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第四章 曲线运动 第1课时 曲线运动 质点在平面内的运动基础知识回顾1曲线运动（1）曲线运动中的速度方向做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，在某点（或某一时刻）的速度方向是曲线上该点的切线方向（2）曲线运动的性质由于曲线运动的速度方向不断变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度（3）物体做曲线运动的条件物体所受合外力（或加速度）的方向与它的速度方向不在同一直线上如果这个合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小2运动的合成与分解（1）合运动与分运动的特征等时性：合运动和分运动是同时发生的，所用时间相等等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果相同独立性：一个物体同时参与几个运动，各个分运动独立进行，互不影响（2）已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成遵循平行四边形定则两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正方向相同的取正值，相反的取负值，合运动为各分运动的代数和不在同一直线上，按照平行四边形定则合成（如图4-1-1示）图4-1-1两个分运动垂直时，正交分解后的合成为（3）已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解重点难点例析一、怎样确定物体的运动轨迹？1同一直线上的两分运动（不含速率相等，方向相反情形）的合成，其合运动一定是直线运动2不在同一直线上的两分运动的合成（1）若两分运动为匀速运动，其合运动一定是匀速运动（2）若两分运动为初速度为0的匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速直线运动（3）若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动（如平抛运动）（4）若两分运动均为初速度不为0的匀加（减）速直线运动，其合运动不一定是匀加（减）速直线运动，如图4-1-2、图4-1-3所示）图4-1-2情形为匀变速曲线运动；图4-1-3情形为匀变速直线运动（匀减速情形图未画出），此时有v1 va1 ao v2 a2v1 va1 ao a2 v2 图4-1-2 图4-1-3【例1】关于不在同一直线的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（ ）A一定是直线运动B一定是曲线运动C可能是直线运动，也可能是曲线运动D一定是匀变速运动 l 拓展如图4-1-4图示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向改变而大小不变（即由F变为-F），在此力作用下物体以后运动情况，下列说法正确的是（ ）vABcba图4-1-4A物体不可能沿曲线Ba运动B物体不可能沿直线Bb运动C物体不可能沿曲线Bc运动D物体不可能沿原曲线由B返回A二、船过河问题的分析与求解方法1处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动2对船过河的分析与讨论设河宽为d，船在静水中速度为v船，水流速为v水（1）船过河的最短时间v2 O v水v船 v1 图4-1-6如图4-1-6所示，设船头斜向上游与河岸成任意夹角，这时船速在垂直河岸方向的速度分量为v1=v船sin，则过河时间为，可以看出，d、v船一定时，t随sin增大而减小；当=90时，即船头与河岸垂直时，过河时间最短到达对岸时船沿水流方向位移x=v水tmin=（2）船过河的最短位移v船v水如图4-1-6所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位移最短，且最短位移为河宽d此时有v船cos=v水，即v船v水图4-1-7x如图4-1-7所示，无论船向哪一个方向开，船不可能垂直于河岸过河设船头与河岸成角，合速度v合与河岸成角可以看出：角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切时，角最大，根据，mA危险区图4-1-8船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：此情形下船过河的最短位移：【例2】如图4-1-8所示，一条小船位于200m宽的河的正中点A处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4.0m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（ ）Am/s Bm/s C2.0m/s D4.0m/sl 拓展在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（ ）A B0 C D三、如何分解用绳（或杆）连接物体的速度？1一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个速度，但若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解通常先虚拟合运动（即实际运动）的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到两个分速度的方向；最后利用平行四边形画出合速度和分速度的关系图，由几何关系得出他们的关系2由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解【例3】如图4-1-10所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动在某一时刻卡车的速度为，绳AO段与水平面夹角为，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？