小方格的数学韵 深情回顾三角形.pdf

方格纸 方格纸 一 格点三角形一 格点三角形 在方格纸中 顶点都在格点上的三角形 例 例 如图 在小正方形的边长为 1 的网格中 ABC 的顶点均在 格点上 请用无刻度 的直尺 画出一个以 AB 为一边的矩形 使矩形 的面积等于 ABC 的面积 并简要说明画图方法 不要求证明 解 解 ABC 面积为 3 ABM 面积为 1 5 作正方形 ABPQ 过 M 作 AB 的平行线与 BP AQ 分别交于 D E 则矩形 ABDE 即所求 练习 练习 在单位为 1 的正方形方格纸上解答 1 4 题 1 如图 已知格点 A B C D E 连接各点可以构成 个 等腰三角形 若格点 AEF 的面积为 1 则点 F 的个数为 2 如图是 4 个格点三角形 第一个是仅用无刻度直尺画 出的两条中线与重心 另外 3 个格点三角形已经画了一条 中线 请你画出另一条中线与它们的重心 3 如图 已知格点 ABC 请用无刻度直尺作出 ABC 的重心 内心 外心与垂心 4 如图 已知格点 ABC 计算它的面积是 请用无刻度的 直尺 画出一个以 AB 为一边的矩形 使矩形的面积等于 AC 2 BC2 并简要说明画图方法 不 要求证明 解解 由勾股定理得 AC 2 BC2 11 用数方格方法作 ABD 使其面积 为 5 5 作正方形 ABPQ 过 D 作 AB 平行线分别交 BP AQ 于 E F 矩形 ABEF 即所求 二 另类作图 二 另类作图 例 例 已知 ABC 的边 BC 上有一点 P 求作 过 P 作直线将 ABC 的面积二等分 解解 作图如右 练习练习 5 已知四边形田地 ABCD 内有一条折线形 PQR 的水渠 如图 现要 将水渠改成直线段 但要保持两边的面积不变 请你画出这条直线段 说明理由 6 请你用尺规 无刻度 在长为 18 宽为 16 的长方形内 画出腰长为 10 的等腰三角形 要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点 A 重合 其余两个顶点在长方形的边 上 7 如图 已知 ABC C 是直角 作一个直角 ABD 与 ABC 的面积相等 可以作几 个 若 C 是锐角 钝角呢 8 如图 已知 3 条平行线 a b c 作等边 ABC 使点 A B C 分别在直线 a b c 上 写出作法 保留作图痕迹 说明理由 三 判断与证明 三 判断与证明 例例 如图 D E 分别为 Rt ABC 的边 AB AC 上的点 AC BC ACD与 BCD的周长相等 ABE与 CBE的周长相等 记BC a CA b AB c ABC 的面积为 S 求证 S AD CE 并猜想表示 S 的另一个线段积 练习 练习 9 三角形的周长为 3 则它的每边的长 A 小于 1 B 不大于 1 C 小于 1 5 D 不大于 1 5 10 下列条件不能判断两个三角形全等的是 A 两边及其一边上的中线对应相等 B 两边及其一边上的高线对应相等 C 两边及另一边上的中线对应相等 D 两边及另一边上的高线对应相等 11 下列命题中 假命题是 A 正三角形不是斜三角形 直角三角形一定是不等边三角形 B 已知底边和顶角 或者已知底角和腰都能确定一个等腰三角形 C 两边的垂直平分线的交点在第三边上 这个三角形一定是直角三角形 D ABC 的三条外角平分线相交构成一个三角形 一定是锐角三角形 12 下列命题中 假命题是 A 平面上给出四点组成的 4 个三角形中最多有 3 个锐角三角形 B 边长都是整数的不等边三角形周长小于 13 那么这种三角形共有 3 个 C 锐角三角形中 三边为 3 4 x 则 x 的取值范围是 1 x 7 D 三角形的重心 内心 外心 垂心中至少 2 个一定在三角形内 13 从 ABC 的两顶点 B C 分别向过 A 的任意一直线引垂线 BE CF E F 为垂足 M 为 BC 中点 求证 MEF 为等腰三角形 14 如图 AD BC AC BC DE 2AB 求证 ABC 3 DBC 四 计算与综合 四 计算与综合 例 例 费马点问题费马点问题 在 ABC 内求一 点 P 使 PA PB PC 之值最小 称点 P 为 费马点费马点 解 解 向 ABC 外作正 ACD 正 APQ 连 DQ 可证 APC AQD SAS PC QD 于是 PA PB PC PQ PB QD BD 当 P Q 都在 BD 上时 PA PB PC 最小 此时 APB BPC CPA 120 根据上面的结论求解 某地有三家工厂 分别位于等腰直角 ABC 的三个顶点 斜边 AB 20km 为了处理三家工厂的污水 现要在该三 角形区域内的一点 O 处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道 AO BO CO 求 AO BO CO 的最短长度 练习 练习 15 已知 ABC 中 A 58 O 是外心 D 是内心 H 是垂心 则 BOC BDC BHC 16 如图 在 ABC 中 B 2 C AD 为高 AB 6 1 若 BD 2 则 AC 的长为 2 若 M 为 BC 中点 MD 的长为 17 在 ABC 中 BC a CA b AB c 1 求证 若 C 为锐角 则 a 2 b2与 c2的关系为 a2 b2 c2 2 若 C 为钝角 试推导 a 2 b2与 c2的关系 此时若 a 3 b 4 求 c 的取值范围 18 小敏准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈 用于饲养家兔 已知 第一条边长为 a 米 由于受地势限制 第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米 1 求出 a 的取值范围 2 能否使得围成的小圈是直角三角形形状 且各边长均为整数 请说明理由 19 已知 M 为 Rt ABC 斜边 AB 的中点 点 P 是 AB 上一 动点 不与 A B 重合 分别过 A B 向直线 CP 作垂线 垂 足分别为 E F 1 如图 1 当点 P 在线段 AB 上时 试判断 ME 与 MF 的 数量关系 并给予证明 2 如图 2 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此 时 1 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 20 如图所示 A B 为两个村庄 AB BC CD 为公路 AD 为湖宽 其余是田地 且 CD 与 AD 互相垂直 现在要从 E 处开始铺设通往村庄 A 村庄 B 的一条电缆 共有如下两 种铺设方案 方案一 E D A B 方案二 E