数学教育学报J.pdf

第 1 7卷第3期 2 0 0 8年 6月 数 学 教 育 学 报 J OURNAL OF MATHEMATI CS EDUCATI ON V0 I 1 7 NO 3 J a n 2 0 0 8 国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示 燕学敏 华 国栋 中央教育科学研究所 北京1 0 0 0 8 8 摘要 数学思想方法在培养学生的创新思维意识 培养学生的探究能力和动手操作能力方面是不可或缺的重要环节 其 重要作用已经引起国内外专家的重视 围绕数学思想方法的论著有很多 本文对有关的论著与文章进行了系统的分析和总结 指出了以往关于现代数学思想方法研究的优点与不足 并在此基础上提出如何根据蕴含高等数学知识的中学教学内容 来研 究现代数学思想方法和指导教学 关键词 高等数学 现代数学思想方法 数学教学 中图分类号 G 4 2 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 O 4 9 8 9 4 2 0 0 8 0 3 0 0 8 4 o 4 关于中学数学中蕴含的数学思想已有大量的论著和论 文 但是随着部分高等数学内容下放到中学 尤其是新课标 的实施 增添了许多原来中学数学中没有的现代数学内容 使得研 究中学数学 中的现代数学思想成为一种迫切地 需 要 本文总结了过去几年内关于现代数学思想方法的研究论 著 对当前研究中学数学中蕴含的现代数学思想方法有一定 的指导和借鉴意义 同时根据当今中学数学改革的要求 提 出一些有益 的意见和建议 1 国外关于现代数学思想方法的研究 数学的历史不只是一些新概念和新定理的简单堆砌 它 还包含着数学思想和方法的积淀 发展和演进 历史上的数 学家不仅提出了许多深刻的数学思想 而且创造了许多新颖 的数学方法 从古代的亚里士多德到近代的培根 笛卡尔 牛顿 莱布尼兹 庞加莱 希尔伯特等著名学者都曾经对数 学方法的发展做出过突出的贡献 为数学研究提供了行之有 效的方法论工具 进入 2 0世纪以后 对于数学思想方法的研究也越来越 受到各国研究者的重视 先后有几部关于数学思想的专著出 版 并被翻译成中文 在我国数学界和数学教育界广为流 传 其中以前苏联数学家亚历山大洛夫著的 数学一一它的 内容 方法和意义 和美国的数学家 M 克莱因著作的 古 今数学思想 这两部著作影响最为广泛 前者用通俗易懂 的语言介绍了现代数学思想方法的历史演进 内容由浅入 深 文字简洁明快 寓深刻的数学思想方法于浅显的数学知 识中 这本书曾经对中学数学教学影响很大 后者分四卷呈 现给读者 其内容主要是从数学思想的角度研究了数学的发 展历程 既没有复杂的公式推导 又没有艰深的数学理论 数学语言凝炼 数理逻辑严密 数学知识深入浅出 数学思 想方法蕴寓其 中 充满 理性 的魅力 读来 引人入胜 耐人 寻 味 更成为数学专业人士 广大的中学一线教师和师范类大 学生非常喜爱的数学用书 早在 2 0 世纪 3 0年代起 G 波利亚就致力于运用方法 论模式切实提高美国的数学教育水平的研究 波利亚从数学 教育的角度 从解题方法的角度对数学思想方法进行论 述 他从事数学方法论研究数十载 他的 3部经典著作 怎 样解题 数学的发现 数学与猜想 是在方法论领域的代 表著作 这 3部著作被学术界称为姊妹篇 在美国曾经风靡 一 时 受到广泛的欢迎和推崇 他围绕 怎样解题 和 合 情推理 展开研究 开创了数学启发法 即关于 数学发现 和发明的方法和规律 的研究 其 问题解决 法也成为英 法发展数学教育的主要教育思想 波利亚认为数学教育的主要目的是教会学生学会数学 的思考问题 如将所观察到的情况加以一般化 归纳论证 从类比中进行论述 在一个具体 问题中认出一个数学概念 或者从一个具体问题中抽象出一个数学概念等 这都是运用 数学思想方法的结果 数学思想方法的学习 不像数学知识 的学习那样 有章可循 有理可依 它最鲜明的特征是过程 性 它要在知识的传授过程中 由教师把某种特定的数学思 想方法全境 的展现给学生 让学生通过 自己的理解 经历去 体验 领悟和把握 波利亚的数学解题4步曲 弄清问题 拟定 