OA 图4-1-10课堂自主训练1小船在静水中速度为v1，今小船要渡过一条河流，过河的小船始终垂直对岸划行，若小船划行到河中间时，河水流速忽然由v2增大到2，则过河时间与预定时间相比，将（ ）A增长 B不变 C缩短 D无法确定图4-1-132如图4-1-13所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=H-2t2 （SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面 的高度）规律变化，则物体做（ ）A速度大小不变的曲线运动B速度大小增加的曲线运动C加速度大小方向均不变的曲线运动D加速度大小方向均变化的曲线运动课后创新演练1关于曲线运动性质的说法正确的是（ ）A变速运动一定是曲线运动B曲线运动一定是变速运动C曲线运动一定是变加速运动D曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动2两个互成角度的匀加速直线运动，初速度的大小分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，则它们的合运动的轨迹（ ）A如果v1=v2，那么轨迹一定是直线 B如果v10，v20，那么轨迹一定是曲线C如果a1=a2，那么轨迹一定是直线 D如果a1/a2=v1/v2，那么轨迹一定是直线3一个质点受到两个互成锐角的力F1和F2的作用后，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F2+F，则质点以后（ ）A一定做匀变速曲线运动 B在相等的时间内速度的变化一定相等C可能做匀速直线运动 D可能做变加速直线运动4某河水的流速与离河岸距离的变化关系如图4-1-14甲所示船在静水中的速度与时间的关系如图4-1-14乙所示若要使船以最短时间渡河，则（ ）v/(m.s-2)d/mO1503004甲v/(m.s-2)t/sO3乙 图4-1-14A船渡河的最短时间是75sB船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C船在河水中航行的轨迹是一条直线D船在河水中的最大速度是5m/s5如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动则（ ）A小船的速度v2总小于汽车速度v1 B汽车速度v1总小于小船的速度v2C如果汽车匀速前进，则小船加速前进 D如果汽车匀速前进，则小船减速前进ABF6如图所示，物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连结跨过光滑轻质定滑轮，当用力F拉B沿水平面向右匀速运动过程中，绳对A的拉力的大小是（ ） A大于mg B等于FC总等于mg D小于mg7玻璃板生产线上，宽9m的玻璃板以4ms的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8ms，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？8质量为m1kg的物体静止在光滑水平面上，从t0时刻开始物体受到水平力F的作用，F0.1N并保持不变此力先沿向东的方向作用1s，而后依次改为沿向北、向西、向南方向各作用1s以出发点为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立直角坐标系，如图4-1-18求：（1）第1s内物体的位移值；（北）y/mx/m（东）0.20.100.10.20.10.24-1-18（2）物体在第2s末的速度大小；（3）在坐标系中画出前4s内物体的运动轨迹 第2课时 抛体运动的规律及其应用基础知识回顾1平抛运动（1）定义：将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动。（2）性质：加速度为g的匀变速曲线运动，运动过程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速度大小、方向时刻改变。（3）研究方法：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成。图4-2-1（4）规律：设平抛运动的初速度为，建立坐标系如图速度、位移：水平方向：，竖直方向：，合速度（秒末的速度）：，方向：合位移（秒末的位移）：方向： 运动时间：由得：（t由下落高度y决定）轨迹方程：（在未知时间情况下应用方便）可独立研究竖直分运动：a连续相等时间内竖直位移之比为：（n=1，2，3，）b连续相等时间内竖直位移之差为：一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。v0vtv0vyA O BD C图4-2-2证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量，而竖直分量， ，所以有2斜抛运动：（1）将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做“斜抛运动”。（2）性质：加速度为g的匀变速曲线运动。根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。取水平方向和竖直向上的方向为x轴和y轴，则这两个方向的初速度分别是：v0x=v0cos，v0y=v0sin图4-2-3重点难点例析一、平抛物体运动中的速度变化水平方向分速度保持vx=v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔t时间的速度的矢量关系如图4-2-3所示这一矢量关系有两个特点：1任意时刻v的速度水平分量均等于初速度v0；2任意相等时间间隔t内的速度改变量均竖直向下，且【例1】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是 ( )A速度的增量 B加速度 C位移 D平均速度l 拓展图4-2-4用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置（见图4-2-4）若已知闪光时间间隔为t=0.1s，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B点时的竖直分速度大小多大？g取10ms2，每小格边长均为L=5cm二、类平抛运动平抛运动的规律虽然是在地球表面重力场中得到的，同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动也适用于物体以初速度v0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F的作用情况例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系。