第5章数字控制器的直接设计方法.doc

目 录第五章 数字控制器的直接设计方法1585.1 引言1585.2 设计基本原理1595.3 最小拍控制器的设计方法1605.3.1 简单对象最小拍控制器设计1615.3.2 复杂对象最小拍控制器设计1665.4 最小拍控制器的工程化改进1735.4.1 最小拍控制系统存在的问题1735.4.2 最小拍无纹波控制器的设计1735.4.3 针对输入信号类型敏感问题的改进1785.4.4 针对模型参数变化敏感问题的改进1825.5 大林算法（Dahlin）1865.5.1 大林算法设计原理1865.5.2 振铃现象及其消除方法1905.6 大林算法工程应用中关键参数的选择1935.6.1 解决振铃现象中关键参数的选择1935.6.2 解决分数时滞问题中关键参数的选择1955.7 数字控制器的程序实现1995.7.1 直接程序设计法2005.7.2 串联程序设计法2015.7.3 并行程序设计法202本章小结204习题与思考题205第五章 数字控制器的直接设计方法5.1 引言前一章讨论的是利用模拟化设计方法对计算机控制系统进行综合与设计，其实质是在采样周期较小的情况下，将计算机控制系统近似看成连续系统进行控制器的设计，然后通过对连续控制器的离散化处理，得到计算机控制系统的数字控制算法。该方法对于不能获得被控对象准确数学模型的情况下数字控制器的设计较为实用，但是具有一定的局限性，本质上属于一种近似化的设计方法。将连续的控制对象及其零阶保持器用适当的方法离散化后，系统完全变成离散系统，因此可以用离散系统的设计方法直接在z域进行控制器的设计，此即为数字控制器的直接设计方法。这种离散化的设计方法，稳定性好，精度高，一般用于可以精确建立对象数学模型的情况。由于该方法是在给定的采样周期下进行设计的，因此采样周期的选择取决于被控对象的特性，不受分析设计方法的限制，可以不必选得太小，达到系统控制指标的要求即可。离散化直接设计方法包括根轨迹设计法，频率响应设计法和解析设计法，本章主要讲述解析设计方法范畴的最小拍控制设计方法和大林（Dahlin）算法，以及两种方法的工程化改进与应用。解析设计方法是在给定计算机控制系统闭环系统脉冲传递函数的条件下，直接计算出数字控制器的脉冲传递函数，本质上属于一种极点配置的设计方法。最小拍控制属于时间最优的控制系统设计，即控制的目标是使整个闭环系统的调节时间最短；而大林算法则用于解决纯滞后被控对象的控制器设计问题。由于解析设计法依赖于被控对象模型的精确性建立，因此在工程化实用过程中，需要针对具体情况进行相应的控制算法改进或算法中关键参数的工程化选择。本章概要 5.1节讲述数字控制器直接设计方法的基本概念、应用范围，以及本章讲述的控制算法的本质；5.2节介绍直接设计方法的基本原理和设计准则；5.3节讲述有纹波最小拍控制器的设计，分为简单对象和复杂对象两种情况下的最小拍控制器的设计方法；5.4节讲述最小拍控制器的工程化改进方法，包括无纹波最小拍控制器的设计方法，以及对输入信号类型敏感和对被控对象模型参数变化敏感两种情况下，最小拍控制算法的工程化改进方法；5.5节讲述了大林算法的设计原理，以及该算法表现出来的振铃现象的本质和消除方法；5.6节讲述了通过合理选择大林算法中的关键参数，解决大林算法应用过程中的振铃现象和分数时滞问题；5.7节对数字控制器的实现方法进行了介绍。5.2 设计基本原理对于第3章图3.11所示的单位反馈计算机控制系统，将被控对象与零阶保持器法一起离散化后，得到的离散系统如图5.1所示。图5.1 计算机控制系统结构图由式（3.30）可知，系统的闭环脉冲传递函数为： (5.1)由式（3.31）可知，系统闭环误差脉冲传递函数为： (5.2)由式（3.32）可知： (5.3)从而得到控制器的脉冲传递函数为： (5.4)若已知被控对象的脉冲传递函数，并根据性能指标要求确定出整个系统的闭环脉冲传递函数或闭环误差脉冲传递函数，则数字控制器可以唯一确定。因此，可以将数字控制器直接设计法的解析设计过程归纳为如下步骤：（1）确定被控对象的传递函数模型，该过程是算法设计的基础。直接设计方法假定已经得到了被控对象的精确模型，将其连同前面的零阶保持器一起离散化后，得到被控对象的广义被控模型；（2）根据控制系统的性能指标要求及其他约束条件，确定出闭环系统的传递函数或，或同时确定或，其二者满足式（5.3）的约束；（3）根据式（5.4）确定控制器传递函数模型；（4）根据编制控制算法。在被控对象模型已知的前提下，直接设计方法关键在于闭环系统脉冲传递函数的选择（或闭环误差脉冲传递函数）。或的选择（本章后续内容以确定为主）要满足计算机控制系统的基本要求，概括为数字控制器的物理可实现性、稳定性、准确性和快速性等几个方面，也就是直接设计方法的基本原则。