例谈绝对值问题的求解方法.doc

例谈绝对值问题的求解方法(奥数辅导)一、定义法例1 若方程 只有负数解，则实数a的取值范围是：_。分析与解 因为方程只有负数解，故 ，原方程可化为： ， ，即 说明 绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。二、利用非负性例2 方程 的图象是（ ）（A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， D）两个点：（0，1），（1，0）分析与解 由已知，根据非负数的性质，得 即 或 解之得： 或 故原方程的图象为两个点（0，1），（1，0）。说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。三、公式法例3 已知 ，求 的值。分析与解 ，原式 说明 本题根据公式 ，将原式化为含有 的式子，再根据绝对值的定义求值。四、分类讨论法例4 实数a满足 且 ，那么 分析与解 由 可得 且 。当 时， ；当 时， 说明 有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。五、平方法例5 设实数a、b满足不等式 ，则（A） 且 （B） 且 （C） 且 （D） 且 分析与解 由于a、b满足题设的不等式，则有 ，整理得 ，由此可知 ，从而 上式仅当 时成立， ，即 且 ，选B。说明 运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。六、图示法例6 在式子 中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4分析与解 问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是1、2，3、4，求一点P，使 最小（如图）。 由于 是当P点在线段AD上取得最小值3， 是当P在线段BC上取得最小值1，故 的最小值是4。选D。说明 由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。七、验证法例7 是一个含有4重绝对值符号的方程，则（ ）（A）0、2、4全是根（B）0、2、4全不是根（C）0、2、4不全是根（D）0、2、4之外没有根分析与解 从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。说明 运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。八、代数式零点法例8 的最小值是_。分析与解 由 可确定零点为1、2、3。当 时，原式 ；当 时，原式 ；当 时，原式 ；当 时，原式 综上知所求最小值为4。说明 运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。九、数形结合法例9 已知二次函数 的图象如图所示，并设 ，则（ ）（A） （B） （C） （D）不能确定M为正、负或为0 分析与解 令 中 ，由图象得： ；令 得 顶点在第四象限，顶点的横坐标 又 ，而 ， ，即 故 选C。说明 运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。十、组合计数法例10 方程 ，共有几组不同整数解 （A）16 （B）14 （C）12 （D）10分析与解 由已知条件可得 当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 。共有12组不同整数解，故选C。说明 此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。十一、枚举法例11 已知a为整数， 是质数，试确定a的所有可能值的和。分析与解 设 是质数p，则 仅有因子1及 。 当 时， ，此时， ；当 时， ，此时， ；当 时， ，此时， ；当 时， ，此时， 当a取整数1、2、5、4时， 是质数， 即a的所有可能值的和为6。说明 运用此法是指在题目条件的范围内，将可能的情况一一列举出来，然后通过比较、检验进行筛选，最终确定结果。求解下列各题：1、设实数a、b、c满足abc (ac0)，且|c|b|a|，则|xa|xb|xc|