4-2-5【例2】如图4-2-5所示，有一倾角为30的光滑斜面，斜面长L为10m，一小球从斜面顶端以10m/s的速度沿水平方向抛出，求：（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移S；（2）小球到达斜面底端时的速度大小。（g取10 m/s2） l 拓展在真空中速度为v6.4107米秒的电子束连续地射入两平行极板间，极板长度为L8.010-2米，间距为d5.010-3米。两极板不带电时，电子束将沿两极板之间的中线通过。在两极板上加一50赫兹的交变电压如果所加电压的最大值U0超过某一值Uc时，将出现以下现象：电子束有时能通过两极板，有时间断不能通过。求Uc的大小.三、斜抛运动物体的射程和射高斜抛运动的规律：a速度： b轨迹方程： d抛射体所能到达的最大高度为：e其到达最高点所需的时间：f抛射体的最大射程为：【例3】物体以速度v0抛出做斜抛运动，则()A，在任何相等的时间内速度的变化量是相同的B可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动C，射高和射程都取决于v0的大小Dv0很大，射高和射程可能很小l 拓展物体做斜向上抛运动时,描述物体在竖直方向的分速度(取向上为正)随时间变化的图象如图4-2-6，正确的是vyvyv0- v0- v0v0BOOtOtAOvytCvytD4-2-6四、平抛运动规律的应用平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特点，并且注意与其它知识的结合点Ahv04-2-7【例3】如图4-2-7所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为=30的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。课后创新演练1关于平抛运动，下列几种说法不正确的是( )A.平抛运动是一种匀变速曲线运动B.平抛运动的落地时间与初速度大小无关C.平抛运动的水平位移与抛出点的高度无关D.平抛运动在相等时间内速度的变化相等2飞机以150m/s的水平速度匀速飞行，不计空气阻力，在某一时刻让A物落下，相隔1s又让B物体落下，在以后运动中关于A物体与B物体的位置关系，正确的是( )A.物A在物B的前下方B.物A在物B的后下方C.物A在物B的正下方5m处D.以上说法都不正确3从一架匀速飞行的飞机上每隔相等的时间释放一个物体，这些物体在空中的运动情况是(空气的阻力不计)( )A地面的观察者看到这些物体在空中排列在抛物线上，它们做平抛运动B地面的观察者看到这些物体在空中排列在一直线上，它们都做平抛运动C飞机上的观察者看到这些物体在空中排列在抛物线上，它们都做自由落作运动D飞机上的观察者看到这些物体在空中排列在一直线上，它们都做自由落体运动4物体以速度v0水平抛出，若不计空气阻力，当其竖直分位移与水平分位移相等时( )A竖直分速度等于水平分速度 B即时速度大小为4-2-10C运动的时间为2v0/g D运动的位移为5如图所示，物体1从高H处以初速度v1平抛，同时物体2从地面上以速度v2竖直上抛，不计空气阻力，若两物体恰能在空中相遇，则( )A两物体相遇时距地面的高度为H/2B从抛出到相遇所用的时间为H/v2C两物体抛出时的水平距离为Hv1/v2D两物体相遇时速率一定相等6一个物体以速度v0水平抛出，落地时速度的大小为v，不计空气的阻力，则物体在空中飞行的时间为( )A B C D7一足球运动员开出角球，球的初速度是20 m/s，踢出时和水平面的夹角是37，如果球在飞行过程中，没有被任何一名队员碰到，空气阻力不计，落点与开出点之间的距离为( )A38.4 m B19.2 m C76.8 m D153.6 m8一水平放置的水管，距地面高h=1.8m，管内横截面面积S=2.0cm2，有水从管口处以不变的速度v=2.0m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g=10m/s,不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。9有一位同学在做本实验时，想知道水流离开喷水嘴时的初速度大小，但又没有直接的测量工具，一时不能如愿。你能想办法帮他间接测量出来吗？若能，说出做法；若不能，说明理由。本次实验中，你的装置中喷水嘴的喷水初速度大小大约是多少？10在一次投篮游戏中，同学小创调整好力度，将球从A点向篮筐B投去，结果球如图4-2-11所示划着一条弧线飞到篮筐后方，已知A.B等高，请问，下轮再投时，他将如何调整？若保持力度不变，把球投入篮筐，他有几种投法？AB图4-2-11第3课时 描述圆周运动的物理量 匀速圆周运动基础知识回顾1描述圆周运动的物理量1）线速度:是描述质点绕圆周运动快慢的物理量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的定义式为：2）角速度: 是描述质点绕圆心圆周运动快慢的物理量,其定义式为：,国际单位为rad/s3）周期和频率:周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量,用周期和频率计算线速度的公式为, 用周期和频率计算角速度的公式为.4）向心加速度: 是描述质点线速度方向变化快慢的物理量, 向心加速度的方向指向圆心,其大小的定义式为或5）向心力: 向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其作用效果是只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小,其大小可表示为或方向时刻与运动的方向垂直.它是根据效果命名的力.说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力2匀速圆周运动1）定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等2）特点：在匀速圆周运动中, 线速度的大小不变, 线速度的方向时刻改变. 所以匀速圆周运动是一种变速运动做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.3离心运动:1）定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动2）特点：（1）当F合=的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做圆周运动.（2）当F合的情况，即物体所受力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动. 