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一类不等式的研讨Discussions about a kind of inequality作者：中国天津市耀华中学 陶然、于朔指导教师：卢翔Author: Tao Ran, Yu ShuoTianjin Yao Hua High School, ChinaTutor: Lu Xiang论文摘要 文献1 证明了如下的一个不等式：已知则：本文对此不等式做了一个较为全面而深入的研讨，一方面将其由四元推广到了多元，另一方面将其由二次幂推广到了高次幂，并通过一系列的数学方法对以上推广后的命题的真假进行了判断，从而得出了三个定理和一个真值表。同时，在文章的最后，我们还提出了一个值得进一步思考的问题。关键词：不等式 多元 高次 凸性质 分类替换Abstract Reference1 proves the following inequality: If , then: This dissertation has made an in-depth and comprehensive discussion on the above mentioned inequality. On one hand, weve extended the four-variables to multi-variables; on the other hand, weve extended the quadratic inequality to high-power ones. Also, through using a series of mathematic methods, weve proved the extended proposition whether true or not and came up with three theorems and one truth table. Meanwhile, weve brought forward a worth-thing problem at the end of the dissertation. Keyword: inequality multi-variables high-power convexity of function replacement based on classification第1部分对于原式一般情况下的研究考虑如下的：命题1 设，且，则 (1)为方便起见，下记命题1为，当时若成立，则记为，反之记为。由上述文1的结果知。特别地，取若干，即知当时，有。故以下可设。事实上，若有某个使，则对任意有，反之若，则当时，。又记，则(1)式可等价于 (2)现给出：定理1：的充要条件是。 据上述知定理1等价于。下面给出证明过程。 首先我们需要对的性质进行讨论与研究。其一阶导函数，在上是恒小于零的，说明在上是单调递减的，其二阶导函数为，可发现在上是凸函数，从而得出 在上是一个凸函数。 现给出下面的一些引理：引理1：证明：取，直接计算可得 ，引理2：设证明： 令 ，易知 此时 记上式左边为，则 而 故 。引理3：设,，则。 证明：先证： 设，则 (3)由设知，()。记，则。 当时，函数是增函数故 故(3)式成立 利用(3)式要证 只需证：，且。整理化简可得： ，即 ， ，则 ，可见。 显然，而，。引理4：设，则。证明：先证：设，则 (4)由设知，()。记，则。令，则在上大于零，在上也大于零，故为在上的单调递增的凸函数。而。又，故 故(4)式成立。由 结合(4)式得 为证引理只需证 (5)当时，易知(5)式成立，故下设又，故 (6)记下证时，即可由得 引理5：设，则。证明：先证：设，则。 (7)由设知，()。记，则。令，则和均在上大于零，所以为在上的单调递增的凸函数。而且。，故(7)式成立。 由(7)式，要证：只需证：，整理化简即，即，则，可见。显然，而，。引理6：证明： (8) (9) 将另一类大于1的元素，改记为 结论显见成立。又显见,若而不超过1的数的个数增加了1个，经若干次这样的调整后仍是不增加的，10个数之和仍为10，而不超过1的元素个数，下记。记，并以。由的凸性质知仍是不增加的，于是对，而，故 由引理2至引理5的结论即可得到本引理的结论，综上由引理1和引理6可知定理1成立。下面我们对定理1进行一下简单的推广。 定理2：设， (是一个正常数)，则有：1).当时，； 2).当时，未必有。证明如下：1)我们只需讨论且时的情况并证明结论成立即可。 令，则。取，（i=1,10）。很明显，且。由定理1，及：，由，以及的单调递减性可知，于是有。2)仅对时给出证明即可：取引理1中的，此时，。令，则，且，而，故。所以当时，未必有。当而的时候，此时，在中必存在一个不超过1的数，那么不妨设为，此时，又由的单调递减性可得，于是。上面的讨论表明，一定存在，使对于，都有。第2部分将二次方推广到次方（） 考虑更一般的问题，记下命题为： 设,则。 同样，用表示命题对。 又同第一部分可知当，也有。而当时，对任意的。另外由即知，在 现给出： 引理7：证明：，故。 取，故。引理8：设，则 证明：由设易知 故 下证 由 知，故上式成立，引理得证。由上述的凸性质，以及引理8，仿第一部分的引理6的证明，可以得出要证时，只需在不大于1的的个数大于大于1的的个数且不大于1的可统一用它们的平均值来代替。引理9：证明：只需在。 设 ，则可得 其中g(t)= 故原式恒大于0。引理10：证明：只需在 设 ，则可得 其中g(t)= 故原式恒大于0。引理11：设有满足，且（这里），则存在，满足，且。证明： (10) 综上，。最后出给如下两个推论： 推论1：证明： 推论2：设，则对于任意的。又若，则对于任意的。证明：设，由上面的推论1以及引理8之结论即得，再反复利用此结论即知。又若，利用反证法以及前一结果即知，再反复利用此结论即知。 现综合全文可得如下的： 定理3：证明： 综上，定理证明完毕。 根据定理3可以得到的真值表如下：1234567891011111111111111211111111110311110000000411100000000511100000000611000000000711000000000 最后指出，相应于定理2对定理1的推广，也可以对定理3做类似的推广。总结：在研究过程中,我们深切地感受到了代数的美以及它的复杂性，即使是一个简单的不等式便可以引出一些列有价值、有深度的推广。通过研究，我们仅仅是把上述不等式推广到了高次整数幂，我们认为在这基础上还可以将其进一步推广到非整数次幂。作为新世纪的数学爱好者,我们非常希望有一天可以将这个问题解决。