计划 实现计划和 回顾 即波利亚 的数学启发法 在数 学解题中至关重要 这种方法对我国的数学教育质量的提高 曾经发挥了极大的推动作用 在我国2 0世纪 8 0年代 徐利 治教授一直倡导要用波利亚的思想改革数学教材和教学方 法 要培养波利亚型的数学工作者 在徐先生的倡导下 有 关波利亚的数学教育思想和数学方法论的研究组织也逐渐 地活跃起来 1 9 8 9年 5月 在北京召开了全国首届波利亚 数学教育思想与数学方法论研讨会 日本数学家 数学教育家米山国藏也非常重视中学数学 思想方法的教学 著有 数学的精神 思想和方法 一书 该书精辟的论述了贯穿于整个数学的精神实质 重要的数学 思想 各种重要的研究方法和证明方法 为我们勾画出整个 近代数学的沿革 并对数学精神 思想和方法的教学提出了 收稿日期 2 0 0 8 0 2 0 8 作者简介t燕学敏 1 9 7 5 一 女 内蒙古赤峰人 博士后 主要从事数学史与数学教育研究 维普资讯 第 3期 燕学敏等i国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示 许多好的见解 该书对于数学思想方法的论述被数学教育理 论者和教师广征博引 成为重视数学思想方法的典范 米山 国藏认为数学思想能够影响一个人的一生 所 以在中小学时 期就应该培养学生运用数学思想方法解决实际生活中遇到 的数学 问题 的能力 他在 著作 数学 的精神 思想和方 法 中 指出 这种数学的精神 思想和方法 充满于初等数学 高等数学之中 在各种教材里大量的存在着 如果教师们利 用数学教科书 向学生们传授这样的精神 思想和方法 并 通过这些精神活动以及数学思想 数学方法的活用 反复地 锻炼学生们的思维能力 那么 学生们从小学 初中到高中 的 1 2年间 通过不同的教材 会成百上千次地接受同一精 神 方法 原则的指教与锻炼 所以 纵然是把数学知识忘 记了 但数学的精神 思想 方法也会深深地铭刻在头脑里 长久的活跃于 日常的业务中 米山国藏将数学精神分为 1 应用化精神 2 扩张化 一般化精神 3 组织化 系统化精神 4 遍及整个数学的研究精神 致力于发明发 现的精神 5 统一建设的精神 6 严密化精神 7 数 学思想的经济化精神 这些贯穿于数学领域的精神其实就是 7个主要的数学特征 米山国藏认为数学中因为存在这些精 神使得数学成为一棵永不凋谢的常青藤 成为超越许多学 科 如物理 化学 生物之上的 为大多数学科领域所利用 的工具与方法 在论述完数学的精神以后 米山国藏重点阐 述 了数学 中的重要 思想 方法 以及 由于这些数学 思想方法 的 产生 导致数学历史上许多新的数学成果的诞生 这些数学 思想基本上都是近代才产生的 作者从整个数学发展的角度 提炼与概括了数学中比较普遍而又非常有现实意义和价值 的数学思想 比如极限思想 群和集合的思想等 同时作者 还详细论述了几种新思想 如 把有限长看作无限长的思想 庞加莱的非欧几里得空间 把一般的曲线看作直线的思想 等 在此之前 没有人提出作者的这些新思想 尽管上述几部著作都对现代数学思想方法进行了论述 但是他们的着眼点都是整个数学领域 阐述的是现代数学的 共性 很少从中学数学教学的角度进行梳理和阐释 尤其是 用高观点来俯瞰整个初等数学 的研 究还很少涉及 从 目前查 到的资料来看 德国的克莱因 F e l i x K l e i n 高观点下的 初等数学 当属于此类 此书分 3卷 第一卷是关于算术 代数 分析的论述 第二卷是关于几何的论述 第三卷是关 于近似数学与精确数学的论述 在这 3卷中 作者都是从非 常简单的 基础的数学知识入手 逐渐延伸到非常高深的现 代数学内容 也就是从一点展开 逐渐铺开成面 最后成体 这是克莱因这部著作最鲜明的特点 在第一卷中 作者从学 生非常熟悉的加减乘除运算法则开始讲起 步步深入 一直 延伸到现代的实数理论系统 例如在 算术 部分写了四元 数 在几何部分写了高维 以至无穷维 空 间 并且随时讲 到历史和应用 尽管大多数都省略了 但是他还是要提一提 的 另外 他还充分的应用 了数形结合思想 即把数学的 两个基本对象一一数与形结合起来 讲算术 代数 分析时 总是充分运用丰富的几何图像 