（1）物理可实现性。指设计得到的数字控制器，在物理逻辑上必须是可实现的。判断在物理上能够实现的条件是分母的z的最高阶次大于或等于分子的z的最高阶次，即。否则就会出现要求数字控制器有超前输出，这是无法实现的。例如：其中：，。对上式进行交叉相乘，得出对上式两边进行z反变换，得出：或写成上式表明计算机（数字控制器）本次采样输出值与下次采样偏差有关。由于计算机在本次采样期间无法得到下次采样的偏差值，算不出，计算机无法工作。如果满足条件，类似上式的项，将不会出现。（2）稳定性。指由计算机作为数字控制器的闭环控制系统，必须是稳定的。计算机控制系统的稳定性包含两方面的含义：一是整个系统的输出能够较好地复现控制系统的输入，不能发散；二是数字控制器的输出也不能发散，应以较少的振荡次数驱动系统的输出达到稳定状态。关于稳定性的要求将在随后的章节中进行具体讲述。（3）准确性，指系统的稳态指标。对于离散系统来说，要求在特定输入信号作用下，其输出序列值应该与输入序列值相等，即稳态误差为零，这就是“无差”的概念。对于计算机控制系统来说，可能还会进一步要求系统在采样点之间也没有稳态误差。（4）快速性，指系统的暂态指标。一般来说，暂态指标包括调节时间和超调量，这里着重强调系统的调节时间，即系统的输出响应能够在尽量短的时间内，达到稳定状态，也就是要求系统的输出响应，应能够尽快跟踪输入信号的变化。5.3 最小拍控制器的设计方法所谓最小拍系统，也称为最少调整时间系统或最快响应系统，是指系统对应典型的输入：单位阶跃输入、单位速度输入或单位加速度输入等，具有最快的响应速度。系统在典型的输入作用下，经过最少个采样周期，使得输出的稳态误差为零，达到输出完全跟踪输入，从这个准则出发，来确定控制器的脉冲传递函数，即计算机的控制算法。5.3.1 简单对象最小拍控制器设计假定广义被控对象的脉冲传递函数是稳定的，它在z单位圆上（1，0）点除外）或圆外无零点和极点，而且没有纯滞后。最小拍系统的性能指标要求：（1）无稳态偏差。（2）达到稳态所需拍数（采样周期数）为最少。下面根据这两个指标确定。偏差的z变换的级数形式是 (5.5)式中，为偏差采样值。显然，要求偏差的采样值在最短时间内达到零并保持为零，亦即在采样周期数（或拍数）以后，恒有=0，并且越小越好。这就要求为的多项式，而且项数越少越好。这就是最小拍系统的设计原则。下面来研究什么样的可使稳态偏差为零。偏差的z变换为 (5.6)由z变换的终值定理可得 (5.7)因此，无稳态偏差的条件是使上式为零。于是，便可从式（5.7）中求出。显然，使式（5.7）为零的与输入函数的z变换有关，输入函数不同时，也不同。下面分析不同的时的。单位阶跃输入：，单位速度输入：，单位加速度输入：，可见典型输入的z变换具有如下的一般形式为： (5.8)式中是不包含因式的多项式。对于不同的典型输入不同：单位阶跃输入：；单位速度输入：；单位加速度输入：将式（5.8）代入式（5.7）中，得 (5.9)很明显，要使上式等于零，应具有如下形式 (5.10)式中为不含因式的多项式。以上得到了最小拍设计的一般结果，可进一步具体化。如取，即所设计的控制器是形式最简单、阶数最低的情况。那么有（1）单位阶跃输入： (5.11)偏差的z变换为 (5.12)从式（5.12）可知，偏差存在一拍，即调整时间为一个采样周期，在第二个采样周期以后偏差恒等于零。（2）单位速度输入： (5.13)偏差的z变换为 (5.14)从式（5.14）可知，偏差存在两拍，即调整时间为两个采样周期，第三个采样周期以后偏差恒等于零。（3）单位加速度输入： (5.15)偏差的z变换为 (5.16)从式（5.16）可知，偏差存在三个采样周期，从第四个采样周期以后，偏差恒等于零。将上述三种典型输入情况汇总，如表5.1所示，为采样周期。表5.1输入函数调节时间单位阶跃单位速度单位加速度从上面三种典型输入的情况可以看出，满足无稳态偏差条件的的一般形式为式中是用来满足无稳态偏差条件的，若从快速性角度要求系统以最少采样周期数达到稳态值，这就要求中多项式的项数尽可能的少。式中因子是作为满足无稳态偏差条件的，所以不能动，那么减少多项式的项数，就只能减少多项式的项数，最少的项数是。因此，表5.1所列出的是同时满足无稳态偏差和快速性两项技术要求的，同样，也满足系统稳定性和所设计的数字控制器物理可实现性的要求。设计上述简单对象的最小拍控制器步骤总结如下：（1）根据被控对象的数学模型求出广义对象的脉冲传递函数；（2）根据输入信号类型，查表5.1确定模型，也就是系统的闭环误差脉冲传递函数模型；（3）将和代入式（5.4），即求出控制器的传递函数；（4）根据结果，求出输出序列，画出系统的响应曲线等。