参考文献 1 中等数学2010年增刊，P22，天津师范大学出版社，唐立华编拟gG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5xZiK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y!jL4wYhJ1uWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5y#iL3vYgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nP8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWeH+rUcE)pRaC*nP8A$lN5y#iL3vYgI1tVeG-rTbE(pR9C&mP7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-rTbE(oR9B&mO7z!k6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#M5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWeH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3vYgI1tVeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5xZiK2vXfI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1uWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vYgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y!jLy#iL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y!jL4wYh5y#iL3vYgI1tVeG-rTbE(oR9C&mP7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWeH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3vYgI1tVeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5xZiK2vXfI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1uWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vYgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#i5x#iK3vXgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wZhJ2uWfH+sUcF)UcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y!jL4wYhJ1uWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5y#iL3vYgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8*nQ8A%lN6y#jL4wYhJ1uWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5y#iL3vYgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nP8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*oQ8B%P8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*naC*nP8A$lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF)qSaD*nQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWeH+rUcE)pRaC*nP8A$lN5y#iL3vYgI1tVeG-rTbE(oR9C&mP7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-rTbE(oR9B&mO7zmO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-qTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1YgJ1tWeG+rTcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVdG-qTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWeH+rUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3viK3vXgI0tVdG-qTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sUdF)qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWeH+rUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3vYgI1tVeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5xZiK2vXfI0sVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!O6z!jM4wZhJ2uWfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4#jL3wYgJ1tWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYh3wYgJ1tWeH+rUcE)pRaC&nP7A$kN5x#iK3vXgI0tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3vYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5xZiK3vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B%mOB%lO6y!jL4wYhJ1uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lNA$kN5x#iK3vXgI0tVeG-rTbE(oR9B&mO7z!kM4xZhK2uXfH0sVdF-qSbD*oQ8B%lO6y!jL4wYhJ1uWfH+sUcF)pSaC*nP8A$lN5y#iL3vYgJ1tWeG+rTcE(pR9C&mP7z$kM5xZiK2vXgI0tVdG-qTbD(oQ9B%mO6z!jM4wZhK2uXfH0sUdF)qSaD*nQ8A%lN6y#jL3wYhJ1uWeH+rUcE)VeG-rTbE(oR9B&mP7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nQ8A%lN6y#jL3wiL3vYgI1tVeG-rTbE(oR9B&mP7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSbD*oQ8B%mO6z!jM4wZhJ2uWfH+sUcF)pSaC*nQ8A%lN6y#jL3wYgJ1tWI1tVeG-rTbE(oR9B&mO7z$kM5xZiK2vXfI0sVdF-qSb