数学复习课的基本策略.pdf

数学复习课的基本策略 陶兴模 重庆八中数学组 400030 数学复习课如何上 知识如何串 方法如何讲 一直是众多的中学数学教师所关注的问题 教学的 实践表明 注重复习方法 讲究复习策略是上好复 习课的关键 知识系统化 方法大众化 题型模型 化 答题规范化 思维策略化是复习课教学的基本 策略 策略一 知识系统化 高中数学知识丰富多彩 然而 如果不进行适 当的梳理 则显得杂乱无章 不便记忆 更谈不上灵 活运用了 尤其是学生 高一年级的知识到高三的 时候 很多知识已经忘记了 公式记不住了 定理分 不清了 概念模糊了 因此 在高三复习的时候 很 有必要将每一章 每一节的知识进行梳理 让他们 重新学习这些知识 回顾这些知识情境 温故而知 新 每一章根据内容的多少和难易程度可安排2 4 课时的时间梳理知识 让知识在学生头脑中系统 化 知识的梳理不是简单的知识再现 更不是面面 俱到的知识点的重复 而是择其重点和难点 抓住 问题的关键 找准知识的突破口 让学生重新认识 全方位地进行深层次理解 对重点内容和难点内容 在梳理时教师可设计成一个又一个的问题 将它们 串联在一起 让学生在阅读教材后回答这些问题 例如 在梳理排列与组合这一部分的知识点 时 可设计这样一些问题 问题1 请思考 研究排列与组合的理论基础 是什么 分类计数原理和分步计数原理 问题2 什么叫做分类计数原理 问题3 分类计数原理的本质特征是什么 特征1 做一件事分类去完成 特征2 每一种 方法都能够独立地完成这件事 问题4 什么叫做分步计数原理 问题5 分步计数原理的本质特征是什么 特征1 做一件事分步去完成 特征2 每一种 方法都不能独立地完成这件事 问题6 分类计数原理与分步计数原理的本质 区别是什么 本质区别是 分类计数原理与分类有关 各种 方法相互独立 每一种方法都可以独立地完成这件 事 分步计数原理与分步相关 各个步骤相互依赖 每一种方法都不能够独立地完成这件事 问题7 某一位商人要由重庆去成都办理一件 商事 有3类交通工具可供选用 坐飞机 坐火车 坐 汽车 在一天之内 飞机有4个航班 火车有6个班 次 汽车有15个班次 问这位商人在一天之内有多 少种不同的走法 一共有4 6 15 25种不同的走法 分类计 数原理 问题8 将3封信投入2个信箱中 一共有多少 种不同的投递方法 一共有2 2 2 8种不同的投法 分步计数 原理 通过以上一系列问题的提出 思考与解答 使 学生对分类计数原理和分步计数原理这两个重要 的知识点有了更深层次的理解 对这两个原理的区 别与联系有了更深刻的认识 这样 就很自然地将 这两个原理与排列组合融合在一个系统之中了 运 用这种问题串的教学方法可以激发学生思维的积 极性 使学生的思维在问题的牵动之下 处于积极 的思考状态 他们都希望能够通过自己的努力回答 作者简介 陶兴模 1953 男 重庆八中数学特级教师 全国优秀教师 重庆市数学学会常务理事 2003年荣获苏步 青数学教育奖 922005年 第44卷 第4期数学通报 每一个问题 从而获取成功的感受 因此 课堂显得 非常活跃 师生互动得到充分体现 在梳理知识的过程中 要注意提取和归纳重要 的数学思想和数学方法 让学生站在数学思想与方 法的高度来认识数学问题 例如 排列数公式Amn n n 1 n 2 n m 1 的推导就体现了一 一对应的数学思想 同时也体现了排列组合中的一 种重要方法 填空占位法 又例如 组合数的两个性 质Cmn Cn m n 和Cmn Cm 1 n Cmn 1的证明 既体现了 一一对应的思想 也体现了分类讨论的方法 再例 如 球的体积公式V 4 3 R3和表面积公式S 4 R2的推证 它体现了分割 求和 化为准 确和这样一种由有限到无限逼近思想 这种由有限 到无限的逼近思想在今后的学习中十分重要 因此 在知识梳理的过程中要注意将这些重要的数学思 想与方法梳理出来 让学生了解和掌握 这不仅对他 们今天的学习有好处 而且对他们明天的学习有很 大的帮助 在梳理知识的过程中 不仅要注意对知识点的 理解 而且还应该注意某些公式和定理在运用时的 技巧 不少的学生只知道公式的正向运用 而忽略了 公式的逆向运用和变形运用 例如 利用三角的和角 差角的正切公式 tan tan tan 1 tan tan 的求值 问题 对于形如tan 30 45 的求值问题 学生很容 易利用正切的和角差角公式展开求得结果 然而 对 于一些基础较差的学生 遇到形如 tan23 tan 22 1 tan 22 tan 23 和1 tan15 1 tan15 的求值问题就感到困难了 他们不知道 去思考公式的逆向运用 又例如 二项式定理 a b n C0nan C1nan 1 