例5.1 被控对象的脉冲传递函数模型为：采用零阶保持器，采样周期，试设计单位速度输入时的最小拍数字控制器。解：（1）该系统的广义对象脉冲传递函数为由于输入为，查表5.1得到：，（2）数字控制器的脉冲传递函数为（3）分析数字控制器对系统的控制效果。当输入为单位速度信号时，系统输出序列的z变换为上式中各项系数即为输出在各个采样时刻的数值，即，。此时，控制器输出的控制序列为于是得到系统的响应信号和控制信号的曲线如图5.2所示。(a) 控制信号 (b) 响应信号图5.2 单位速度输入时系统控制信号与响应信号从图5.2(b)可以看出，当系统为单位速度输入时，经过2拍以后，输出量完全等于输入采样值，但是在采样点之间存在着一定的偏差，即存在着纹波。因此该最小拍数字控制器也称为有纹波最小拍数字控制器。从图5.2(a)可以看出，控制器输出的控制序列是振荡收敛的，因此控制器的输出也是稳定的。但是，其振荡收敛的特性引起了输出的纹波存在。 再来看一下当输入为其他函数时，系统输出序列和控制序列的情况。（4）设输入为单位阶跃函数时，输出量z变换为：控制量的z变换为：其输出响应曲线和控制输出曲线如图5.3所示。从图中可以看出，按单位速度输入设计的最小拍控制系统，当输入改为阶跃函数时，系统仍然稳定，但是系统超调量非常大，即系统的动态性能变差；同时采样点之间的纹波非常严重，控制器的输出信号振荡加剧，因此整个系统的控制效果很差。(a)控制信号 (b)响应信号图5.3 单位阶跃输入时系统控制信号和响应信号（5）若输入为单位加速度函数时，则系统输出量的z变换为：控制量的z变换为：其输出响应曲线和控制输出曲线如图5.4所示。从图中可以看出，系统输出与参考输入之间始终存在着偏差，控制信号也随着时间振荡增大。稳态温差为(a)控制信号 (b)响应信号图5.4 单位加速度输入时系统控制信号和响应信号由上述分析可见，按某种典型输入设计的最小拍控制系统，当输入形式改变时，系统的性能变坏，系统输出响应和控制器输出不理想，这说明最小拍控制系统对输入信号的变化适应性较差。5.3.2 复杂对象最小拍控制器设计在前面讨论如何确定闭环脉冲传递函数时，为了简单起见，对广义被控对象的脉冲传递函数进行了限制，即假定在单位圆上（1，0）点除外或圆外无零、极点，还无纯滞后。下面来探讨这些条件不满足时应如何确定。由式（5.4），可得闭环脉冲传递函数 (5.17)为了保证闭环系统稳定，如果中有不稳定极点，就应该用或用的相应零点来对消。增加的零点来对消的不稳定极点是不许可的，这是因为受环境条件的影响，的微小变化造成实际上不能完全对消，从而将有可能引起系统的不稳定，这一点将通过下面例5.2进行说明。因而，必需在中增加相应的零点来对消的不稳定极点。其次如果中有位于单位圆上或圆外的零点，则不能用的极点来对消，因为，即闭环误差脉冲传递函数，其极点为闭环系统的特征根，而稳定的计算机控制系统，其特征根必须都位于单位圆内。同时，它也不能用增加极点的方法来对消，因为不容许有不稳定极点，否则控制器的输出序列将发散，同样不满足计算机控制系统稳定性的要求。所以中在单位圆上或圆外的零点只能原封不动地留在中，亦即在确定时，要把在单位圆上或圆外的零点包括在之内。最后一个问题是如果中包括纯滞后环节的多次方L时，不能在的分母上设置纯滞后环节来对消的纯滞后环节。否则经过通分之后，分子的z的阶次将高于分母z的阶次，这是不能容许的，它将造成在物理上不能实现。同时，纯滞后环节也不能用中的相应因子来对消，因为中没有因子。因此，的纯滞后环节也必须留在之内。考虑到上述三种情况，假设广义对象中有p个不稳定的极点，的零点，纯滞后时间为L，则系统闭环脉冲传递函数的一般形式为 (5.18)式中：（1）是由输入典型函数决定的，当时，；当时，；时，。（2）各项为在单位圆上或圆外极点的反映。（3）各项为在单位圆上或圆外零点因式。（4）为的纯滞后环节。为纯滞后拍数，以采样周期的整数倍计算，=，为被控对象纯滞后时间。由式（5.10）可知即必须包含。根据稳定性要求的中包含广义对象中不稳定极点的情况，即式中为在单位圆上（1，0）点除外或圆外极点，为关于的多项式。由此可知，式（5.18）中系数可由下列个方程联立求解得到： （5.19）式（5.18）为从稳定性条件导出的的一般表达式，它考虑了广义对象带有单位圆上或圆外的零、极点以及带有纯滞后等全部情况，实际上，这三种情况不一定同时全部存在。当广义对象没有纯滞后环节时，可令式中的，则；如果没有单位圆上或圆外极点，即时，有；如果没有单位圆上或圆外零点，则。如果三种情况都不存在，则式（5.18）为表5.1表示的情况，即例5.2 对于不稳定对象模型 ，试设计单位阶跃输入时的最小拍控制器。解：（1）不按照稳定性要求设计。