2013年重庆高考数学文科试卷带详解.doc

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 备选项中 只有一个选项是符合题目要求的 备选项中 只有一个选项是符合题目要求的 1 已知集合 集合 则 1 2 3 4 U 1 2 A 2 3 B U AB A B C D 1 3 4 3 4 3 4 测量目标 集合的基本运算 考查方式 集合的表达 列举法 求集合的并集与补集 参考答案 D 试题分析 先求出两个集合的并集 再结合补集的概念求解 1 2 2 3 1 2 3 4 U ABAB AB 2 命题 对任意 都有 的否定为 x R 2 0 x A 对任意 都有 B 不存在 都有x R 2 0 x x R 2 0 x C 存在 使得 D 存在 使得 0 x R 2 0 0 x 0 x R 2 0 0 x 测量目标 全称量词与存在量词 考查方式 含有量词的命题否定 直接求该命题的否定 参考答案 D 试题分析 根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出 故 对任意 都有 的否定 xM p xxMp x 的否定是x R 2 0 x 是 存在 使得 0 x R 2 0 0 x 3 函数的定义域为 2 1 log 2 y x A B C D 2 2 2 3 3 2 4 4 测量目标 函数的定义域 考查方式 给定函数式 使每个部分有意义 求其定义域 参考答案 C 试题分析 利用函数有意义的条件直接运算求解 故选 C 2 log 2 0 20 x x 23 xx 得且 4 设是圆上的动点 是直线上的动点 则的最小P 22 3 1 4xy Q3x PQ 值为 A 6 B 4 C 3 D 2 测量目标 直线与圆的位置关系 动点间距离最值问题 考查方式 给出圆与直线的方程 利用数形结合求两图形上动点的最短距离 参考答案 B 试题解析 圆心与定直线的最短距离为 又圆 3 1 M 3x 3 3 6MQ 的半径为 2 故所求最短距离为 62 4 5 执行如题 5 图所示的程序框图 则输出的的值是 k A 3 B 4 C 5 D 6 测量目标 循环结构的程序框图 考查方式 考查循环结构的流程图 注意循环条件的设置 以及循环体的构成 特别是注意最后一次循环 的值 输出 kk 参考答案 C 试题解析 利用循环结构相关知识直接运算求解 第 5 题图 222 22 1 1 01 2 1 12 3 226 4 6315 5 1543115 5 ksksks ksksk 故输出 6 下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量 单位 台 的茎叶图 则数据落在区 间 22 30 内的概率为 A 0 2 B 0 4 C 0 5 D 0 6 测试目标 茎叶图 考查方式 题给出茎叶图 直接求解 参考答案 B 试题分析 利用频率及茎叶图的知识直接求解 由题意知 这 10 个数据落在区间 内的有 22 22 27 29 四个 所以频率为 0 4 22 30 7 关于的不等式 的解集为 且 则x 22 280 xaxa 0a 12 x x 21 15xx a A B C D 5 2 7 2 15 4 15 2 测量目标 解含参的一元二次不等式 考查方式 给出不等式 给出两解集的范围差 利用因式分解求不等式中的未知数 参考答案 利用因式分解法解一元二次不等式寻求 a 的关系式后 带入求解 即 故原不等 22 280 0 2 4 0 0 xaxaaxa xaa 24axa 式的解集为 2 4 aa 步骤 2 21 5 154 2 15 615 2 xxaaaa 8 某几何体的三视图如题 8 所示 则该几何体的表面积为 A B C D 180200220240 测量目标 由三视图求几何体的表面积 考查方式 给出几何体的三视图 直接求几何体的表面积 参考答案 D 试题分析 利用三试图还原几何体 结合直观图直接运算求解 由三视图知识知该几 何体是底面为等腰梯形的直四棱柱 等腰梯形的上底长为 2 下底长为 8 高为 4 腰长为 5 直四棱柱的高为 10 所以 1 82 4 240 2 S 底 10 8 10 2 2 10 5 200 40 200 240SS 侧表 9 已知函数 则 3 sin4 f xaxbxa b R 2 lg log 10 5f lg lg2 f A B C D 5 1 34 测量目标 对数函数性质 函数的奇偶性综合运用 考查方式 给定函数式 给定某个函数值 用函数的奇偶性与对数的性质去求另一 个函数值 参考答案 C 试题分析 运用奇函数的性质 整体换元求解 因为互为倒数 与互为相反数 步骤 210 log 10lg2 log2 与即 2 lg log 10 lg lg2 1 不妨令 33 2 lg log 10 lg lg2 sin4 sin 48xxf xfxaxbxaxbx 故 步骤 2 8 853fxf x 10 设双曲线的中心为点 若有且只有一对相较于点 所成的角为的直线COO60 和 使 其中 和 分别是这对直线与双曲线 11 AB 22 A B 1122 ABA B 1 A 1 B 2 A 2 B 的交点 则该双曲线的离心率的取值范围是 C A B C D 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 