输油管的布置问题.doc

输油管的布置问题摘要本题旨在对不同间距的分析与规划，以及对资金费用的考虑，分析出管线布置的设计方案，另外题目还要求我们针对两厂生产能力的高低，管线的不同，找出一条最佳布置方案，使花费最低。我们就该最省问题进行分析，若存在一共用管道，则共用管道的起点必为一动点，连结A到动点，B到动点（被城郊界所截为两段），动点到铁路的最短距离，则此管线费用就可由这四段费用与城区附加费用之和。由问题（2）、（3）的铺设费用不同，逐一讨论，可列出两个不同方案的三元方程，又据三公司对附加费的不同评估数据分别代入上两个不同方案的三元方程得出，两个不同方案的六个二元方程再据实际问题得出两未知数的约束范围。使用“Lingo”软件分别求出问题（2）、（3）的六组数据值，比较得出最优方案。后用“Matlab”软件作出图形，进行灵敏分析验证，得出我们的以下最优方案。关键词：输油管 动点 Lingo软件 费用 Matlab软件一 问题的提出针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂距离的各种不同情形，以及共用管线费用与非费管线费用相同或不同的情形，以此我们提出：问题一：如何寻找共用管道的起点（即动点）？问题二：如何从三家公司给出的评估附加费用中选取其一？问题三：如何对车站进行选址？问题四：在输油管的布置费用上，如何使它达到最低？二 问题的分析对问题一的分析：首先若该动点处于第二区域（即城区），则会使附加费用略高于第一区域（即郊区）的费用，则不是最优选择。其次据题意知该动点应处于A，B两厂在火车道的同一侧。对问题二的分析：由于总的附加费用是由城区内铺设的管线长度与每千米的附加费用所共同决定，不能偏向其一，否则可能使费用会有相应的增加。为此我们不能单纯从三家公司所给出的数据中选取最低的一家，而应综合城区距离，使其二者乘积达最小者，宜选取。对问题三的分析：若能对共用管道的起点（即动点）进行确定，则就可知由动点到达铁路的垂直距离，即可在垂直点出，共用管的两侧人选其一增建车站。对问题四的分析：由于输油管的布置费用又是由铺设费用与附加费用所决定，且二者是“之和”的关系，则要在相同条件下满足二者之和头饰取得最低。三 基本假设1 假设管道的铺设均处于同一平面上，且一部分弯曲的管道科近似的看成是直线段。2 假设A，B两厂在单位时间内的产油量相等。3 假设铺设管道无重复修补。四 定义符号的说明E（x，y）：动点的坐标S（x，y）：输油管铺设的总费用，则L1（x，y）、L2（x，y）、L3（x，y）、L4（x，y）分别表示（1）、（2）、（3）、（4）段的铺设费用d（x，y）：两点间的路程，则d1（x，y）、d2（x，y）、d3（x，y）、d4（x，y）分别表示（1），（2），（3），（4）的路程K（x，y）：单位每千米的附加费共用用，则K1（x，y）=21、K2（x，y）=24、K3（x，y）=20（单位：万元/千米）分别表示公司一、公司二、公司三估算的附加费用五 模型的分析、建立、求解 根据两炼油厂到跌路线距离和两炼油厂检距离的各种不同情形，我们为了节省费用，使附加费用达到最少，我们便在郊区（第一区域）找出一个动点，其动点完成了共用管道与非共用管道的不同情形，我们利用“Lingo”软件找出其最优化方案，根据三家公司给出的不同附加费用加入其中给予估算，使其更加精确。 问题2 当铺设费用均为每千米7.2万元的最低费用的选取方案如下:如图一中知要求出输油管的布置的总费用S（x，y），则S（x，y）=L1（x，y）+L2（x，y）+L3（x，y）+L4（x，y）+K 由于L1（x，y）、L2（x，y）、L3（x，y）、L4（x，y）分别是图中（1）、（2）、（3）、（4）部分的总铺设费用，则有L1（x，y）=7.2 d1（x，y）L2（x，y）=7.2 d2（x，y） L3（x，y）=7.2 d3（x，y） L4（x，y）=7.2 d4（x，y） 根据图形和已知点的坐标分别可得出以下：d1（x，y）=d2（x，y）=（15-x）（20-x） =d2（x，y）=（15-x）（20-x） d3（x，y）=-d2（x，y）=15（20-x）d4（x，y）=y将式分别代入式中化简后代入式得S(x,y)=(144-7.2x)(+y)+(144-7.2x+5k)20-x又因为k值是由三家公司中的其中一家确定，在不知谁家的数据代入ii式能使输油管布置的总费用Sx，y最低的前提下，我们将三家公司给出的数据分别代入，得出三个公式且要使费用最低，即最小值，又根据对实际问题的分析得出两个变量x，y的约束范围，即以下三个非线性方程。1 当k=k1=21万元千米时min S=(1447.2x(+y)+(249-7.2x)(20-x)x20y8y0 当k=k2=24万元千米时min S=(1447.2x(+y)+(264-7.2x)(20-x)x20y8y0 当k=k3=20万元千米时min s=(1447.2x(+y)+(244-7.2x)(20-x)再使用“LING”软件运行以上三个非线性的式子得出以下三组数表:数表1: Local optimal solution found. Objective value: 284.4513 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 120 Variable Value Reduced Cost X 3.538418 0.3087111E-08 Y 3.137592 -0.1602622E-07 Row Slack or Surplus