对于单位阶跃输入，查表5.1得到，于是有输出z变换为看似一个稳定系统，但若对象产生漂移变为那么按上述设计的最小拍控制器的情况下，有系统输出响应如图5.5所示。可知在被控对象参数变化后，闭环系统不再稳定。图5.5 被控对象模型参数发生变化后的系统响应（2）按照系统稳定性要求设计。对于单位阶跃输入，根据式（5.18），有根据式（5.19），得到解得，于是则有可知系统稳定。 对于，因为所以有系统输出响应如图5.6所示。可知在被控对象参数变化后，闭环系统仍然稳定。图5.6 被控对象模型参数发生变化后的系统响应例5.3 被控对象为一积分环节加上纯滞后，即，采用零阶保持器，试设计单位阶跃输入时的最小拍控制系统。解：（1）求广义对象的z变换取的z变换，得出（2）确定脉冲传递函数由于是单位阶跃输入，；另外，广义对象脉冲传递函数中包括滞后环节，因此，闭环脉冲传递函数为系数由下式决定所以得到。于是有（3）数字控制器计算（4）求最小拍系统输出响应的z变换表达式。（5）求偏差的z变换表达式 因此可以看出，偏差存在三个采样周期，从第四个采样周期开始输出响应完全跟踪输入而进入稳态。系统输出波形如图5.7所示。由于有两个采样周期的纯滞后时间，所以系统的调整时间为。图5.7 带有纯滞后环节的控制系统输出例5.4 被控对象的传递函数为取采样周期秒，试设计单位阶跃输入时最小拍控制系统。 解：（1）求广义对象的脉冲传递函数。由已知条件得广义对象脉冲传递函数为（2）确定闭环脉冲传递函数从的表达式可知，在单位圆外有一个零点，同时，输入函数为单位阶跃函数，它的z变换式，所以，满足最小拍条件的闭环脉冲传递函数的形式为系数可由下式确定：，即 得到 从而有 从上式提出因子，得出（3）数字控制器将，之值代入上式，得出数字控制器的分母和分子z的阶次相等，即，故在物理上可实现。（4）输出响应的z变换表达式输入响应和控制序列波形如图5.8所示。可见，由于有一个在单位圆外的零点，引起调整时间增加一个采样周期，总的调整时间增到。图5.8有不稳定零点时的系统单位阶跃响应5.4 最小拍控制器的工程化改进5.4.1 最小拍控制系统存在的问题最小拍系统虽然达到了以最少的采样周期数就能完成跟踪输入函数而没有偏差的性能指标，但是还存在一些不足之处。（1）最小拍控制系统的输出在采样点之间可能存在纹波。虽然最小拍控制系统能满足稳、准、快及物理可实现等性能要求，即在最少拍的时间内，系统输出在采样点时刻与系统给定输入相等，但从连续系统的角度来看，在采样点之间，系统输出却仍可能呈现衰减振荡的形式，称之为纹波。（2）最小拍控制系统对各种典型输入函数的适应性差。因为最小拍控制系统是针对特定的输入信号来进行设计的，如果实际输入信号与设计时假定的输入信号类型不符，则系统的性能必定不符合设计时的期望。例5.1对此进行了很好的说明。（3）最小拍控制系统对被控对象的模型参数变化敏感。在进行最小拍控制系统设计时，必须先确定系统闭环脉冲传递函数。我们按广义被控对象的脉冲传递函数中的模型参数，在中设置了与相应的纯滞后及不稳定的零点因子，在中设置了与相应的不稳定极点因子，目的使系统的稳定性能能够得到保证。而中的零极点分布，完全取决于被控对象本身的控制模型参数，当这些控制模型参数不准确或发生变化时，就会破坏这种零极点分布，以致造成人为加入的零极点因子不能和被控对象模型中的零极点因子相互抵消，使系统输出相应的动态性能变差，甚至使系统失去稳定。综上所述，有必要对最小拍控制系统进行工程化的改进，使之在实际应用中，得到较好的控制效果。5.4.2 最小拍无纹波控制器的设计最小拍系统的输出响应，在采样值之间存在着纹波，这是工程上所不希望的。输出纹波不仅会造成偏差，而且浪费执行机构的驱动功率和增加机械磨损，应该设法消除。因此，对所设计的系统，要求经过尽可能少的采样周期之后，不仅在采样点上，而且在采样点之间也与输入量相等，这就是要求一个最小拍无纹波系统。如例5.1中的现象可以看出，如果系统进入稳态后，加到被控对象上的控制信号还在波动，则稳态过程中系统输出就有纹波，因此要使系统在稳态过程中无纹波，就要求稳态时的控制信号为常数。数字控制器输出信号的z变换展开式为： (5.20)如果经过n个采样周期达到稳态，无纹波系统要求相等，于是有 (5.21)其中 ，为关于的多项式。由于 (5.22)设被控对象脉冲传递函数，互质，结合式（5.8），即得到 (5.23)要使控制信号式（5.23）具有式（5.21）相同的形式，即分母为，分子为关于的有限项多项式，于是要求必须包含的分子多项式；而从表5.1来看，不可能包含，因此要求必须包含因子式，即 (5.24) (5.25)式中F(z)、为关于的多项式。