数学实验(何国良) 第4章 线性代数.pdf

1 1 1 1 特征值问题及应用特征值问题及应用特征值问题及应用特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合离散数据的多项式拟合离散数据的多项式拟合离散数据的多项式拟合 第四章第四章第四章第四章 线性代数线性代数线性代数线性代数 2 2 2 2 MATLABMATLABMATLABMATLAB解算特征值问题方法解算特征值问题方法解算特征值问题方法解算特征值问题方法 lamda eig A lamda eig A lamda eig A lamda eig A 计算计算计算计算A A A A的特征值的特征值的特征值的特征值 这里这里这里这里lamdalamdalamdalamda是是是是A A A A 的全部特征值构成的列向量 的全部特征值构成的列向量 的全部特征值构成的列向量 的全部特征值构成的列向量 P D eig A P D eig A P D eig A P D eig A 计算出计算出计算出计算出A A A A的全部特征值和对应的特的全部特征值和对应的特的全部特征值和对应的特的全部特征值和对应的特 征向量征向量征向量征向量 其中其中其中其中 D D D D是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵 保存矩阵保存矩阵保存矩阵保存矩阵A A A A的全部特征的全部特征的全部特征的全部特征 值值值值 P P P P是满阵是满阵是满阵是满阵 P P P P的列向量构成对应于的列向量构成对应于的列向量构成对应于的列向量构成对应于D D D D的特征向量组 的特征向量组 的特征向量组 的特征向量组 矩阵特征值问题矩阵特征值问题矩阵特征值问题矩阵特征值问题 A A A A是是是是n n n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 求非零向量求非零向量求非零向量求非零向量 和数和数和数和数 使得使得使得使得 A A A A 称称称称 为特征向量为特征向量为特征向量为特征向量 称称称称 为特征值为特征值为特征值为特征值 3 3 3 3 例例例例4 5 4 5 4 5 4 5 出租汽车问题出租汽车问题出租汽车问题出租汽车问题 出租汽车公司在仅有出租汽车公司在仅有出租汽车公司在仅有出租汽车公司在仅有A A A A城和城和城和城和B B B B城的海岛上城的海岛上城的海岛上城的海岛上 设了设了设了设了A BA BA BA B两两两两营营营营 业部 如果周一业部 如果周一业部 如果周一业部 如果周一A A A A城有城有城有城有120120120120辆可出租汽车 而辆可出租汽车 而辆可出租汽车 而辆可出租汽车 而B B B B城有城有城有城有150150150150 辆 统计数据表明 平均每天辆 统计数据表明 平均每天辆 统计数据表明 平均每天辆 统计数据表明 平均每天A A A A城营业部汽车的城营业部汽车的城营业部汽车的城营业部汽车的10 10 10 10 被顾客租用开到被顾客租用开到被顾客租用开到被顾客租用开到B B B B城城城城 B B B B城营业部汽车的城营业部汽车的城营业部汽车的城营业部汽车的12 12 12 12 被被被被开到了开到了开到了开到了 A A A A城 假设所有汽车正常 试计算一周后两城的汽车城 假设所有汽车正常 试计算一周后两城的汽车城 假设所有汽车正常 试计算一周后两城的汽车城 假设所有汽车正常 试计算一周后两城的汽车 数量 寻找方案使每天汽车正常流动而数量 寻找方案使每天汽车正常流动而数量 寻找方案使每天汽车正常流动而数量 寻找方案使每天汽车正常流动而A A A A城和城和城和城和B B B B城的汽城的汽城的汽城的汽 车数量不增不减 车数量不增不减 车数量不增不减 车数量不增不减 设第设第设第设第n n n n天天天天A A A A城营业部汽车数为城营业部汽车数为城营业部汽车数为城营业部汽车数为x x x x1 1 1 1 n n n n B B B B城营业部汽车数城营业部汽车数城营业部汽车数城营业部汽车数 为为为为x x x x2 2 2 2 n n n n 则有则有则有则有 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 88888888 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 12121212 0 0 0 09 9 9 9 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 4 4 营业部汽车总数量营业部汽车总数量营业部汽车总数量营业部汽车总数量 120 150 270120 150 270120 150 270120 150 270 X 120 150 X 120 150 X 120 150 X 120 150 A 0 9 0 12 0 1 0 88 A 0 9 0 12 0 1 0 88 A 0 9 0 12 0 1 0 88 A 0 9 0 12 0 1 0 88 Cars X Cars X Cars X Cars X for k 1 6for k 1 6for k 1 6for k 1 6 X A X A X A X A X Cars Cars X X Cars Cars X X Cars Cars X X Cars Cars X endendendend CarsCarsCarsCars figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 120 126 130 68 134 33 137 17 139 39 141 13 120 126 130 68 134 33 137 17 139 39 141 13 120 126 130 68 134 33 137 17 139 39 141 13 120 126 130 68 134 33 137 17 139 39 141 13 150 144 139 32 135 66 132 82 130 60 128 86 150 144 139 32 135 66 132 82 130 60 128 86 150 144 139 32 135 66 132 82 130 60 128 86 150 144 139 32 135 66 132 82 130 60 128 86 1234567 0 50 100 150 1234567 0 50 100 150 5 5 5 5 营业部汽车总数量营业部汽车总数量营业部汽车总数量营业部汽车总数量 120 150 270120 150 270120 150 270120 150 270 88888888 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 12121212 0 0 0 09 9 9 9 0 0 0 0 A A A A 矩阵矩阵矩阵矩阵 X 147 123 X 147 123 X 147 123 X 147 123 A 0 9 0 12 0 1 0 88 A 0 9 0 12 0 1 0 88 A 0 9 0 12 0 1 0 88 A 0 9 0 12 0 1 0 88 1234567 0 50 100 150 1234567 0 50 100 150 Cars X Cars X Cars X Cars X for k 1 6for k 1 6for k 1 6for k 1 6 X A X A X A X A X X X X Cars Cars X Cars Cars X Cars Cars X Cars Cars X endendendend figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 147 123 147 123 147 123 147 123 6 6 6 6 营业部汽车总数量营业部汽车总数量营业部汽车总数量营业部汽车总数量 120 150 270120 150 270120 150 270120 150 270 88888888 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 12121212 0 0 0 09 9 9 9 0 0 0 0 A A A A 矩阵矩阵矩阵矩阵 Cars X Cars X Cars X Cars X for k 1 6for k 1 6for k 1 6for k 1 6 X A X A X A X A X X X X Cars Cars X Cars Cars X Cars Cars X Cars Cars X endendendend figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 1 bar Cars 1 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 figure 2 bar Cars 2 147 123 147 123 147 123 147 123 L 0L 0L 0L 0 9 9 9 9 0 120 120 120 12 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 88 88 88 88 P lamda eig L P lamda eig L P lamda eig L P lamda eig L p1 P 1 d sum p1 p1 P 1 d sum p1 p1 P 1 d sum p1 p1 P 1 d sum p1 p p1 dp p1 dp p1 dp p1 d X0 pX0 pX0 pX0 p 270270270270 7 7 7 7 莱斯利于莱斯利于莱斯利于莱斯利于1945194519451945年提出用于预测单种群生物年提出用于预测单种群生物年提出用于预测单种群生物年提出用于预测单种群生物 数量增长的矩阵模型 数量增长的矩阵模型 数量增长的矩阵模型 数量增长的矩阵模型 将一个生物种群按年龄分为将一个生物种群按年龄分为将一个生物种群按年龄分为将一个生物种群按年龄分为 m m m m 个年龄组个年龄组个年龄组个年龄组 设设设设 x x x xk k k k t t t t 表示表示表示表示 t t t t 时刻第时刻第时刻第时刻第 k k k k 个年龄组的生物数个年龄组的生物数个年龄组的生物数个年龄组的生物数 量量量量 x x x xk k k k 0 0 0 0 是初始时刻数量 生物数量向量是初始时刻数量 生物数量向量是初始时刻数量 生物数量向量是初始时刻数量 生物数量向量 T T T T m m m m t t t tx x x xt t t tx x x xt t t tx x x xt t t tX X X X 2 2 2 21 1 1 1 随时间随时间随时间随时间 t t t t 0 0 0 0 t t t t1 1 1 1 t t t t2 2 2 2 t t t t3 3 3 3 