而讲几何时 用的是代数工 具 又不乏几何语言 全书体现了初等数学与高等数学的融 合 数学各部分的融合 几何观念与算术观念的融合 感性 材料与理性认识的融合等特点 这是一本极好的 写给教师 的教材 通过这本书 教师可以拓展和加深专业知识 但是 要读懂这本书 首先要有一定的数学基础 要了解数学各主 要领域的要点 因此这本书的读者对象是教师和大学生 对 于中学生而言 则有些难以了解和消化 2 国内关于中学数学思想方法的研究 在我国 对数学教育理论做出突出贡献的是数学家 数 学教育家徐利治教授 徐利治教授曾经出版近十部著作论述 数学方法 如 数学方法论选讲 关系映射反演方法 徐利治论数学方法学 数学方法论教程 数学模式 论 数学抽象方法与抽象度分析法 等 他强调数学方法 在中学数学中的重要性 阐明数学方法论主要是研究和讨论 数学的发展规律 数学的思想方法以及数学中的发现 发明 与创造等法则的一门学问 并首次提出了著名的论断 关系 映射反演方法 是我国率先倡导用波利亚的数学教育思想 指导数学教学的人 2 0 世纪 8 0年代初 在他的倡导和身体 力行下 我国数学界开始了数学方法论的研究 二十几年来 不但有关数学方法论的著作越来越多 而且关于数学思想方 法论的论文也日益增多 数学方法论作为一门重要的课程逐 渐趋于成熟 涌现了许多优秀的数学教育研究专著和学术论 文 例如南京大学著名学者郑毓信 他接连发表多部著作 关 系映射反演方法 数学抽象的方法与抽象度分析法 这 两部著作与徐利治教授合著 数学方法论入 门 数学 方法论 数学教育哲学 数学思维与数学方法论 数学文化学 等 郑毓信教授在国内外有关数学教育 数 学思维研究的基础上 从不同的维度对我国的数学教育理论 进行阐述 他不但从哲学 心理学的角度对数学教育中的一 些理论问题给予充分的论述 而且他还倡导数学教育的研究 不能局限在哲 学 心理学 教育学等方面 的研 究 数学教 育 应该从更加广阔的文化领域展开研究 他认为数学教育是一 门集交叉性 前沿性和创新性于一体的学科 将其局限在有 限的几个领域会大大的限制它的发展 这些著作为数学教育 研究奠定了方法论的基础 同时也丰富和发展了数学教育的 理论意义 在重视理论探讨的同时 我国的理论研究者和数 学工作者还比较重视数学思想方法在实践中的应用 他们努 力在实践中验证理论的科学性和实用性 1 9 8 9年 在徐利治教授的倡导和中科院院士王梓坤的 鼓舞和协助下 江苏无锡开展了 贯彻数学方法论的教育方 式 的数学教育实验 即 MM 教育实验 该实验的宗旨是 利用数学方法论指导实际的教学 试验没有固定的教学模 式 主要是强调在数学教学中要充分发挥两个功能一一数学 维普资讯 数学教育学报 第 l 7 卷 的科学技术功能和文化教育功能 该实验探索了一种新的教 学途径一一既教证明又教猜想 既开发学生的左脑又开发学 生的右脑功能 既提高学生的逻辑思维能力又要提高学生的 形象思维能力 MM 教育实验取得了巨大的成功 其实验点 和实验合作单位已经扩展到我国包括台湾地区在 内的几乎 所有省 市 自治区 实验对象也从开始的中学教育扩展到 大学教育 成人教育 该实验在我国是首屈一指的 产生巨 大影响的数学思想方法论研究项目 曹才翰老先生对于中学数学思想方法非常重视 他在 关于在数学教学中重视数学思想的问题 一文中谈到 由 于在当前的数学教学中 数学思想还没有放到教学的应有位 置上 所 以今天我想结合这堂课 点评王人伟老师的 直线 与抛物线的位置关系 谈谈有关数学思想的问题 他在 这篇文章中谈到了为什么在中学教学中要重视数学思想方 法的原因 曹先生认为 如果学生认知结构中具有较高抽 象 概括水平 的观念 对于新学习是有利的 只有概括 的 巩固的和清晰的知识才能实现迁移 2 曹先生以其独到的 眼光 深谋远虑 在 2 O世纪 8 O年代就已经开始意识到数学 思想方法对于 教学 的重要性 因此他 呼吁和提倡学校教学中 要将数学思想方法的渗透提到 日程上来 此后相继有多种数学思想方法的著作出版 这些著作有 专门论述数学方法论的 如朱梧横 肖奚安的 数学方法论 A B C 张奠宙 过伯祥的 数学方法论稿 等 有论述数 学思想方面的 比如解恩泽 徐本顺的 