母表示法 三 两种特殊向量 1 零向量 0 2 单位向量 长度为1个单位长度的向量 零向量大小为0 方向不确定的 可以是任意方向 思考 在平面直角坐标系中 起点在原点的单位向量 它们的终点的轨迹是什么图形 四 1 相等向量 A B C D O 如图 在平行四边形ABCD中 大小相等 方向相同 2 相反向量 大小相等 方向相反 规定 零向量的相反向量仍是零向量 即 我们现在研究的向量 与起点无关 用有向线段表示向量时 起点可以取任意位置 所以数学中的向量也叫自由向量 如图 他们都表示同一个向量 说明 一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下 将它平移到任何位置 共线向量 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上 所以平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 五 平行向量 也叫共线向量 讨论 向量平行与直线平行有何不同 思考 B C D E O F A 例1 如图 设O是正六边形ABCDEF的中心 在图中所标出的向量中 1 试找出与FE共线的向量 2 确定与FE相等的向量 3 OA与BC相等吗 例题 B C D E O F A 如图 设O是正六边形ABCDEF的中心 在以A B C D E F O这7个点中任意一点为起点 另一点为终点的所有向量中 1 试找出与FE共线的向量 2 确定与FE相等的向量 变式 例2 在图中的45方格纸中有一个向量 分别以图中的格点为起点和终点作向量 其中与相等的向量有多少个 与长度相等的共线向量有多少个 除外 例题 1在下列结论中 哪些是正确的 1 如果两个向量相等 那么它们的起点和终点分别重合 2 模相等的两个平行向量是相等的向量 3 如果两个向量是单位向量 那么它们相等 4 两个相等向量的模相等 正确的有 4 巩固练习 5 若则四点构成平行四边形 2 设O为正 ABC的中心 则向量AO BO CO是 A 相等向量B 模相等的向量C 共线向量D 共起点的向量 B 巩固练习 3 判断下列说法是否正确 1 若 则 3 若 则 4 若 则 2 若 则 思考 对于下列各种情况 各向量的终点的集合分别是什么图形 1 把平行于直线m的所有单位向量的起点平移到m上的点P 2 把所有单位向量的起点平行移动到同一点P 3 把平行于直线m的一切向量的起点平移到m上的点P 解 1 是直线m上与点P的距离为1的两个点 2 是以P点为圆心 以1个单位长
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