Dual Price 1 284.4513 -1.000000 2 16.46158 0.000000 3 4.862408 0.000000 4 3.137592 0.000000数表2:Local optimal solution found. Objective value: 300.0601 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 120 Variable Value Reduced Cost X 3.262534 -0.1621976E-08 Y 3.305165 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0601 -1.000000 2 16.73747 0.000000 3 4.694835 0.000000 4 3.305165 0.000000数表3: Local optimal solution found. Objective value: 279.2339 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 130 Variable Value Reduced Cost X 3.636609 0.2794792E-08 Y 3.077305 -0.7840260E-08 Row Slack or Surplus Dual Price 1 279.2339 -1.000000 2 16.36339 0.000000 3 4.922695 0.000000 4 3.077305 0.000000数表1、2、3分别表示、的运行结果，通过对比我们得出问题2中当铺设费用均为每千米7.2万元的最低费用的设计方案。 由以上三组数表知：选取公司三的附加费用方式与动点E的坐标选为（3.636609，3.077305）时，能使费用最低。 问题3：当A厂的铺设费用位每千米5.6万元，B厂的铺设费用为每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元时，使它的布置费用最低的选取方案如下： 由上一问题知，在整个过程中只有（1）（2）、（3）、（4）中的单位路程中的铺设费用在变，其余均不变，则：S（x，y）= L1（x，y）+L2（x，y）+L3（x，y）+L4（x，y）+K 由于L1（x，y）、L2（x，y）、L3（x，y）、L4（x，y）任然分别是图一中（1）、（2）、（3）、（4）部分的总铺设费用，则有L1（x，y）=5.6 d1（x，y）L2（x，y）=6.0d2（x，y） L3（x，y）=6.0 d3（x，y） L4（x，y）=7.2 d4（x，y）路程不变，因此与问题2的相同，于是有d1（x，y）=d2（x，y）=（15-x）（20-x） d3（x，y）=15（20-x）将式分别代入式中化简后代入式得：S（x，y）=（1125.6x）+(1206x5k)144y-7.2xy(20x）与问题二同理，可用同样的方法得出以下三个非线性方程 当k=k1=21万元千米时min S=(1125.6x+(225-6.0x)144y7.2xy(20-x)X20Y8Y0 当k=k2=24万元千米时min S =(1125.6x+(240-6.0x)144y7.2xyX20Y8Y0 当k=k3=20万元千米时Min s=（112-5.6x）+（220-6x）+144y-7.2xy（20-x）同样使用LINGO软件运行以上三个非线性的式子得出以下三组数表:数表4:Local optimal solution found. Objective value: 256.9077 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 116 Variable Value Reduced Cost X 4.426554 0.000000 Y 2.364946 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 256.9077 -1.000000 2 15.57345 0.000000 3 5.635054 0.000000 4 2.364946 0.000000数表5:Local optimal solution found. Objective value: 272.8073 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 114 Variable Value Reduced Cost X 4.152496 0.000000 Y 2.587350 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 272.8073 -1.000000 2 15.84750 0.000000 3 5.412650 0.000000 4 2.587350 0.000000数表6: Local optimal solution found. Objective value: 251.5841 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 118 Variable Value Reduced Cost X 4.524596 -0.1252981E-08 Y 2.283963 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 251.5841 -1.000000 2 15.47540 0.000000 3 5.716037 0.000000 4 2.283963 0.000000数表4、5、6分别表示、的运行结果，通过对比我们得出问题3的最低费用和设计方案。