周楚惟_量子场论导论课程论文_Trapping light.pdf

Story About Trapping Light by Mimicking Gravitational Lensing 周楚惟 13342110 中山大学物理学院 摘要 摘要 构造一个由空气 聚甲基丙烯酸甲酯 银 二氧化硅组成的多层平面波导 嵌入光栅 球形结构 利用表面张力效应 使微球附近形成一个厚度连续变化的邻域 通过 TM 模的色 散关系及其在波导中传播 得出厚度和折射率的函数关系并得出折射率在邻域的分布 再由 折射率 可作为度规分量的函数 作为生成函数 利用各向同性的度规求解爱因斯坦场方程 求得物质和压强的分布 光子的运动轨迹 由光子的轨迹方程 讨论光子被捕获的临界点 图 1 故事思路 引言 引言 光线的直线传播 反射定律和折射定律均可由费马定理 过两个定点的光总走光程 的一阶变分为零的路径 推导而得 在均匀介质中光的传播路线为直线 在变导率介质中光 的传播路线为曲线 另一方面 在伽利略坐标系中 光子的运动轨迹为直线 在非惯性系 时 空度规也是坐标的函数 中 光子的运动轨迹为曲线 但两者都可从最小作用量或变分原理 推导而得 测地线方程 因此 不难将两者进行类比 通过构造变导率的介质来模拟中心天 体 大质量 附近的区域 从而实现对光子的捕获 样品的构样品的构造造 图 2 引力场及微观光学波导中光偏折的类比 在二氧化硅基底上覆盖一层50nm厚的银 运用聚焦离子束 FEI Strata FIB 201 30 keV 11 pA 加工技术 在银层中嵌入周期为310nm的光栅 银上是一层聚甲基丙烯酸甲酯 有机玻璃 有机玻璃中按2 1的比例掺杂油溶性的CdSe ZnS量子点 这些量子点能受光线传播的激发而 产生荧光效果 聚甲基丙烯酸甲酯 PMMA 层上嵌入微球 由于表面张力效应 在微球的邻 域 PMMA层随着与微球距离的靠近有一个递增的关系 对于PMMA层厚度的测量可通过两 种方法 原子力显微法 atomic force microscopy AFM 光线的干涉 图 3 a 微球邻域的干涉图样 b 原子力显微法 atomic force microscopy AFM 对PMMA 厚度的测量 利用利用 0 6 TM 模找出微球附近区域中折射率和距离的函数的关系 模找出微球附近区域中折射率和距离的函数的关系 首先根据以上的测量结果 厚度随与微球距离的函数关系为 AFM 法的数据和干涉法的数据都显示指数4s 对于 0 6 TM 模 色散关系为 其中是反射系数 t 是金属层厚度 阻抗率为 其中是各种介质的折射率 为波导 而关键元素 e n则是待求的有效折射率 现把 2 式改写成 对于足够厚的金属层 3 式可以化简为 根 据 1 4 式 并 取 则由 1 4 式可推导而得有效折射率的表达式 以上各式用到的实验观测值如下表格 则根据 5 式可如图 图 4 波导的有效折射率随与微球中轴线的距离呈指数分布 对于微球邻域对于微球邻域光线偏折的实验探究光线偏折的实验探究 405nm 的激光经由光栅与波导耦合 光在波导中的传播激发量子点 量子点发射出波 长为 605nm 的光 量子点发出的荧光通过显微镜物镜 Zeiss Epiplan 50 0 17 HD microscope objective 收集 并传送到 CCD 相机 charge coupled device camera 成像 一个具体的例子如 下图 图 5 在微球附近的区域 光线发生偏折 中心对称各向同性的时空度规对微球邻域的模拟中心对称各向同性的时空度规对微球邻域的模拟 选取球坐标 写出中心对称的时空度规 其中 和 只依赖于径向坐标 r 爱因斯坦场方程中的能动张量为 7 其中u 是四维速度 选取量纲81Gc 假设系统处于平衡状态 该假设衍生两个条件 其中 和 只依赖于径向坐标 r 四维速度 的空间分量都为零 因此可得 000123 0 v ugeuuu 8 0123 0 v ue uuu 9 其中度规分量为 2222222 sin v gdiag eeerer 10 2222 222 111 sin vv gdiag eeee rr 11 则可将 7 式能动张量写成如下形式 Tdiagppp 12 对于爱因斯坦场方程 1 2 RRT 曲率标量为 00112233 00112233 km km RgRg Rg Rg Rg R RgR ll lmml ikil ikiklmilkm lk R xx 1 2 iim mkmlkl kl lkm ggg g xxx 这样即可由度规 的分量开始 求解场方程 2101 111000 1223 221213 231222 332333 11 sincos cot sinsin v e rr rr rr 由 ll lmml ikil ikiklmilkm lk R xx 求得 把以上结果代入场方程中 即可得到以下结果 13 其中第三式可由能动张量的散度为零 0 k i k T 推导而得 显然 由 13 式可推导出 和 的微分方程 但要得到仅关于 或 的一元微分方程 则需 要再添加一个条件 根据在人工材料中模拟天体力学的相关知识 有效折射率可以写成度规 张量分量的函数形式 22 00rr ngge 其中 将该式代入 13 的第三式中 可得到关于 的微分方程 14 由微分方程 14 可解出 这是一个超越解 我没 有能够完整还原出求解过程 但另外一种处理方式是 猜想微分方程 14 必然是结合另一个 关于三角函数的性质 能便捷地得出以上的 解的形式 则不如将以上的 解当成已知 代入微分方程 14 内 看能得出什么关于 r 的三角函数的性质 将以上各式代入微分方程 14 中 化简可得 324 3 6252442 42 27 2 42432 32 422 4 3 4 2 4224 tantan tantan t 