测量目标 双曲线的简单几何性质 直线与双曲线的位置关系 考查方式 通过 有且只有一对 限定双曲线渐近线倾斜角的范围 求取离心率 参考答案 A 试题分析 由双曲线的对称性知 满足题意的这一对直线也关于 x 轴 或 y 轴 对 称又由题意知有且只有一对这样的直线 故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是 大于且小于等于 即 30 60 2 2 1 tan30tan60 3 3 bb aa 2 222 2 42 3 1 4 2 33 cb eee aa 又 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 考生作答小题 考生作答 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 把答分 把答 案填写在答题卡相应位置上 案填写在答题卡相应位置上 11 已知复数 是虚数单位 则 12iz iz 测量目标 复数的模 考查方式 给出复数的方程式 直接求解复数的模 参考答案 5 试题分析 利用求模公式直接求解 22 12i 125zz 12 若 2 9 成等差数列 则 abcca 测量目标 等差数列的通项公式 考查方式 题给此数列为等差数列 求出公差 再进行求解数列中两项的差值 参考答案 7 2 试题分析 利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解 由题意得该等差数列的公差 927 5 14 d 所以 7 2 2 cad 13 若甲 乙 丙三人随机地站成一排 则甲 乙两人相邻而站的概率为 测量目标 古典概型 考查方式 三个人随机站一排 把两人放在一起去求概率 参考答案 2 3 试题分析 首先写出甲 乙 丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果 然后将两结果数相除可得 甲乙丙三人随机的站成一排有 甲乙丙 甲丙乙 乙甲丙 乙丙甲 丙甲乙 丙乙甲 共 6 种排法 甲乙相邻而站有 甲乙丙 乙甲丙 丙甲乙 丙乙甲 共 4 种排法 由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为 42 63 14 为边 为对角线的矩形中 则实数 OAOB 3 1 OA 2 OBk k 测量目标 向量坐标形式的加减运算及数量积运算 考查方式 平面向量的坐标运算 其未知数 k 参考答案 4 试题分析 画出矩形草图 利用向量加减运算及数量积运算直接求解 如图所示 由于所以 3 1 2 OAOBk 步骤 1 1 1 ABOBOAk 在矩形中 由所以0 OAABOA AB A得 3 1 1 1 0 3 1 1 1 0kk A即 解得 步骤 2 4k 15 设 不等式对恒成立 则的取值范0 2 8 8sin cos20 xx x R 围为 测量目标 一元二次不等式 考查方式 限定的大范围 带入不等式中求解出的范围 参考答案 5 0 66 试题分析 根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接R 0 运算求解 由题意 要使对恒成立 2 8 8sin cos20 xx x R 需化简得 步骤 1 2 64sin32cos0 1 cos2 2 0 又 或解得或 步骤 2 02 3 5 22 3 0 6 5 6 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 16 本小题满分 13 分 1 小问 7 分 2 小问 6 分 设数列满足 n a 1 1a 1 3 nn aa n N 1 求的通项公式及前项和 n an n S 2 已知是等差数列 为前项和 且 求 n b n Tn 12 ba 3123 baaa 20 T 测量目标 等比数列 等差数列的通项公式及前项和公式 n 考查方式 给定 与的关系 去求的通项公式及前项和 再根据 1 a n a 1n a n an n S 与的关系 求 n b n a n T 试题分析 根据等比 等差数列的通项公式及前项和公式直接求解 n 解 1 由题设知是首项为 1 公比为 3 的等比数列 n a 步骤 1 1 1 31 3 31 1 32 n nn nn aS 12331 2 3 1 3913 102 babbbd 故 步骤 2 5 d 20 20 19 20 351010 2 T 17 本小题满分 13 分 1 小问 9 分 2 3 小问各 2 分 从某居民区随机抽取 10 个家庭 获得第 个家庭的月收入 单位 千元 与月储蓄i i x 单位 千元 的数据资料 算得 i y 10 1 80 i i x 10 1 20 i i y 10 1 184 ii i x y 10 2 1 720 i i x 1 求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程 yxybxa 2 判断变量与之间是正相关还是负相关 xy 3 若该居民区某家庭月收入为 7 千元 预测该家庭的月储蓄 附 线性回归方程中 ybxa 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 其中 为样本平均值 线性回归方程也可写为 xy ybxa 测量目标 线性回归方程 