变化规律变化规律变化规律变化规律 P H LeslieP H LeslieP H LeslieP H Leslie 1900 19741900 19741900 19741900 1974 实验 实验 实验 实验 动物养殖问题动物养殖问题动物养殖问题动物养殖问题 8 8 8 8 某种动物最大年龄为某种动物最大年龄为某种动物最大年龄为某种动物最大年龄为15151515岁岁岁岁 将其分为三个年龄组 第将其分为三个年龄组 第将其分为三个年龄组 第将其分为三个年龄组 第 一组一组一组一组0 0 0 0 5 5 5 5岁 第二组岁 第二组岁 第二组岁 第二组6 6 6 6 10101010岁 第三组岁 第三组岁 第三组岁 第三组11111111 15151515岁 第岁 第岁 第岁 第 二组在其年龄段平均繁殖二组在其年龄段平均繁殖二组在其年龄段平均繁殖二组在其年龄段平均繁殖4 4 4 4个后代个后代个后代个后代 第三组平均繁殖第三组平均繁殖第三组平均繁殖第三组平均繁殖3 3 3 3 个后代 第一和第二组五年的存活率分别为个后代 第一和第二组五年的存活率分别为个后代 第一和第二组五年的存活率分别为个后代 第一和第二组五年的存活率分别为0 50 50 50 5和和和和 0 250 250 250 25 现有三个年龄组动物各 现有三个年龄组动物各 现有三个年龄组动物各 现有三个年龄组动物各1000100010001000 计算 计算 计算 计算5 5 5 5年后 年后 年后 年后 10101010 年后 年后 年后 年后 15151515年后各年龄组动物数量 年后各年龄组动物数量 年后各年龄组动物数量 年后各年龄组动物数量 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x X X X X X X X X k k k k 1 1 1 1 L L L L X X X X k k k k 设设设设 t t t t0 0 0 0 0 0 0 0 t t t t1 1 1 1 5 5 5 5 t t t t2 2 2 2 10 10 10 10 t t t t3 3 3 3 15 15 15 15 各年龄组动物数量各年龄组动物数量各年龄组动物数量各年龄组动物数量 x x x x1 1 1 1 k k k k x x x x1 1 1 1 t t t tk k k k x x x x2 2 2 2 k k k k x x x x2 2 2 2 t t t tk k k k x x x x3 3 3 3 k k k k x x x x3 3 3 3 t t t tk k k k 9 9 9 9 x x x x1 1 1 1 0 0 0 0 x x x x2 2 2 2 0 0 0 0 x x x x2 2 2 2 0 0 0 0 x x x x3 3 3 3 0 0 0 0 x x x x3 3 3 3 0 0 0 0 x x x x2 2 2 2 1 1 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5x x x x1 1 1 1 0 0 0 0 x x x x2 2 2 2 1 1 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5x x x x1 1 1 1 0 0 0 0 x x x x3 3 3 3 1 1 1 1 0 25 0 25 0 25 0 25x x x x2 2 2 2 0 0 0 0 x x x x3 3 3 3 1 1 1 1 0 25 0 25 0 25 0 25x x x x2 2 2 2 0 0 0 0 x x x x1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4x x x x2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3x x x x3 3 3 3 0 0 0 0 x x x x1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4x x x x2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3x x x x3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 025252525 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 05 5 5 5 0 0 0 0 3 3 3 34 4 4 40 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 0 0 0 3 3 3 3 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x 0 0 0 0 1 1 1 1 X X X XL L L LLXLXLXLXX X X X n n n nn n n nn n n n 10101010 问题问题问题问题 1 1 1 1 以五年为一时间段 分析动物各年龄组数量变化以五年为一时间段 分析动物各年龄组数量变化以五年为一时间段 分析动物各年龄组数量变化以五年为一时间段 分析动物各年龄组数量变化 规律规律规律规律 2 2 2 2 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡 现有三个组的动物各现有三个组的动物各现有三个组的动物各现有三个组的动物各1001001001000 0 0 0 计算第计算第计算第计算第5 5 5 5年 第年 第年 第年 第10101010年 第年 第年 第年 第 15151515年后各个周龄的动物数量年后各个周龄的动物数量年后各个周龄的动物数量年后各个周龄的动物数量 开始时刻开始时刻开始时刻开始时刻 X X X X 0 0 0 0 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 T T T T 11111111 动物数量变化规律计算动物数量变化规律计算动物数量变化规律计算动物数量变化规律计算 function function function function X animal n X animal n X animal n X animal n L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 X 1000 1000 1000 X 1000 1000 1000 X 1000 1000 1000 X 1000 1000 1000 P X P X P X P X for k 1 nfor k 1 nfor k 1 nfor k 1 n X L X L X L X L X P P X X P P X X P P X X P P X endendendend figure 1 bar P 1 figure 1 bar P 1 figure 1 bar P 1 figure 1 bar P 1 figure 2 bar P 2 figure 2 bar P 2 figure 2 bar P 2 figure 2 bar P 2 figure 3 bar P 3 figure 3 bar P 3 figure 3 bar P 3 figure 3 bar P 3 调用函数调用函数调用函数调用函数 X animal 1 X animal 1 X animal 1 X animal 12 2 2 2 X 314754 15 143543 21 16547 12X 314754 15 143543 21 16547 12X 314754 15 143543 21 16547 12X 314754 15 143543 21 16547 12 12121212 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 P lamda eig L P lamda eig L P lamda eig L P lamda eig L 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 L L L L 的主特征值的主特征值的主特征值的主特征值 主特征值特征向量试验主特征值特征向量试验主特征值特征向量试验主特征值特征向量试验 p1 P 1 d sum p1 p1 P 1 d sum p1 p1 P 1 d sum p1 p1 P 1 d sum p1 p p1 dp p1 dp p1 dp p1 d X0 pX0 pX0 pX0 p 3000300030003000 P P P P 0 95 0 93 0 230 95 0 93 0 230 95 0 93 0 230 95 0 93 0 23 0 32 0 36 0 590 32 0 36 0 590 32 0 36 0 590 32 0 36 0 59 0 05 0 07 0 770 05 0 07 0 770 05 0 07 0 770 05 0 07 0 77 Lamda Lamda Lamda Lamda 1 50 0 0 1 50 0 0 1 50 0 0 1 50 0 0 0 1 31 0 0 1 31 0 0 1 31 0 0 1 31 0 0 0 0 19 0 0 0 19 0 0 0 19 0 0 0 19 X0 X0 X0 X0 2160 00 720 00 120 002160 00 720 00 120 002160 00 720 00 120 002160 00 720 00 120 00 动物数量按年动物数量按年动物数量按年动物数量按年 龄显示出倒金龄显示出倒金龄显示出倒金龄显示出倒金 字塔结构字塔结构字塔结构字塔结构 2160 2160 2160 2160 720 720 720 720 120120120120 13131313 取取取取 n 3n 3n 3n 3 2160 3240 4860 72902160 3240 4860 72902160 3240 4860 72902160 3240 4860 7290 720 1080 1620 2430 720 1080 1620 2430 720 1080 1620 2430 720 1080 1620 2430 120 180 270 405 120 180 270 405 120 180 270 405 120 180 270 405 function function function function P animal n P animal n P animal n P animal n L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 L 0 4 3 0 5 0 0 0 0 25 0 X 2160 720 120 X 2160 720 120 X 2160 720 120 X 2160 720 120 P X P X P X P X for k 1 nfor k 