式（5.24）说明，设计最小拍无纹波控制器时，闭环系统脉冲传递函数必须包含对象所有的零点；而式（5.25）说明，被控对象中必须含有足够的积分环节（m-1阶），以保证控制量u(t)为常数时，对象的稳态输出完全跟踪输入，且无纹波。因此对于阶跃输入函数，不要求被控对象包含积分环节；对于速度输入函数，要求被控对象至少包含1个积分环节；对于加速度输入函数，则要求被控对象至少包含2个积分环节。因此，最小拍无纹波控制必须满足的条件是：（1）被控对象中必须含有足够的积分环节（m-1阶）；（2）满足有纹波控制的稳定性和控制器物理可实现性的要求；（3）中不仅包含对象单位圆上或单位圆外的零点，而且包含对象所有单位圆内的零点，即包含对象中的所有零点。因此，无纹波最小拍系统的一般形式为 (5.26)式中为待定常数，与式（5.18）相同，由式（5.19）确定；为所有的零点。这样处理后，无纹波系统比有纹波系统的调整时间增加了若干拍，增加的拍数等于中在单位圆内的零点数。需要说明的是，当考虑零阶保持器的影响时，上述对象模型就变成了对象的广义模型。例5.5 例5.1所示系统，输入为单位阶跃函数时，试设计最小拍无纹波系统。解：（1）求对象广义脉冲传递函数。从例5.1已知（2）确定闭环系统脉冲传递函数输入函数为单位阶跃，。考虑到广义对象，则脉冲传递函数的表达式为为待定常数，可由式（5.19）确定。由，得出，所以 （3）数字控制器的计算 这个在物理上可以实现。（4）计算。观察的输出，检查是否有纹波。 可见，输出没有波动，输出响应不会有纹波。（5）输出响应计算从上式可以看出，系统的调整时间为，比最小拍系统拖长一个采样周期，但是系统输出响应没有纹波。系统的控制量与输出量波形如图5.9所示。图5.9 例5.5系统的控制量与输出量波形例5.6 例5.1所示系统，输入为单位速度函数，试设计最小拍无纹波系统。解：（1）求对象广义对象脉冲传递函数。从例5.1已知（2）的确定输入函数为单位速度函数，；此外，考虑到广义对象脉冲传递函数有一个零点因子，因此，闭环脉冲传递函数的表达式为系数与由式（5.19）确定。由，得出，由，得出从而得到式中。于是有 （3）数字控制器计算 此数字控制器在物理上可实现。（4）数字控制器输出的计算 式中：，。上式用长除法，得出从上式可以看出，输出，从第3个采样周期开始就达到了稳定，此后恒等于一个常数。（5）系统的输出响应计算 从上式看出，输出响应从第3个采样周期开始完全跟踪输入，而没有纹波。与例5.1最小拍相比，调整时间增长一个采样周期，但是没有纹波，系统输出波形如图5.10所示。图5.10 例5.6 系统的控制量与输出量波形5.4.3 针对输入信号类型敏感问题的改进为使最小拍控制系统能够对不同类型的输入信号具有适应性，可以采用阻尼因子法。阻尼因子法的基本思路是：在最小拍控制系统设计的基础上，通过在系统的闭环脉冲传递函数中，引入附加的极点因子，又称为阻尼因子，使系统输出偏差不立即为0，而是呈现一定的阻尼衰减特性，逐渐归0。这样的话，系统输出响应的过渡过程时间将会有一定程度的增加，但整个系统的输出响应特性显得比较平稳，对不同输入信号的适应性也会有所改善。阻尼因子法的实质是以延长过渡过程时间为代价，来提高系统对输入信号类型的适应性。它的目标是：使得系统在输出响应的过渡过程中，纹波、超调量、过渡过程时间等性能综合最佳。设是最小拍控制系统的闭环脉冲传递函数，具有式（5.18）或式（5.26）的一般形式。按照阻尼因子法的设计思路，在引入个附加极点因子后，系统的闭环脉冲传递函数为 (5.27)其中，是引入的第个附加极点。一般情况下，取一个附加极点，即，若取式（5.18）的形式，则系统的闭环脉冲传递函数为 (5.28)若取式（5.26）的形式，则系统的闭环脉冲传递函数为 (5.29)式中，是人为加入的附加极点，而其他一些参数、待定系数、表达式与最小拍控制系统设计原则中的含义相同。按照上述原则进行算法设计的基本步骤可以表述为：首先人为设定附加的极点；然后，按照最小拍控制系统的原则确定原闭环系统传递函数模型中的待定系数；最后，再结合已知的广义被控对象的脉冲传递函数，求出系统中数字控制器的脉冲传递函数，从而完成数字控制器的算法设计任务。需要说明的是，阻尼因子法是一种工程上的算法设计方法，它没有严格的数学推导，基本思想是在最小拍设计的基础上，通过人为地引入一个或几个附加极点，以改善最小拍控制系统的输出响应性能。为保证闭环系统的动态和稳态性能，引入附加极点时，应遵循一定的原则：（1）必须首先满足系统的稳定性要求，也就是说，它必须位于平面上的单位圆内，即满足的要求；（2）应注意尽量不引起系统振荡，故它应位于平面上单位圆内的正实轴上，即满足不等式的要求；（3）应兼顾系统响应的快速性和对输入信号类型的适应性两个方面的性能。