利用线性回归方程解决实际应用问题 考查方式 给出月收入与月储蓄 求解其线性回归方程 并判断两者之间的相关性 给 定数据代入线性回归方程求解 试题分析 根据线性回归方程相关知识直接运算求解 解 1 由题意知 步骤 1 11 180120 10 8 2 1010 nn ii ii nxxyy nn 步骤 2 2 22 1 1 720 10 880 184 10 8 224 n xxi i n xyii i lxnx lx ynxy 又 24 0 3 20 3 80 4 80 xy xx l baybx l 由此得 故所求线性回归方程为 步骤 3 0 30 4 yx 2 由于变量的值随值的增加而增加 故与之间是正相关 yx 0 30 b xy 步骤 4 3 将带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 千元 7x 0 3 70 41 7y 步骤 5 18 本小题满分 13 分 1 小问 4 分 2 小问 9 分 在 中 内角 的对边分别是 且 ABCABCabc 222 3abcbc 1 求 A 2 设 为的面积 求的最大值 并指出此时3a SABC 3coscosSBC 的值 B 测量目标 利用正余弦定理解决有关角度问题 考查方式 给出三角形三边的数量关系 求其中一角 再给出其中一边具体数值情况下 计算所给函数式的值 并求其中角的数值 试题分析 利用正 余弦定理及差角三角函数直接运算解答 解 1 由余弦定理得 步骤 1 222 33 cos 222 bcabc A bcbc 又因为 步骤 2 5 0 6 AA 2 由 1 得又由正弦定理及得 1 sin 2 A 3a 步骤 3 11sin sinsin3sinsin 22 sin aB SabCaCBC A AA 3coscos3 sinsincoscos 3cos SBCBCBCBC 当取最大值 3 步骤 4 3coscos 212 A BC BSBC 19 本小题满分 12 分 1 小问 5 分 2 小问 7 分 如题 19 图 四棱锥中 底面 PABCD PAABCD2 3PA 2BCCD 3 ACBACD 1 求证 平面 BDPAC 2 若侧棱上的点满足 求三棱锥PCF7PFFC 的体积 PBDF 测量目标 线线 线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解 考查方式 1 给出四棱锥的图形 给出其中部分直线的位置 与代数关系及部分角 线线垂直推出线面垂直 2 再给出一条棱 上的比例关系 求三棱锥体积 试题分析 运用线面垂直的性质和判定证明平面利用割补法求三棱锥体积 BD PAC 1 证明 因为所以为等腰三角形 步骤 1 BCCD BCD 又 步骤 2 ACBACDBDAC 因为底面 步骤 3 PA ABCDPABD 从而与平面内两条相交直线都垂直 BDPAC PA AC 平面 步骤 4 BD PAC 2 解三棱锥的底面的面积 P BCDBCD 步骤 5 112 sin2 2 sin3 223 BCD SBC CDBCD AA 平面PA ABCD 步骤 6 11 32 32 33 P BCDBCD VSPA AA 由 得三棱锥的高为 故7PFFC F BCD 1 8 PA 步骤 7 11111 32 3 38384 F BCDBCD VSPA AA 所以 步骤 8 17 2 44 P BDFP BCDF BCD VVV 20 本小题满分 12 分 1 小问 5 分 2 小问 7 分 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为米 r 高为米 体积为立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面积的建造成本为hV 100 元 平方米 底面的建造成本为 160 元 平方米 该蓄水池的总建造成本为 12000 元 为圆周率 1 将表示成的函数 并求该函数的定义域 Vr V r 2 讨论函数的单调性 并确定和为何值时该蓄水池的体积最大 V rrh 测量目标 函数的实际运用 函数的定义域 导数在实际问题中的应用 考查方式 根据题意列出函数方程式 求其定义域 结合导数研究函数的单调性及最值 问题 试题分析 根据数量关系列出函数关系式 并利用导数研究函数的单调性与最值 解 1 因为蓄水池侧面的总成本为 元 100 2 200 rhrh A 底面的总成本为元 所以蓄水池的总成本为 元 2 160 r 2 200 160 rhr 又根据题意 2 200 160 12000 rhr 223 1 3004 3004 55 hrV rr hrr r 又由0 r 05 3hr 故函数的定义域为 V r0 5 3 232 2 3004 300 12 55 V rr hrrV rr 令解得 因为不在定义域内 舍去 0 V r 12 5 5rr 当故在上为增函数 0 5 0 rV r V r 0 5 当故在上为减函数 5 5 3 0 rV r V r 5 5 3 由此可知 在处取得最大值 此时 V r5r 8h 即当时 该蓄水池的体积最大 5 8rh 21 本小题满分 12 分 1 小问 4 分 2 小问 8 分 如题 21 图 椭圆的中心为原点 长轴在轴上 离心率 过左焦点作Ox 2 2 e 1 F 轴的垂线交椭圆于 两点 xA A 4