了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动（3）当F合的情况，即物体所受力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势重点难点例析一、描述匀速圆周运动的物理量之间的关系共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？图4-3-1图4-3-2l 拓展如图4-3-2所示，O1皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径已知r21.5r1，r3=2r1A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是_ ，角速度之比是_ ，向心加速度之比是_ ，周期之比是_二、关于离心运动的问题物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线。半径不变时物体作圆周运动所需的向心力，是与角速度的平方（或线速度的平方）成正比的。若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心。若物体所受的向心力突然消失，即将沿着切线方向远离圆心而去。【例2】物体做离心运动时，运动轨迹A一定是直线 B一定是曲线C可能是直线，也可能是曲线 D可能是圆 l 拓展质量为M1000kg的汽车，在半径为R25m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0.4倍。为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围。（g=10m/s2）三、圆周运动中向心力的来源分析向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源。需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力。物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）。【例3】如图4-3-3所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.4-3-3课堂自主训练1质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 （ ）A.线速度越大，周期一定越小B.角速度越大，周期一定越小C.转速越小，周期一定越小D.圆周半径越大，周期一定越小2 关于向心力的说法正确的是 （ ）A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力B.做圆周运动的物体除受其他力外，还要受到一个向心力的作用C.向心力不改变圆周运动物体速度的大小D.做圆周运动的物体其向心力是不变的3. 关于洗衣机脱水桶的有关问题，下列说法中正确的是 A如果衣服上的水太多脱水桶就不能进行脱水B脱水桶工作时衣服上的水做离心运动，衣服并不做离心运动C脱水桶工作时桶内的衣服也会做离心运动。所以脱水桶停止工作时衣服紧贴在桶壁上D白色衣服染上红墨水时，也可以通过脱水桶将红墨水去掉使衣服恢复白色课后创新演练1甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为1、2和v1、v2.则（ ）A12，v1v2B12，v1v2C12，v1v24-3-4D12，v1v22如图4-3-4所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是 （ ）A它们的运动周期都是相同的B它们的线速度都是相同的C它们的线速度大小都是相同的D它们的角速度是不同的3汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为（ ）A1000 r/s B1000 r/min C1000 r/h D2000 r/h 4用绳子拴着一个物体，使物体在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，绳子断了以后，物体将（ ）A.仍维持圆周运动B.沿切线方向做直线运动C.沿半径方向接近圆心D.沿半径方向远离圆心5市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就要播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手”。这样可以 （ ）A提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒B提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒C主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒D主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒6关于列车转弯处内外铁轨间的高度关系，下列说法中正确的是（ ）A内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故B因为列车转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车倾倒C外轨比内轨略高，这样可以使列车顺利转弯，减少车轮与铁轨的挤压D以上说法都不对7如图4-3-5所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO/匀速转动，下列关于小球受力的说法中正确的是（ ）A小球受到重力、弹力和向心力作用4-3-5B小球受到重力和弹力作用C小球只受到一个水平指向圆心的向心力作用D小球受到重力和弹力的合力是恒力8关于离心运动，下列说法中正确的是（ ）A物体突然受到向心力的作用，将做离心运动B做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做离心运动C做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动D做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动9.