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B 组1.求下列级数的和：(1); (2) 。解: (1) , 令则 因此，从而即(2) 因此，2. 已知级数，证明级数也收敛, 并给出级数的和。解: 3. 若数列an满足证明：(1) 级数发散; (2) 级数收敛，且和为解: (1)显然因此级数发散;(2) 从而4. 已知正项级数收敛，证明级数也收敛。证明: 设 则由于数列S2n是有上界的单调数列，即 S2nA, 从而Tn0时发散,在x=0时收敛，试确定a的取值范围. 解: 由级数在x=0时收敛，即级数收敛，因此必有a 0时发散可知, a+1=0,即a = -1. 9. 已知级数收敛，证明级数绝对收敛。证明:，又因为级数，收敛，从而级数绝对收敛。10. 讨论下列级数的敛散性： (1) (2) ; (3) (4) 解：(1) 设则当q1/2时，级数收敛;当q1/2时，级数发散。(2)，则当p1/2时，级数收敛;当p1/2时，级数发散。(3) 因此, 当|a|2时，级数收敛;当p2时，级数发散。当a1时级数变化为，设则，当p2时，级数绝对收敛;当1p2时，由莱布尼茨判别法可知级数收敛，因此级数条件收敛。当p1时，级数发散。(4)由于 因此由级数 的收敛性可知级数也是收敛的。11. 求证当时，级数绝对收敛。证明: 令则 当时，r = a 1, 级数绝对收敛;当时，r = 0 1, 级数绝对收敛;当时，r = 1/21, 级数绝对收敛;综上所述, 当时，级数绝对收敛。12. 求下列级数的收敛域： (1) (2) (3) (4) 解: (1)令则当y=1, 级数条件收敛, 当y=-1, 级数发散。因此，幂级数的收敛域为 从而即因此级数的收敛域为(2). 令则由于幂级数的收敛域为(-1,1)， 从而即因此级数的收敛域为(3) 由于，因此，幂级数的收敛域为(4) 令则由于因此幂级数的收敛域为-1,1。 从而即因此级数的收敛域为-1,0. 13. 求的收敛域，并求出级数的和。解: 由于因此，从而有14.设，(1)将f (x)展开成x的幂级数，给出收敛域; (2)求f (45)(0) ; (3) 利用f (x)的展开式计算的和。解: (1
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