b Cknan kbk Cnnbn的运用问题 就是基础较差的学生都会知道 如何将一个给定的二项式 3x y 2004按规律正向展 开 但 是 对 于 形 如C110 2C210 4C310 1 k 12k 1 Ck10 29C10 10的求值问题 就是基础 较好的学生也会感到有些困难 他们不知道去思考 二项式定理的逆向变形运用 因此 我们在梳理知识 的同时 要注意强调公式和定理的逆向运用 特别是 逆向的变形运用 这是提高学生解题能力的一个有 效措施 在梳理知识的过程中 要注意对易错知识点的 梳理 对于某一章 某一节内容 有哪些知识点是学 生最容易产生错误的 要认真进行梳理 要一个一个 地罗列出来 例如 在数列这一章 最容易产生错误 的知识点有两个 一 已知数列的前n项和Sn 求通项an 学生 只知道会用公式an Sn Sn 1去求an 而忘记了这 个公式有一个适用范围 它只适用于当n 2的情 形 对于n 1时应该单列求解 a1 S1 在梳理知 识的时候 为了纠正学生的这一错误认识 可举一些 简单的反例 例如 已知数列 an 的前n项和Sn 3 n 2 求数列 an 的通项公式an 学生很容易利用 公式an Sn Sn 1求得an Sn Sn 1 3 n 2 3 n 1 2 2 3 n 1 学生完成之后教师反问 an 2 3 n 1 对于n 1时适合吗 这时学生就会发现 自己的解答错在什么地方 二 等比数列的求和公式 在学生的头脑中 提到等比数列的求和公式 他 们可以很快闪现出来 就是 Sn a1 1 qn 1 q 他们 完全忘记了这个公式的适用范围q 1 当q 1 时 等比数列的求和公式不再是Sn a1 1 qn 1 q 而是Sn na1 为了让学生纠正这一错误 可设计一 些简单的反例 例如 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为Sn 已知2S5 S10 S20 S10成等比数列 试判断 S5 S15 S10是否构成等差数列 学生很容易 给出这个问题的解答 由S210 2S5 S 20 S10 得 a21 1 q10 2 1 q 2 2a1 1 q5 1 q a 1q 10 1 q10 1 q 1 q5 2q10 q5 1 2 S5 S10 a1 1 q5 1 q a1 1 q10 1 q a1 1 q 2 q5 q10 9 4 a1 1 q 2S15 2a1 1 q15 1 q 9 4 a1 1 q S5 S10 2S15 所以S5 S15 S10构成等差数列 学 生得出结论之后 教师反问 当公比q 1时 所得 出的结论还成立吗 此时学生会发现当q 1时 S5 S15 S10不构成等差数列 因此 上述结论是片面 的 是错误的 对于学生易错的知识点 教师要做到 心中有数 要在梳理知识的时候将它们罗列出来 要 有意识地设计一些反例 让学生沿着他们的错误思 路去思考 让他们得出错误的结果 然后教师有针对 性地逐渐点拨 让他们一步一步地意识到产生错误 03数学通报 2005年 第44卷 第4期 的原因 从而纠正错误的解法 这种以错纠错 让学 生从错误中醒悟的作法会收到很好的效果 在梳理知识的过程中 为了使知识系统化 要尽 可能地将相关的知识用表格或框图的形式展现出 来 这样既清晰 又有条理性 既简捷 又有系统性 对于一个小节的内容可在表格中作较详细的梳理 对于一章的内容可在框图中作简略的梳理 例如 统 计这一章 对于抽样方法这一小节 可用表格的形式 作如下较为详细的梳理 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随 机抽样 系统抽样 分层抽样 抽样过 程中的 每个个 体被抽 取的概 率相等 从总体中逐个抽取 总体的个体 数较少 将总体平均分成几 个部分 按确定的规 则在各个部分中抽 取 在起始部分抽样 时 采用简单随 机抽样 总体中的个 体数较多 将总体分成几层 按 比例进行抽取 分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样 总体由差异 明显的几个 部分组成 对于统计这一章的总体内容可用如下框图的 形式作简略的概括性的梳理 知识结构 表格与框图的作用在于它清楚明了 一目了然 具有概括性和系统性 便于学生记忆 有利于知识的 系统化 能够起到提纲挈领 纲举目张的作用 新课程标准的考试说明中指出 高考命题的方 向是 由知识立意向能力立意转化 遵循教材 不拘 泥于教材 因此 在梳理知识的过程中 可以适当地 将教材中的相关知识点进行延伸与拓展 从而开阔 学生的视野 发展他们的思维能力 例如 在复习向 量加法的平行四边形法则时 