2005年广州一模理科数学试题与答案word版.doc

试卷类型：A2005年广州市普通高中毕业综合测试（一）数学2005-3-22一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则（）ABCD2. 若函数，则（）ABCD3. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）ABCD4. 复数与（）的积是纯虚数的充要条件是（）ABC且D且5. 已知向量和向量的夹角为，那么（）ABCD6. 若，则的值为（）ABCD7. 在圆上的所有点中，到直线的距离最大的点的坐标是（）ABCD8. 在的展开式中，的系数是（）ABCD9. 设函数，则使得的自变量的取值范围是（）ABCD10. 设、是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足，用、分别表示、的面积，则的最大值是（）ABCD第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11. 不等式的解集是。12. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，底面，则三棱锥的体积为。13. 在小于100的正整数中共有个数被5整除余2，这些数的和是。14. 的三个顶点的坐标为，点在内部及边界上运动，则的最大值为，最小值为。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。15. （本小题满分12分）求函数（）的最小正周期、最大值和最小值。16. （本小题满分12分）已知函数（）在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行。（）求，的值；（）求函数的单调区间。17. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，。（）证明：；（）求二面角的大小。18. （本小题满分14分）乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3。两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若提取的两个球上的数字相同，则甲胜，否则为乙胜。（）求乙获胜的概率；（）若又规定：抽取的两个小球上的数字都有1时，甲胜且得1分；抽取的两个小球上的数字都为2时，甲胜且得2分；抽取的两个小球上的数字都为3时，甲胜且得3分；甲败则得0分。求甲得分的数学期望。19. （本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。（）证明：为奇函数；（）若数列满足条件：，（），证明：。20. （本小题满分14分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率，一条准线的方程为。（）求双曲线的方程；（）设直线过点且斜率为（），问：在双曲线的右支上是否存在唯一点，它到直线的距离等于1。若存在，则求出符合条件的所有的值及相应点的坐标；若不存在，请说明理由。2005年广州市普通高中毕业综合测试（一）数学参考答案一、选择题：题号12345678910答案CAADDCBACB二、填空题：111213，14，三、解答题：15解：由得最小正周期，最大值，最小值。16解：（）。依题意，得；（）由（）的结论知。故由，即函数的单调递增区间为、，单调递减区间为。17解：如图建立空间直角坐标系，则（）证明：因为，所以，故，因此，有；（）设是平面的法向量，因为，所以由可取；同理，是平面的法向量。设二面角的平面角为，则。18解：（）乙获胜的概率为；（）设甲得分为，则的可能取值为、，其分布列为：从而甲得分的数学期望是。19证明：（）因为对于任意的实数、都有，故令得，再令得，即，所以是奇函数；（）设且，则，故，从而，所以在上是增函数。又因为，所以当时，有。由，即有。下面用数学归纳法证明：对任意的，都有。当时，命题显然成立；假定当时，命题成立，即，则由知：，由此及得，即当时，命题也成立。由、及数学归纳法原理知：上述命题成立。20解：（）依题意，可设双曲线的方程为（，），则，即双曲线的方程为；（）依题意，直线的方程为（），设为双曲线上到直线的距离等于1的点，则。若，则直线与双曲线右支相交，故双曲线的右支上有两个点到直线的距离等于1，与题意矛盾；若（如图所示），则直线在双曲线的右支的上方，故，从而有。又因为，所以