为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定着两个薄圆盘a、b，a、b平行相距2 m，轴杆的转速为3600 r/min，子弹穿过两盘留下两个弹孔a、b，测得两孔所在的半径间的夹角为30，如图4-3-6所示则该子弹的速度是( )4-3-6 A.360 m/s B.720 m/s C.1440 m/sD.1080 m/s10如图4-3-7所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）大齿轮小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条4-3-7第4课时 匀速圆周运动动力学及实例分析基础知识回顾1圆周运动的动力学问题做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F合=F向，或F合=。2竖直平面内的圆周运动中的临界问题 1）轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是小球的重力恰好提供向心力，即，这时的速度是做圆周运动的最小速度。 2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的探究是在最高点的速度. （1）当时，杆对小球的支持力等于小球的重力； （2）当时，杆对小球的支持力小于小球的重力； （3）当时，杆对小球的支持力等于零； （4）当时，杆对小球提供拉力。重点难点例析一、圆周运动的动力学问题 解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解。【例1】质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的摩擦因数为，则物体在最低点时 （ ）A向心加速度为B向心力为C对球壳的压力为D受到的摩擦力为【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有：，物体的向心加速度为，向心力为，物体对球壳的压力为，在沿速度方向，物体受滑到摩擦力，由摩擦定律有：，综上所述，选项为A、D正确。【答案】A、D【点拨】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F合=F向，或F合=。这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律。l 拓展铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h。弯道半径r（cm）660330220165132110内外轨高度差h（m）0.050.100.150.200.250.30（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值。（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角很小时，可认为）【解析】（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数，因此，当r=440m时，有：4-4-1（2）转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如同4-4-1所示。由牛顿定律得： 因为很小，有： 由、可得：代入数据解得：v=15m/s=54km/h【答案】（1）75mm；（2）54km/h。二、圆周运动的临界问题圆周运动中临界问题的分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体受力的特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题1在竖直面内做圆周运动的物体竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件是：则绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力 竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力2当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题【例2】【2008广东佛山质检14】在游乐园坐过山车是一项惊险、刺激的游戏。据新安晚报报道，2007年12月31日下午3时许，安徽芜湖方特欢乐世界游乐园的过山车因大风发生故障突然停止，16位游客悬空10多分钟后被安全解救，事故幸未造成人员伤亡。游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图4-4-1所示的装置演示。斜槽轨道AB、EF与半径R=0.4m的竖直园轨道（圆心为O）相连，AB、EF分别与园O相切于B、E点，C为轨道的最低点，斜轨AB倾角为370。质量m=0.1kg的小球从A点由静止释放，先后经B、C、D、E到F点落入小框。（整个装置的轨道光滑，取g=10m/s2, sin37=0.6, cos37=0.8）求：4-4-2（1）小球在光滑斜轨AB上运动的过程中加速度的大小；（2）要使小球在运动的全过程中不脱离轨道，A点距离最低点的竖直高度h至少多高？【解析】（1）小球在斜槽轨道AB上受到重力和支持力作用，合力为重力沿斜面向下的合力，由牛顿第二定律得：。（2）要使小球从A点到F点的全过程不脱离轨道，只要在D点不脱离轨道即可，物体在D点做圆周运动临界条件是：由机械能守恒定律得：解以上两式得A点距离最低点的竖直高度h至少为：。【答案】（1）6.0m/s2;(2)1.0m。【点拨】本题侧重考察圆周运动临界条件的应用。物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态。通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键。l 拓展游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来如图4-4-3，我们把这种情况抽象为图4-4-4的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滑下，小球进入圆轨道下端后沿原轨道运动，实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点如果已知圆轨道的半径为R，h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力图4-4-4图4-4-3【解析】小球在最高点时不掉下来的条件是：圆轨道对小球的弹力FN0，此时有 （1）而在整个运动过程中，由机械能守恒定律有 （2）由以上各式联列可解得h2.5R,即h至少要等于2.5R【答案】2.5R.