数学思想方法纵横 论 郑毓信的 数学思维与数学方法论 张奠宙等的 现 代数学思想讲话 有专门论述某一种方法或思想的 如徐 利治 郑毓信合著的 关系映射反演方法 史九一 朱梧 桢著作的 化归与归纳类比联想 等 针对中学数学教学也 有专门的论著出版 如马复著的 中学数学思想方法初论 李翼忠著的 中学数学方法论 沈文选的 中学数学思想 方法 以及后来出版的肖柏荣 潘娉姣的 数学思想方法 及其教学示例 这些 著作 的出版弥补 了我 国关于 中学数学 领域数学思想方法研究的空白 另外还有许多的论文刊登在 国内数学教育期刊上 这些论文和著作有一个共同的特点 1 从宏观上对数学思想方法进行了研究 偏重于理论 上的论证 而很少有实践证明 2 针对某一具体的思想方法进行研究 侧重于先理论 分析后用例题论证 的形 式 3 对一般的 普遍的思想方法研究的比较多 而很少 研究现代数学思想在数学教学中的渗透和应用 3 对于现代数学思想方法研究的不足及启示 大部分论著所研究的数学思想方法是中学的主要思想 方法 贯穿于整个中学数学教学之中 是中学数学教学顺利 进行的基本保证 在过去 现在和将来都起着重要的作用 但 是随着许多现代数学内容被写进了中学数学教科书 相应的 一 些新的数学思想被引入到中学数学教学中 这样有更多的 数学思想需要我们去挖掘 概括和提炼 但由于现代数学的 抽象性 我们需要追溯这些思想最初产生 发展的历程 追 溯数学家们的思维过程 以便更深刻的体会这种思想 英国 著名物理学家麦克斯韦 J C Ma x we l l 1 8 3 l l 8 7 9 认为 对于学习任何一门学科的学生而言 阅读该学科的原始论 文是十分有用的 因为科学在最初状态下总是最容易被完全 吸收的 而德国著名物理学家马赫 E Ma c h 1 8 3 8 1 9 1 6 在解释一种思想时 总会参考原始文献 追溯该思想的历 史 在教学中通过对数学思想发展的追忆 对数学教学应该 有一定的借鉴意义 对数学学习也会有一定的指导意义 这些著作的出版为后人研究数学思想方法提供 了良好 的研究范式和研究基础 在内容上 波利亚的数学解题方法 对于解决数学问题确实有一定的影响 但是这个解题表还是 不能完全满足大多数学生的需求 其罗列的解题思维过程太 宽泛化 学生驾驭起来比较困难 比如在关键的第二步一一 拟定计划中 要求解题者调动所有与已知数和未知数有关的 比较简单的或者 已经解决的熟悉的问题 在解题者的认知结 构 中有许许多多与之相关 的问题 解题者如何在浩如烟海 的 相关性知识中找到 自己真正想要的知识结构呢 对于解题 者来说 这是异常艰难的选择 因此 波利亚的数学启发法 有一定的局限性 况且 波利亚 的论述针对的是解题思维 的 过程分析 是从学生解题过程中产生的愉悦感作为学习数学 的本原动力 来阐述学习数学的过程 而不是从现代数学思 想方法产生的原始过程出发 再现数学知识的认知过程 从 符合认知规律的角度 从学生数学思维的形成的角度来分析 数学的教与学 在方法论上 波利亚关于数学思想方法的研 究偏重于数学方法论的研究 比如他的 怎样解题 着重 于解题过程的分析 作者将解题过程分为几个环节 逐个过 程进行分析 这种方法被称为启发法或者探索法 他的另两 部著作则着墨于数学方法论中的合情推理模式和归纳与类 比方法 但是波利亚对于数学解题过程的分析完全可以给中 学数学教学以借鉴 我们可以将数学概念 定理的教学按着 他的这种研究方法 将每一个细节都呈现给学生 使学生体 验到数学先辈们的心路历程 相信数学不是一开始就是以现 在的完美形式表现出来的 它也是无数的先辈们经过无数次 的失败才形成现在比较完美的形式 学生学习中面临的一些 困惑在数学思想发展史上也曾经是那些数学家的困惑 从而 激发学生极大的求知欲和好奇感 无 形中也增加 了学生学习 数学的信心 波利亚以某个方法为主线 呈辐射状的向各个 数学领域发散 他的每种方法在数学上应用十分广泛 受其 启发 我们认为中学应该借鉴这种研究方法 尽量将中学数 学中蕴含的数学思想方法挖深挖透 以便在学生的学习中广 泛应用 米山国藏的数学思想方法是对于所有现代的数学思想 方法而言的 具有一定的普遍性 他的论述是对现代数学思 维普资讯 第3期 