二次函数与根的判别式的关系.ppt

2 5二次函数与一元二次方程 第二章二次函数 九年级数学下 BS 教学课件 第1课时二次函数与一元二次方程 学习目标 1 通过探索 理解二次函数与一元二次方程之间的联系 难点 2 能运用二次函数及其图象 性质确定方程的解 重点 导入新课 情境引入 问题如图 以40m s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时 球的飞行路线是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 你能否解决以下问题 1 球的飞行高度能否达到15m 如果能 需要多少飞行时间 2 球从飞出到落地要用多少时间 现在不能解决也不要紧 学完本课 你就会清楚了 思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时 函数的值是多少 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1 讲授新课 观察图象 完成下表 0个 1个 2个 x2 x 1 0无解 3 x2 6x 9 0 x1 x2 3 2 1 x2 x 2 0 x1 2 x2 1 知识要点 有两个交点 有两个不相等的实数根 为交点的横坐标 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 为交点的横坐标 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0根的关系 例1已知关于x的二次函数y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求证 此抛物线与x轴总有交点 2 若此抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 求正整数m的值 1 证明 m 0 m 2 2 4m 2 m2 4m 4 8m m 2 2 m 2 2 0 0 此抛物线与x轴总有交点 典例精析 2 解 令y 0 则 x 1 mx 2 0 所以x 1 0或mx 2 0 解得x1 1 x2 当m为正整数1时 x2为整数且x1 x2 即抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1 例1已知关于x的二次函数y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求证 此抛物线与x轴总有交点 2 若此抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 求正整数m的值 变式 已知 抛物线y x2 ax a 2 1 求证 不论a取何值时 抛物线y x2 ax a 2与x轴都有两个不同的交点 2 设这个二次函数的图象与x轴相交于A x1 0 B x2 0 且x1 x2的平方和为3 求a的值 1 证明 a2 4 a 2 a 2 2 4 0 不论a取何值时 抛物线y x2 ax a 2与x轴都有两个不同的交点 2 解 x1 x2 a x1 x2 a 2 x12 x22 x1 x2 2 2x1 x2 a2 2a 4 3 a 1 例2如图 以40m s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时 球的飞行路线是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 你能否解决以下问题 典例精析 1 球的飞行高度能否达到15m 如果能 需要多少飞行时间 15 1 3 当球飞行1s或3s时 它的高度为15m 解 解方程15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 你能结合上图 指出为什么在两个时间球的高度为15m吗 h 20t 5t2 2 球的飞行高度能否达到20m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗 20 4 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 当球飞行2s时 它的高度为20m h 20t 5t2 3 球的飞行高度能否达到20 5m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么球不能达到20 5m的高度 20 5 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 即球的飞行高度达不到20 5m h 20t 5t2 4 球从飞出到落地要用多少时间 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 当球飞行0s和4s时 它的高度为0m 即0s时球从地面飞出 4s时球落回地面 h 20t 5t2 从上面发现 二次函数y ax2 bx c何时为一元二次方程 一般地 当y取定值且a 0时 二次函数为一元二次方程 如 y 5时 则5 ax2 bx c就是一个一元二次方程 所以二次函数与一元二次方程关系密切 例如 已知二次函数y x2 4x的值为3 求自变量x的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即x2 4x 3 0 反过来 解方程x2 4x 3 0又可以看作已知二次函数y x2 4x 3的值为0 求自变量x的值 1 如图 某足球运动员站在点O处练习射门 将足球从离地面0 5m的A处正对球门踢出 点A在y轴上 足球的飞行高度y 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间满足函数关系y at2 5t c 已知足球飞行0 8s时 离地面的高度为3 5m 1 足球的飞行时间是多少 针对训练 解 1 由题意得 函数y at2 5t c的图象经过 0 0 5 0 8 3 5 抛物线的解析式为 故足球的飞行时间为 2 足球飞行的时间是多少时 足球离地面最高 最大高度是多少 解 抛物线的解析式为 当t 时 y最大 4 5 3 若足球飞行的水平距离x 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有函数关系x 10t 已知球门的高度为2 44m 如果该运动员正对球门射门时 离球门的水平距离为28m 他能否将球直接射入球门 解 把x 28代入x 10t得t 2 8 当t 2 8时 他能将球直接射入球门 1 若二次函数y x2 2x k的部分图象如图所示 且关于x的一元二次方程 x2 2x k 0的一个解x1 3 则另一个解x2 1 2 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 2 0 0 当堂练习 3 若一元二次方程无实根 则抛物线的图象位于 A x轴上方B 第一 二 三象限C x轴下方D 第二 三 四象限 A 4 已知函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 求k的取值范围 解 当k 3时 函数y 2x 1是一次函数 一次函数y 2x 1与x轴有一个交点 k 3 当k 3时 y k 3 x2 2x 1是二次函数 二次函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 b2 4ac 0 b2 4ac 22 4 k 3 4k 16 4k 16 0 k 4且k 3 综上所述 k的取值范围是k 4 5 如图 某学生推铅球 铅球出手 点A处 的高度是0 6m 出手后的铅球沿一段抛物线运行 当运行到最高3m时 水平距离x 4m 1 求这个二次函数的解析式 2 该同学把铅球推出去多远 解 1 设二次函数的解析式为y a x 4 2 3 把 0 0 6 代入得0 6 a 0 4 2 3 2 当y 0时 答 该男同学把铅球推出去 4 2 m远 能力提升 6 已知二次函数的图象 利用图象回答问题 1 方程的解是什么 2 x取什么值时 y 0 3 x取什么值时 y 0 解 1 x1 2 x2 4 2 x4 3 2