较大时，会延长系统响应的过渡过程时间，但系统对不同类型信号输入作用时的适应性改善；反之，较小时，会缩短系统响应的过渡过程时间，但系统对不同类型信号输入作用时的适应性减弱；（4）按上述过程得到的控制系统，超调量、过渡过程时间等性能指标，不一定能够一次性满足要求，可以改变附加极点的位置，进行调试，直到系统响应满足要求为止。例5.7 例5.1所示控制系统，试在单位速度信号输入作用下的最小拍控制系统的基础上，取附加极点，按阻尼因子法，进行系统算法的改进设计，并分析系统在单位阶跃、单位速度及单位加速度信号输入作用下的系统输出与系统偏差。解：（1）确定广义对象脉冲传递函数。从例5.1已知（2）确定加阻尼因子的系统闭环脉冲传递函数。通过观察，我们可以看出在广义被控对象的脉冲传递函数中，不包含单位圆外的零、极点，只有一个单位圆上的极点，按照阻尼因子法的设计原则，取由，得出 由，得出 从而得到，式中。于是有 由系统的闭环脉冲传递函数可知，它有一个和一个的闭环极点，位于平面上的单位圆内，故从离散系统的角度来看，系统是稳定的，即系统的输出在采样点上是稳定的，它满足计算机控制系统稳定的必要条件。（3）数字控制器计算由于的分子、分母上都有常数项，满足数字控制器物理可实现性的充分条件，所以的物理可实现性是可以得到保证的。下面，我们来考察闭环系统对不同输入信号作用下的输出和偏差。（）在单位阶跃信号的作用下所以，过渡过程时间为无限拍，系统响应曲线如图5.11所示。可以看出，与例5.1相比，超调量明显减小，但调节时间增加为无限拍，系统不再具有“最少拍且无差”性能。图5.11 单位阶跃输入时系统控制信号和响应信号（）在单位速度信号的作用下所以，为无限拍，系统响应曲线如图5.12所示。与例5.1相比，调节时间增加为无限拍，系统不具有“最少拍无差”性能。图5.12 单位速度输入时系统控制信号与响应信号（）在单位加速度信号的作用下所以，系统响应曲线如图5.13所示。与例5.1相比，系统的稳态误差增大。图5.13 单位加速度输入时系统控制信号与响应信号综上所述，针对阶次为的输入信号，在所设计的最小拍控制系统的基础上，按阻尼因子法，通过引入附加极点，进行系统改进设计后，系统输出响应的过渡过程时间不再为最少拍，但可以改善系统对输入信号的适应性，即如果实际输入信号的因子小于，则系统的动态性能得以改善，而如果实际输入信号的因子大于，则系统的稳态误差与不加阻尼因子相比，呈增大的趋势。改变的值，可以得到对于各种不同类型的输入信号均能比较适应的控制算法。5.4.4 针对模型参数变化敏感问题的改进在前面的讨论中给出的最小拍控制系统的设计原则，是严格按照广义被控对象中的纯滞后及零、极点分布来确定系统的闭环脉冲传递函数的。如果被控对象模型的参数不准确，或者在系统运行的过程中，发生了变化，则系统的实际性能就会与设想的结果存在较大的差异，也就是说，系统中数字控制器的脉冲传递函数，对被控对象模型的参数变化比较敏感。 为解决上述问题，可以采用非最小的有限拍控制算法，对最小拍控制系统作相应的改进。 其设计思路是，在最小拍控制系统设计的基础上，把系统闭环脉冲传递函数的幂次适当地提高阶，这样一来，系统的输出响应，将比最小拍时多拍才归零。但在选择的结构时，由于多了若干项待定系数，可以增加一些自由度，从而可以降低系统对模型参数变化的敏感性，显然，这时的系统已经不再是最小拍无差系统，而是有限拍控制系统。下面，将针对特定的被控对象模型，并在特定输入信号的情况下，通过比较最小拍控制算法及非最小拍的有限拍控制算法时的系统输出响应，来说明采用有限拍控制算法时，系统输出对模型参数变化敏感性的改善情况。例5.8 设广义被控对象的脉冲传递函数为，采样周期，试设计单位速度信号输入作用下的最小拍数字控制器的算法。考察当广义被控对象的脉冲传递函数变为时，系统输出响应的变化情况，并采用有限拍控制算法进行相应的改进。解：（1）按照最小拍控制系统的设计原则，设根据式（5.19）或查表5.1，可以得到，所以，数字控制器的控制算法为由于其分子分母中均含有常数项，所以上述是具有物理可实现的。（2）对系统进行分析。系统输出序列的变换为所以，稳态误差为，过渡过程时间拍。系统响应如图5.14所示。图5.14 模型未发生变化时最小拍系统控制信号与响应信号 （3）分析应用最小拍控制时，被控对象模型发生变化的情况。假设被控对象模型中参数发生了变化，变成了，由于数字控制器已由计算机通过软件的方法进行了实现，它不可能因为被控对象模型的变化而发生改变。按系统结构，闭环系统的脉冲传递函数变为在被控对象模型的参数未发生变化时，系统的闭环脉冲传递函数在处有二重极点，系统是绝对稳定的；而当被控对象控制模型的参数发生变化后，系统的闭环脉冲传递函数的极点分布相应地发生了变化，其极点变为和三个极点。