1.2.5函数的单调(教师用).doc

必修函数1.2.5函数的单调性（教师用）知能点全解：知能点一： 函数单调性的定义图形描述：对于函数的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递减函数。定量描述对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；（2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。单调性与单调区间若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。 2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。例 1： 如图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。解：函数的单调区间有。其中在区间上是减函数，在区间上是增函数。知能点二：用定义证明函数的单调性例 2 ：证明函数是增函数。证明：设是R上的任意两个实数，且则 ， 又,即 在上是增函数。例 3：证明函数在上是减函数证明：设是上的任意两个实数，且，则= 所以函数在上是减函数。特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： （1）取量定大小：即设是区间上的任意两个实数，且； （2）作差定符号：即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； （3）判断定结论： 即根据定义得出结论。及时演练：1、判断并证明下列函数的单调性（1） （2） （3） （4）2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明（1）（2）（3） （4）3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数（1） （2） （3） （4）4、讨论函数在(-2,2)内的单调性知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论函数与函数的单调性相反当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。例 4：求函数的单调区间。解： ，得单调递减区间是和，在上单调递减 函数的单调区间是和。及时演练：1、下列函数中，在区间上为增函数的是（ B ） A、 B、 C、 D、2、在上单调递减的函数是（ A ） A、 B、 C、 D、3、函数的单调递减区间是 和 。4、已知定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（ B ） A、为减函数 B、为增函数 C、为减函数 D、为增函数5、的单调减区间是 和 。6、二次函数的递增区间为，则二次函数的递减区间为 。7、已知函数，则使函数是减函数的区间是 。8、设是定义在区间上的增函数，且，则下列函数：；中，是减函数的有 （把序号填在横线上）。知能点四：复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同增异减”。例 5：求函数的单调递增区间.解：由，得或 函数的定义域是令 则 易知函数在上是增函数，函数的单调递增区间是 原函数的定义域为 函数的单调递增区间是所以函数的单调递增区间是典型题型全解题型一：利用函数单调性比较函数值的大小例 6：如果函数，对任意实数都有，比较的大小。 解：由题意知，得对称轴为，故 在上是增函数 ，即及时演练 1、已知，当时， 为增函数，设，则的大小关系为 。2、若，且，函数，则与的大小关系为。3、函数对任意均有，那么的大小关系为 。题型二：利用函数单调性求参数的范围例 7：已知在上是减函数，求实数的取值范围。解：要是在上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称即可，解得。及时演练：1、若函数在上是增函数，则有（ C ） A、 B、 C、 D、2、若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ D ） A、 B、 C、 D、3、已知函数在上递增，则的取值范围是 。4、已知函数，并且的最小值为，则实数的取值范围是 。5、函数的最大值是，那么实数的取值范围为 。6、函数在区间上是增函数，则的取值范围是 。题型三：利用函数单调性求函数的最值例 8：（1）求函数的值域；（2）已知，对于函数，若时，求的值。解：（1）由得，函数的定义域为，而函数和在上都是增函数，则也是增函数，当时，它取得最小值，所以得最小值为1，即它的值域为。（2）函数表示开口向上，顶点坐标，对称轴的抛物线。 因此，当时，是增函数 当时，取最大值，而， ，即。解得或。 ， 。及时演练：1、函数在上的最大值与最小值分别为 。2、已知函数，则这个函数的值域为 。题型四：函数单调性定义逆命题及其应用 逆命题：已知函数在定义域的某个区间上为增函数（减函数），若，则（）例 9：已知函数在上是减函数，试比较与的大小。解：在上是减函数 及时演练：1、函数在上为增函数，在上为减函数，则 。2、在上为增函数，在上为减函数，则 。3、若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是 。4、已知函数在区间上具有单调性，且，则方程在区间上（ D ） A、至少有一实根 B、至多有一实根 C、没有实根 D、必有唯一实根5、函数在和上递减，且，则的解集是 。6、是定义在上的增函数，则不等式的解集为题型五：抽象函数单调性的判断例 10：已知函数的定义域为，满足，且（为常数）在区间上是减函数，判断并证明在区间上的单调性。解：设，则在区间上是减函数 即 则又 即在区间上是减函数。及时演练：1