160sin4051 40 10 coscos1cos 116 10 sin 2024 10 cos1cos 1cos 16 10824 0 1cos 1 an 1 rrrr r rrrr rrr rr rrr rr rrr rrr r 15 其中 2 5 2tan r 则 15 式可看作关于 r 的一个恒等式 将上述关于 的形式写成指数形式 可得 16 17 则可把度规式 6 写成如下形式 24 2222222 24 4 secsec 1 1 AcAr dsdtdrr d r r 18 取 2 可得 19 将 16 17 式代入 13 式中 可得压强和密度的表达式为 19 压强和密度必须为正值 则可由 19 式可得 该式可作为使 有意义的 r 的取值范围 对于 19 式 当 r 足够大时 可将 19 式写成 20 这对应于状态方程或者对应一个3 2n 的多方球 这类典型的 状态方程可用于描述星核的简并 如中子星 红巨星 白或棕矮星 利用欧拉利用欧拉 拉格朗日方程和变分原理推导光子的轨迹方程拉格朗日方程和变分原理推导光子的轨迹方程 最小作用量原理 0 S 其中 1 2 1 2 Sdsgdx dx dxdx gds dsds 或写成另一形式0 dxdx IIgds dsds 这两种形 式都源于 把度规写成如下形式 代入 0 dxdx IIgds dsds 可得 2222 222222 00000000 sin0 dtdrdd gg ng n rg n rds dsdsdsds 21 由上式可得 00 22222 0000 222 00 0 sincos sin0 d gt ds d rgng n r ds d g n r ds 22 该结果也可直接写出拉格朗日量 2 1 2 ds L d 后利用欧拉 拉格朗日方程可得 取 2 0 00 0 2 2 2 2 g n ra a gr nr r 同理可得 00 a g t b 00 a t bgr 其中 a 和 b 是常数 a 对应粒子的能量 b 对应粒子的角动量 选取方位角作为粒子轨迹方程的参数 2222 222222 00000000 sin0 dtdrdd gg ng n rg n r dsdsdsds 23 22 22 00 222 0000 1 0 aa gnr b gg n r 24 2222222 2 2222422242 000000 1aaa n ra b r bg ng n rb g n r 25 根据 22 00 a gr nr r 可得 2 24 2 2 drn r r db 26 换元 2 242 1 adu uquu rd 其中qa b 该方程的解的形式为 27 其中 F 是第一类椭圆积分 sn 是雅可比椭圆函数 1 sin 14 42 0 sin 1sin t u u t t t ud Fu u u 根据光子的运动轨迹方程 27 式 可以将理论轨迹和实验观测图像进行比对如下 图 6 a 散射场观测强度 实验图像 b 根据光子的轨迹方程绘出的理论图像 从上至下的图 像对应入射光线的参数qa b 能量和角动量的比值 依次降低 导致光线的偏折程度递增 到达临界点 底部的两张图像 处光子在光圈作恒定半径的公转运动 一部分的入射能量随散 射耗散掉 一部分能量用于维持光子在光圈的运动 外部的临界点为 28 能量和角动量的比值12 或者参数大于临界点2 c bba 时 光线就会被捕获 当 取等号时 光子将在半径为的光圈运动 当能量和角动量的比值小于12时 光子 就会绕微球的中轴线作渐进运动 图 7 转折点的物理图像 其中 t r表示光线最靠近微球中轴线时 光子和中轴线的距离 光线的总偏转角可由表达式 27 推导而得 如根据 27 的第一式 偏转角就等于 t uu 时对应 的方位角减 29 其中 K 表示第一类完全椭圆积分 1 sin 2 414 4242 00 sin 1sin1sin t t u u t tt t tt udd K uFu u uu 如果入射光线远离光圈 即入射光线的能量远小于角动量 1q 偏转角可简化为 30 若1q 利用洛必达定理 所以可将偏转角对 t u或 q 进行展开 可得 当 c bb 时 偏转角会经历一个对数形式的奇点 对 28 式进行展开即可得到 31 图 8 外部的转折点 蓝 和内部的转折点 红 对 q 能量和动量的比值 的函数关系 根据方程 27 可以得到光子运动的相图如下 图 9 光子运动的相图 相图中曲线的不同源于入射光线的能量和角动量比值的不同 方程 28 29 可用于求微分散射截面的长度 32 对于小的偏转角 33 总的捕获截面长度为这表明在这个空间范围内的任意入射光线到达微 球后都能被捕获 而且捕获的截面长度与光线的发射方向是无关的 这个例子就说明了系统 的全方位属性以及指明了光引导 能量收集装置等应用的可能性 实验测量的偏转角及其理论计算值的比对如下图 图 10 偏转角 图中的点是实验测量值 实线是理论计算值 基于方程 29 图中的红线和蓝线分别表 示光束宽度的边缘 亦即经过相同的计算过程可以得到两个偏转角 只不过是不同的初始条 件对应光束投影的两个边缘 纵坐标表示偏转角 横坐标 12 2 tt rr r 其中 it r表示光线最 靠近微球中轴线时 其与中轴线的距离 当时 偏转角出现奇点 a 对应 于系统的光圈 表明光线被捕获 对于图 10 以及 31 式中提到的关于偏转角的对数形式的奇点 结合 30 式 我们可以写出一 个等效的透镜方程 34 其中 焦距 为 以上的理论计算和实验数据的一致性 表明该实验方法能够描述远场散射以及靠近光圈 时的临界行为 这个光圈的半径是基于度规 19 式 解爱因斯坦场方程得到压强和密度的分布后 满足两者必须为正条件下的半径的临界值 除 了光线的偏折 引力延时效应 或夏皮罗效应 Shapiro effect 等都可以用该实验