燕学敏等 国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示 想方法的应用的广泛性和实用性的肯定 他没有学校阶段的 划分 是对所有的数学中蕴含的现代数学思想方法的总结和 概括 与中学教学中运用的现代数学思想方法有很大的差 别 张奠宙的 现代数学思想讲话 则是指明了现代数学发 展中一些新的 特别重要的思想 书中还特别提及了中学中 的 l 5种重要的数学思想 但是 他的数学思想也是偏重于 理论的研究 而不偏重于在中学中的实践 F 克莱因的 高 观点下的初等数学 是他根据讲稿整理出来的 其面向的对 象是广大的师范类大学生 因此他不会花很多的精力和时间 去钻研他的理论在中学数学教学中如何应用的问题 他的著 作中大多数都省略了关于数学思想方法发展史方面的知识 对于历史上著名的数学家也很少提到 更谈不上论述他们的 数学思维 但是数学思想史 数学家的思维过程以及数学家 的生活趣闻这些知识内容对于提高学生的学习兴趣 提高他 们的数学文化修养 培养学生的数学创新能力是非常重要 的 F 克莱因省略这些内容 对中学数学来说不得不算是 一 种缺憾 由于高等数学知识被写进中学数学教材中 中学教师在 温习与学习新知识时 应该了解与掌握这些新知识蕴含的数 学思想方法 只有充分地掌握这些数学知识背后的历史背景 和发展脉络以及当事数学家的思维过程 才能在教学中设计 适当的教学情境 启发与诱导学生积极地思考 因此在研究 现代数学思想方法时 教师一方面应结合教材中的现代数学 知识内容来挖掘其中蕴含的现代数学思想方法 及各国数学 的发展历史 有针对性的加以引申和扩展 同时认真查阅数 学史料 挖掘当时产生这种数学知识的思想根源与解决方 法 必要时 也可根据当时的数学发展现状和背景资料进行 方法复原 在贯彻数学思想方法的教学中 要关注学生的最近发展 区 尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法并根据学生的差 1 2 3 异 采用不同的思想方法解决问题 帮助学生完成学习迁 移 尽可能设计有利于学生发展的教学环节 促进学生自主 理解和掌握思想方法 用现代数学思想方法促进学生的现实 发展水平 促成其最近发展区的形成 比如 在求解球的体 积时 教材中运用的 分割一一求近似和一一化成准确值 的思想方法 是古代印度求解球体积方法的翻版 唯一不同 的是高中教材中的分割方法使用的是 n等分 而印度由于受 当时数学发展水平的限制 只是将四分之一球面按着经纬方 向 每个方向分割成 2 4等份 与他们的正弦表遥相对应 蕴含了 无限分割 的思想方法 同时也体现了 化曲为平 化整为零 积零为整 逐渐逼近精确值 的数学思想 在教 学中 对于 能力 强的学生可以让他们独立探究球的体积的求 解方法 但在操作过程中 教师可以适时点拨 而有的学生 则引导他们回想圆面积的求法 启发他们运用 割补 的思 想方法 而对基础相对比较差的学生可以先向他们讲解古代 印度的分割方法 将学生的认知水平提高到一个新的发展平 台 形成其现有的发展水平 再逐步地过渡到现在的分割方 法 使学习顺利地发生迁移 从而顺利掌握球体积的 n等分 求解方法 数学的历史蜿蜒曲折 蕴含着无穷的魅力 既开拓学生 的视野 增强学生的自信心 同时又给我们今天的数学教学 以启示和借鉴 著名数学家张景中曾经建议用 出入相补原 理 勾股定理 构造性 原理 作为初等数学的 3条 公 理 重新编写初等教材 3 以这种方式编写出的教材风格 体例与欧几里得的演绎体系完全不同 比较符合中国人的传 统思维方式 这样做并不是完全摒弃欧式几何那一套 相反 我们仍旧重视西方的演绎体系 兼收并蓄 糅合中西方文化 为数学教育所用 教师只有十分清楚某种重要的数学思想方 法的来龙去脉 才能条理清晰 逻辑严谨的讲述给学生 参 考 文 献 米山国藏 数学精神 思想和方法 M 成都 四川教育出版社 1 9 8 6 曹才翰 曹才翰数学教育文选 M 北京 人民教育出版社 2 0 0 5 张景中 从数学教育到教育数学 M 北京 中国少年儿童出版社 2 0 0 5 Re v i e w a n d Ap o c a l y p s e o