1 nfor k 1 nfor k 1 n X L X L X L X L X P P X X P P X X P P X X P P X endendendend figure 1 bar P 1 figure 1 bar P 1 figure 1 bar P 1 figure 1 bar P 1 figure 2 bar P 2 figure 2 bar P 2 figure 2 bar P 2 figure 2 bar P 2 figure 3 bar P 3 figure 3 bar P 3 figure 3 bar P 3 figure 3 bar P 3 1234 0 2000 4000 6000 8000 1234 0 1000 2000 3000 1234 0 200 400 600 14141414 离散数据的多项式拟合方法离散数据的多项式拟合方法离散数据的多项式拟合方法离散数据的多项式拟合方法 x x x xx x x x1 1 1 1x x x x2 2 2 2 x x x xm m m m f f f f x x x x y y y y1 1 1 1y y y y2 2 2 2 y y y ym m m m 求求求求 n n n n 次多项式次多项式次多项式次多项式 n n n n m m m m P P P P x x x x a a a a1 1 1 1x x x xn n n n a a a a2 2 2 2 x x x xn n n n 1 1 1 1 a a a an n n n x a x a x a x an n n n 1 1 1 1 使得使得使得使得 minminminmin 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 1 m m m m j j j j j j j jj j j jn n n n x x x xP P P Py y y ya a a aa a a aS S S S MATLABMATLABMATLABMATLAB求解多项式拟合方法如下求解多项式拟合方法如下求解多项式拟合方法如下求解多项式拟合方法如下 P polyfit xP polyfit xP polyfit xP polyfit x y y y y n n n n 输出变量输出变量输出变量输出变量P P P P是一个具有是一个具有是一个具有是一个具有 n n n n 1 1 1 1 个数的一维数组 表示个数的一维数组 表示个数的一维数组 表示个数的一维数组 表示 拟合多项式拟合多项式拟合多项式拟合多项式P P P P x x x x 的系数的系数的系数的系数 多项式降幂排列多项式降幂排列多项式降幂排列多项式降幂排列 15151515 汽车紧急刹车问题数据拟合实验汽车紧急刹车问题数据拟合实验汽车紧急刹车问题数据拟合实验汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V V V V表示刹车时汽车行驶速度表示刹车时汽车行驶速度表示刹车时汽车行驶速度表示刹车时汽车行驶速度 英里英里英里英里 小时小时小时小时 T T T T表示刹车表示刹车表示刹车表示刹车 后汽车滑行距离后汽车滑行距离后汽车滑行距离后汽车滑行距离 英尺英尺英尺英尺 V V V V 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 T T T T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 v 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 v 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 v 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 v 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 1 609 1 609 1 609 1 609 T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 3048 3048 3048 3048 figure 1 plot v T figure 1 plot v T figure 1 plot v T figure 1 plot v T P2 polyfit v T 2 T2 polyval P2 v P2 polyfit v T 2 T2 polyval P2 v P2 polyfit v T 2 T2 polyval P2 v P2 polyfit v T 2 T2 polyval P2 v R2 sum T T2 2 R2 sum T T2 2 R2 sum T T2 2 R2 sum T T2 2 figure 2 plot v T figure 2 plot v T figure 2 plot v T figure 2 plot v T v T2 v T2 v T2 v T2 R2 1 9634R2 1 9634R2 1 9634R2 1 9634 16161616 V 20 40 60 80 100 120 V 20 40 60 80 100 120 V 20 40 60 80 100 120 V 20 40 60 80 100 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