由于极点偏离中心点较远，系统响应要经过较长的时间，才会逐步接近给定值，也就是说，系统响应的过渡过程时间增加，系统已不再具有“最小拍”性能。更严重的是，由于上述原因造成极点位于单位圆上或单位圆外，而使系统不稳定是完全有可能的。这种情况下，系统的输出变为相应系统的输出序列变为：。系统响应如图5.15所示。图5.15模型发生变化时最小拍系统控制信号与响应信号 由此可以看出，由于被控对象的模型参数发生了变化，而数字控制器的算法不变，一方面，会导致系统输出响应的动态性能变差，偏差加大；另一方面，还可能造成系统的不稳定。 （4）采用有限拍控制算法进行控制器的设计。被控对象模型参数未发生变化时，按照有限拍控制算法的设计原则，取由，得出由，得出从而得到，可见，上述方程组有无穷多组解。任意取，则可求得，所以相应数字控制器的控制算法为由于其分子分母中均含有常数项，所以上述是具有物理可实现性的。（5）对有限拍控制系统进行分析。系统输出序列的变换为 所以，系统的输出序列为，稳态误差为，过渡过程时间拍，比最小拍控制系统多了1拍。系统响应如图5.16所示。图5.16模型未发生变化时有限拍系统控制信号与响应信号（6）分析应用有限拍控制时，被控对象模型发生变化的情况。若被控对象模型的参数发生了同样的变化，变为，则系统的闭环脉冲传递函数变为可以求得系统输出序列为相应系统的输出序列变为。系统响应如图5.17所示。图5.17模型发生变化时有限拍系统控制信号与响应信号将上述四种情况下的系统输出序列，列成表5.2的形式。从四组系统输出序列可以看出，采用有限拍控制算法之后，虽然在理想情况下，系统的过渡过程时间增加了，但是系统对于被控对象模型参数变化的敏感性降低，达到了改进最小拍控制系统性能的目的。表5.2设计方法系统输出拍数按最小拍算法设计理想情况下0, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 2参数变化后0, 0, 2.4, 2.4, 4.44, 4.56, 6.38, 按有限拍算法设计理想情况下0, 0, 1.5, 3, 4, 5, 6,3参数变化后0, 0, 1.8, 2.88, 3.83, 5.03, 5.96, 5.5 大林算法（Dahlin）前面介绍的最小拍控制设计方法，只适合于某些计算机控制系统，对于系统输出的超调量有严格限制的控制系统，并不理想。在一些实际工程中，经常遇到的却是一些纯滞后调节系统，它们的滞后时间比较长。对于这样的系统，人们更感兴趣的是要求系统没有超调量或很少超调量，而调节时间则允许在较多的采样周期内结束，因此，超调是主要设计指标。对于这样的系统，用一般的计算机控制系统设计方法是不行的，用PID算法效果也欠佳。大林算法（Dahlin）是美国IBM公司的E.B.Dahlin在1968年针对具有大纯滞后的一阶和二阶惯性环节所提出的一种直接综合设计方法，具有良好的控制效果。5.5.1 大林算法设计原理设被控对象为带有纯滞后的一阶或二阶环节，即 (5.30) (5.31)式中，T1、T2为对象时间常数，为对象纯滞后时间，一般假定是采样周期的整数倍，T为采样周期。大林算法的控制目标是：设计合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数为带有纯滞后的一阶惯性环节，且要求闭环系统的纯滞后时间等于对象的纯滞后时间，即 (5.32)式中为等效的闭环系统的时间常数。通常认为系统与一个零阶保持器相串联，则整个系统的闭环脉冲传递函数为 (5.33)由此得到控制器传递函数为 (5.34)对闭环传递函数进行离散化处理时，之所以要在前面串联一个零阶保持器，是为了保证离散得到后，其阶跃响应与原连续系统的阶跃响应在各采样时刻相等，而阶跃响应则常用来衡量系统的控制性能。若不加零阶保持器，直接将离散得到后，则是两者的脉冲响应（注意不是阶跃响应）在各采样时刻相等。基于阶跃响应相等的原则，有式中表示的阶跃响应，而表示的阶跃响应。取上式的z变换，得到即 由第3章中的式（3.28）可知，上式可以写成如下形式：此即为式（5.33）。对象为具有纯滞后的一阶惯性环节时，其z传递函数为 (5.35)将其代入（5.34）式，得到控制器传递函数为 (5.36)同理，对象为具有纯滞后的二阶惯性环节时，其z 传递函数为 (5.37)式中 (5.38)将其代入（5.34）式，得到控制器传递函数为 (5.39)例5.9 已知某控制系统被控对象的传递函数为，采样周期，试用大林算法设计数字控制器。解：根据题意可知，。