由以上三组数表又知：选取公司三的附加费方式与动点E坐标选为(4.524596,2.283963)时,能使费用最低，且最低为min s=251.5841即如图二所示：七结果分析综合上述的6个数表可以看出，首先我们在铺设管道路线中应选取不同的生产油量选取不同的铺设方案即选取问题3的铺设方法：（即选A厂的铺设费用为每千米5.6万元,B厂铺设费用为6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元）附加费用选取公司三的20万元千米,且得出共用管道的始点即动点E的坐标为(4.524596,2.283963)时,能使费用最低,则可确定车站该建在动点到铁路垂直距点处的输油管的两侧均可。所以选取方案（六）八模型检验 据前面的分析与假设知，动点E（x,y）在AC;边与第区域内的值得出数表6是最优的,但未考虑动点E(x,y)的极端值,就是当动点E(x，y)在A、B、C、D四点中任一位置。a 若动点E(x，y)位于B、D位置时（也即是处于城区，则附加费用相应的增加，即排除此可能）b 若当动点E（x,y）处于A点时,则坐标为(0,5)代入(六)得Min s=220+720与数表6的目标函数值相比,知E(x，y)不宜处于A点。C 若当动点E（x，y）位于C位置时，则坐标为（0，0）代入的min S=560+880 与数表6的目标相比，知E（x，y）也不宜处于C点九 模型的推广 根据此题给出的已知条件告诉我们，A，B两厂与车站均是建在车站的同一侧，且A，B两厂的位置已被固定，若A，B两厂没有告诉我们准确的位置，我们就可假设A，B两厂到铁路的垂直距离分别为a、b，则A到铁路的垂足到城郊区边界的距离设为c，A与铁路的垂足到B与铁路的垂足距离为L，而A，B两厂和共用管线费用同上及附加费用为k万元千米，总费用则S（x，y）=L1（x，y）+L2（x，y）+L3（x，y）+L4（x，y）+K，则L1（x，y）=5.6 d1（x，y）L2（x，y）=6.0d2（x，y） L3（x，y）=6.0 d3（x，y） L4（x，y）=7.2 d4（x，y）就可先求出路程值即以下：d1（x，y）=d2（x，y）= （c-x）（L-y） d3（x，y）=(cx)(Lx) d4（x，y）=y将式代入式化简后代入得S（x，y） =5.6+（6L6kklkc）(Lx)7.2y则可写出一般的非线性方程式为min S =5.6+（6L6kklkc）(Lx)7.2yxLyby0十参考文献参考文献【1】 中国数学建模网；http:;。【2】 何君勇著，运筹学，清华大学出版社；【3】 张志涌等 精通matlab 6.5版 北京航空航天大学出版社【4】 谭浩强著C程序设计高等教育出版社十一.附件一些用“LINGO”软件的算法如下：数表1代码：min=(144-7.2*x)*(5-y)2+x2)(1/2)+y)+(249-7.2*x)*(20-x)2+(8-y)2)(1/2)/(20-x);x=20;y=0;数表2代码：min=(144-7.2*x)*(5-y)2+x2)(1/2)+y)+(264-7.2*x)*(20-x)2+(8-y)2)(1/2)/(20-x);x=20;y=0;数表3代码：min=(144-7.2*x)*(5-y)2+x2)(1/2)+y)+(244-7.2*x)*(20-x)2+(8-y)2)(1/2)/(20-x);x=20;y=0;数表4代码：min=(112-5.6*x)*(5-y)2+x2)(1/2)+(225-6*x)*(20-x)2+(8-y)2)(1/2)+144*y-7.2*x*y)/(20-x);x=20;y=0;数表5代码：min=(112-5.6*x)*(5-y)2+x2)(1/2)+(240-6*x)*(20-x)2+(8-y)2)(1/2)+144*y-7.2*x*y)/(20-x);x=20;y=0;数表6代码：min=(112-5.6*x)*(5-y)2+x2)(1/2)+(220-6*x)*(20-x)2+(8-y)2)(1/2)+144*y-7.2*x*y)/(20-x);x=20;y=0;一些使用“matlab”拟合函数作图的代码如下：图一代码：x=linspace(-5,25,600);y(1)=-0.1;y(2)=0;plot(x,y(1),-,x,y(2),-);hold onx=linspace(0,20,500);y(3)=1;plot(x,y(3),-);hold on x=linspace(0,0,500);y=linspace(0,5,500);plot(x,y,-);hold onx=linspace(2,2,230);y=linspace(0,1,230);plot(x,y,-);hold onx=linspace(15,15,1200);y=linspace(-2,10,1200);plot(x,y,-);hold onx=linspace(20,20,100);y=linspace(0,8,100);plot(x,y,-);hold onx=linspace(0,2,4500);y=linspace(5,1,4500);plot(x,y,-);hold onx=linspace(2,20,1600);y=linspace(1,8,1