数学奥林匹克初中训练题(135).pdf

中等数学 课外训练 澄 营 象 貅 蜃 窘 渤 啥 每9豫 蹙 135 中图分类号 G 424 79文献标识码 A文章编号 1005 6416 2010 11 0034 05 第一试 一 选择题 每小题7分 共42分 1 已知a b为不等的正实数 且a3一b3 口2一b2 则口 b的取值范嗣是 A o 6 了1 B l 口 6 了4 c 了3 口 6 1 D 口 611 若P为边CD 上的一动点 且记 D P x 直线A P交BC 的延长线于点Q 使得 D P cq为最短时 则m 17 戈应满足关系 c m 一n z2 D 上 l 上 菇 nn 二 填空题 每小题7分 共28分 1 学 6 学 6 一 2 如图1 在矩形 A BCD 中 已知A D 口 A B 6 过点C作CE上 B D 于点最则A E 图1 3 对任何实数值t 二次函数 Y t 2 f 1 工2 2 n t 2算 t 2 3at 6 的图像都经过点 1 0 则n b 2010年第11期 35 4 如图2 已知A B CD A B CD 是O0的 两条弦 且满足 O A C D A B CD 则么A O B 么CO D 第二试 图2 一 20分 已知口 b为实数 关于髫的 方程I 石2 O X bl 2有三个不等的实数根 1 求证 口2 4b 8 2 若该方程的三个不等实根恰好为一 个三角形三内角的度数 求证 该三角形必有 一个内角为600 3 若该方程的三个不等实根恰好为一 个直角三角形的三条边长 求口 b的值 二 25分 如图3 已知00 与oO 相 离 过点O 作G o 的切线 已为切点 交G o 于点A A 过点O 作oO 的切线 一为切 点 交oO 于点曰 B 求证 A B A B I 冬 l3 三 25分 不等的两个自然数的和 差 积 商四者之和是一个完全平方数 则称这样 的两个数为 智慧数组 如 8 2 就是智慧 数组 N 8 2 8 2 8x2 寻 36 62 若这两个自然数都不超过100 则这样 的智慧数组共有多少组 参考答案 第一试 一 1 B 由已知易得a2 口6 b2 口 b 即 口2 口6 b2 一 1 a b 因为 n 6 2 a2 口6 b2 所以 口 b 堡 堡 三i 1 口 一 口 6 又 口一6 2 0 a b 则 3 口 6 2 4 62 口6 62 即川 等 学 于是 1 口 b 于是 I 0 2 0 从而 口2 4b一8 0 即a2 4b 8 2 设程 的两根为茗 z 程 的 根为戈 则戈 菇 x 为原方程的根 即 戈l 算2 菇3 180 又zl 菇2 一n 戈3 一导 贝0 算l X 一娑 一 一1一 3 180 a120 算I 戈2 一 2 一 故戈3 60 3 方程 的不等实根戈 髫 中必有一 个大于方程 的根膏 而另一个小于龙 否 贝0 有石I 名2 a或石I 石2石3 菇2 易知 戈2 一茹 戈 2 争 戈 戈 茗 一髫 茗 j一口仃丽 一爿 j n后 面 百 詈 因为o 0 若口 0 则x 0 与题设矛 盾 口2 4b 8 1 已证 所以 一4 了1口才o 一16 b L攀 62 4 二 如图7 联结0 t 0 疋 T 死 A T1 A 2T1 Bl 疋 B2疋 0102 A 例 7 易知 么Ol T 02 么02咒O 90 所以 兀 死 O 0 四点共圆 于是 么死0 TI 么T102疋 1 因么TIA 咒 么咒D r 么T 0 瓦 么T B 疋 厶 所以 A T 疋 B 四点共圆 于是 么B Al咒 么B TI 咒 么B2T 疋 中等数学 因么以2正B 2 么TIA 咒 么TIBl 疋 么A 2疋B2 所以 A 兀 咒 B 四点共圆 于是 么B A 已 么B2T 疋 故么Bi A t 死 么B 2A 2疋号4 Blff A 2B 三 设 a b 为智慧数组 不妨设a b 由定义得 n 6 o一6 ab 詈 m 2 U a b m 为自然数 即 2a ab 詈 m 2 D 因为2a ab m 2均为自然数 所以 孚必 为自然数 不 妨 设 詈 k k为 自 然 数 且 1 则 a kb 代人式 化简整理得m 2 b 1 2k 从而 b 1 2 Im 2j b 1 Im 所 蝴 击 4 又6 8 100 则 l 6 25 且口 kb l l 訾翌 于是 当b 1时 有k 22 32 102 则满足题意的 口 b 共有9组 当b 2时 有k 22 32 72 则满足 题意的 口 b 共有6组 以此类推 当b 3 4时 满足题意的 口 b 各有4组 当b 5 6时 满足题意的 口 b 各有3组 当b 7 8 11时 满足题 意的 o b 各有2组 当b 12 13 25时 满足题意的 口 b 各有1组 所以 总共有53组智慧数组 李耀文 山东省枣庄市第十八中学 277200 敬告读者 1 编辑部现余 中等数学 合订本2008 上 下 每册27元 2009 下 每册36元 2009 全一册 每册70元 预售2010 全一册 每册70元 以上价格均含邮挂费 其他年度合订本均已售罄 特告 2 由我编辑部编辑出版的 2007 2008国内外数学竞赛套题及精解 2008 2009 国内外数学竞赛题及精解 正在发售 每本定价 30元 单本订阅 36元 含邮挂费 2004 2005国内外数学竞赛套题及精解 2005 2006国内外数学竞赛套题及精解 还 有少量剩余 每本定价 18元 单本订阅 23元 含邮挂费 上述各种l1本以上不收邮费 4l本以上请直接与编辑部联系 3 编辑部目前还有2002 2010年过刊 其中 2008