考虑零阶保持器后的系统广义被控对象传递函数为代入式（5.35），求得广义被控对象的脉冲传递函数为 大林算法的目的就是设计一个数字控制器，使整个闭环系统的脉冲传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节。取，则由式（5.34）得到单位阶跃信号作用下，系统的控制信号序列和输出响应序列如图5.18所示。由图可见，控制信号序列经过1个采样周期基本达到稳定，输出响应信号经过3个采样周期，无超调地达到稳态值。图5.18 例5.9系统控制信号序列和阶跃响应序列例5.10 某计算机控制系统中被控对象为带有纯滞后的二阶惯性环节采样周期，试用大林算法设计数字控制器D(z)。解：根据题意可知，。设计目标是使系统闭环传递函数为带有滞后的二阶惯性环节，其时间常数要比上述两个时间常数中较小的还要小，因此选闭环传递函数为。根据式式（5.38），有 根据式（5.39），得到数字控制器的传递函数模型 单位阶跃信号作用下，系统的控制信号序列和输出响应序列如图5.19所示。由图可见，控制信号序列振荡收敛，振荡周期为4秒；系统响应信号无超调地趋于稳态值，过渡过程时间约为65秒，控制信号的振荡对系统输出没有明显影响。图5.19 例5.10系统控制信号序列和阶跃响应序列5.5.2 振铃现象及其消除方法所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出以1/2采样频率大幅度衰减的振荡。由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响，这一点通过图5.19得到了充分的体现。但是振荡现象却会增加执行机构的磨损，在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性。振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样周期、纯滞后时间的大小等有关，下面对振铃现象产生的原因进行分析。控制器输出与参考输入之间的关系为 (5.40)其中 (5.41)是到的闭环脉冲传递函数。 对于单位阶跃输入函数，含有z=1的极点，如果的极点在z平面的负实轴上，并且与点相近，则由第3章3.7.1节的暂态过程分析可知，数字控制器的输出序列中将含有这两种幅值相近的瞬态项，而且瞬态项的符号在不同时刻是不相同的。当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强，符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器输出序列大幅度波动，这就是造成振铃现象的主要原因。图3.22所显示的闭环极点分布与相应的动态响应形式也说明了这一点。对于带纯滞后的一阶惯性环节，有 (5.42)它的极点永远大于零，故得出结论：在带纯滞后的一阶惯性环节组成的系统中，数字控制器输出对输入的脉冲传递函数不存在负实轴上的极点，这种关系不存在振铃现象。对于带纯滞后的二阶惯性环节，有 (5.43)上式中有两个极点，第一个极点在，不会引起振铃现象；第二个极点在。由式(5.38)，在时，有 (5.44)说明可能出现负实轴上与相近的极点，这一极点将引起振铃现象。振铃现象的强度用振铃幅度RA来衡量，通常采用在单位阶跃作用下数字控制器第0拍输出与第1拍输出的差值来衡量振铃现象强烈的程度。由式（5.41）可知，是z的有理分式，写成一般形式为 (5.45) 忽略比例系数的影响（相当于进行了归一化处理），在单位阶跃输入函数的作用下，数字控制器输出量的z变换为 (5.46)所以 (5.47)对于带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统，其振铃幅度由式(5.43)可得 (5.48)根据式(5.44)，当时，可以得到 (5.49)消除振铃现象的方法是：先找出中引起振铃现象的因子（附近的极点），然后令其中的。根据终值定理，这样不影响输出的稳态值，但往往可以有效地消除振铃现象。这一点可以通过式（5.41）得到验证，因为控制器的极点就是闭环脉冲传递函数的极点，因此中附近的极点实际上包含在控制器的分母中。对于带纯滞后的二阶惯性环节系统中，数字控制器如式（5.39）所示，其极点将引起振铃现象。令极点因子()中，就可消除这个振铃极点。由式（5.38）得到 (5.50)消除振铃极点后控制器的形式为 (5.51)这种消除振铃现象的方法虽然不影响输出稳态值，但却改变了数字控制器的动态特性，将影响闭环系统的暂态性能。例5.11 对例5.10的被控对象，考虑消除振铃现象的影响，试用大林控制算法设计数字控制器D(z)。解：根据例5.10可知，在采样周期时，所设计的数字控制器传递函数模型为： 其中极点将引起振铃现象，因此令的因子