三、圆周运动的综合问题 易错门诊【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1， B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有 B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有 因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有 N1=N2由、式解得：4-4-5【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。【正解】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-4-5所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。据牛顿第二定律A球在圆管的最低 同理m2在最高点有： m2球由最高点到最低点机械能守恒 又N1=N2由、式解得：【点悟】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。课堂自主训练图4-4-61.如图4-4-6所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速圆周运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（）A0B2C2mgRDmgR/2【解析】当物块随转台匀速运动时，由知，由动能定理知：摩擦力Ff的功：图4-4-7【答案】D2. 如图4-4-7所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2，当圆锥和球一起以角速度匀速转动时，球压紧锥面此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？图4-4-8【解析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答对小球进行受力分析如图4-4-8所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有Tsin-Ncos=m2r y方向上应有Nsin+Tcos-G=0 r = Lsin 由、式可得T = mgcos+m2Lsin当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）则有 Tsin=m2r Tcos-G=0 由式可得即小于的角速度至少为【答案】课后创新演练图4-4-91如图4-4-9所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下.两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大环对轻杆的拉力大小为（ C）A（2m+2M）g BMg2mv2/RC2m(g+v2/R)+Mg D2m(v2/Rg)+Mg2当汽车以10m/s的速度通过某拱桥顶点时，车对桥顶的压力为车重的3/4，为了避免车沿粗糙桥面上行驶至该桥顶时所受摩擦力为零，则汽车通过桥顶速度不应（B ）Av15m/s Bv20m/s Cv25m/s Dv30m/s4-4-103如图4-4-10所示，轻杆的一端有一小球，另一端有光滑的固定轴O现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时对小球的作用力，则F（ D）A一定是拉力 B一定是推力C一定等于0D可能是拉力，也可能是推力，也可能等于0图4-4-114如图4-4-11所示，一球质量为m，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间下列说法正确的是（BCD ）A小球的线速度突然加大B小球的向心加速度突然增大C小球的角速度突然增大D悬线拉力突然增大图4-4-125如图4-4-12所示，手持一根长为L的轻绳的一端在水平桌面上做半径为r、角速度为的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系质量为m的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力（ D）A手对木块不做功B木块不受桌面的摩擦力C绳的拉力大小等于D手拉木块做功的功率等于图4-4-136如图4-4-13所示，MN是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度绕其中心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而取某一合适的值，则以下说法中正确的是（ABC ）A有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处的一条与a缝平行的窄条上B有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处的一条与S缝平行的窄条上C有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与S缝平行的窄条上D只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒7质量相等的两汽车以相同的速度v分别通过半径为R的凸形桥顶P与凹形桥底P时两桥面所受的压力之比为FPFP=(gR-v2)（gRv2）8如图4-4-14所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置的示意图.A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮.车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是；小车速度的表达式为v=;行程的表达式为s=.图4-4-14【解析】小车的速度等于车轮的周长与单位时间内车轮转动圈数的乘积.设车轮的半径为R，单位时间内车轮转动圈数为k，则有v=2Rk若齿轮的齿数为p，则齿轮转一圈电子电路显示的脉冲数即为p，已知单位时间内的脉冲数为n，所以单位时间内齿轮转动圈数为，由于齿轮与车轮同轴相连，它们在单位时间内转动圈数相等，即k=由以上两式可得，v=同理，设