可将平行四边形法则 转化为三角形法则 进一步拓展为向量加法的多边 形法则 如图所示 又例如 在复习组合数的性质2 Cmn Cm 1 n Cmn 1 时 可将这个性质延伸为 Cm m C m m 1 C m n C m 1 n 1 n m 再例如 在复习等比数列的求和公式Sn a1 1 qn 1 q q 1 时 可引导学生先回顾求和公式的推导方法 然 后提出问题 设数列 an 是等差数列 公差为d bn 是等比数列 公比为q 你能求出数列 anbn 的 前n项和吗 学生在探索这个问题的求解方法时 就 很自然地将等比数列求和公式的推导方法进行了 拓展 这样 就提高了学生的思维能力和解题能力 能力的提高依赖于基础知识 基础知识的延伸和拓 展有利于学生思维能力的培养 因此 在梳理知识的 同时 将某些可以延伸的知识适当延伸 可以拓展的 方法适当拓展 这样更有利于知识的系统化 更有利 于学生思维能力的发展 尤其是优等生 策略二 方法大众化 在知识的复习过程中 要注意归纳方法 要让学 生掌握大众化的解题方法 数学知识丰富多彩 数学 方法更是千变万化 学习数学知识的目的全在于运 用 数学知识的运用体现在数学方法上 一个学生数 学水平的高低很大程度上体现在他所掌握的数学 方法的多与少 如果一个学生掌握了较多的数学方 法 并且能够将这些方法灵活运用 那么 这样的学 生在各种场合的考试中是能够取得好成绩的 如何 才能使学生掌握较多的数学方法呢 有人认为 多做 题 搞题海战术 就可以提高学生的解题能力 使学 生掌握较多的数学方法 这种观点有一定道理 它从 某种角度体现了练才是硬道理这样一种观点 但是 学生一天的时间是一个定值 各个学科都有那么多 的作业 哪有时间让你来搞题海战术 因此 只有提 高我们的课堂教学质量 让学生在课堂上这个有限 的时间内 真正掌握一些好的数学方法 对一般的学 生来说 什么样的方法才算是好方法呢 笔者认为 学生最容易想 最容易掌握的方法才算好方法 对于 那种思维方法特别巧妙 思维层次极高 不容易想象 的方法不能算作好方法 因为对于一般的学生来说 他们的思维水平达不到相应的高度 你将巧妙的方 法给他们讲解之后 他们很难理解 更不易掌握 例 如 刚进入高三时的一次月考试题中 有这样一道题 目 试比较 2003 2003与 2004 2004的大小关系 我在评讲 这道题目的时候 其讲法是按照命题人给出的标准 132005年 第44卷 第4期数学通报 答案评讲的 其解法是 考察函数 f x lnx x 的单调性 f x 1 lnx x2 当x 3时 f x ln2004 2004 即ln2003 1 2003 ln2004 1 2004 2003 1 2003 2004 1 2004 2003 2003 2004 2004 四个月之后的月考试题 中又出现了完全类似的题目 设n N 3 当n 3 时 试证 n n n 1 n 1 阅卷时我发现 一个班50 人 只有7人做对 这7人中只有3人是按照构造函 数f x lnx x 的方法证明的 另外4人是利用数学 归纳法证明的 当时我感到很惊讶 为什么评讲了的 试题仍然有绝大多数人做不对 事后我了解了一些 学生 他们告诉我 四个月前你评讲的方法我们早就 忘记了 在考试的时候我们根本想不到构造函数 f x lnx x 来证明这个问题 于是 我认真分析了这 道题目 找到了另外两种证明方法 证法1 利 用 二 项 式 定 理 证 明 n n n 1 n 1 nn 1 n 1 n n nn n 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 C1n 1 n C2n 1 n2 Cnn 1 nn 1 1 n n 1 2 1 n2 n n 1 n 2 3 1 n3 1 n 1 1 1 2 1 3 1 n 1 1 1 2 1 22 1 2 n 1 1 1 1 2 n 1 1 2 1 2 1 1 2 n 1 1 n n 1 当n 3时 不等式显然成立 2 假设当n k k 3 时不等式成立 即k 1 1 k k 成立 当n k 1时 k 1 1 k 1 1 k k 1 即k 1 1 1 k k 1 显然 1 1 k k 1 1 1 k 1 k 1 由此得 k 1 1 1 k 1 k 1 这 表明当n k 1时不等式也成立 由 1 2 可知 所证不等式成立 在第二次评讲时 我选择了用数学 归纳法来证明这个问题 学生普遍都能掌握 因为这 道题目是一个与自然数n有关的数学问题 很容易 想到用数学归纳法去证明它 所以 思路正常 学生 容易理解 易于接受 由这个例子可见 习题课的评 讲要注意方法的选择 要注重通解通法的介绍 所谓 通法 就是最容易想到 最容易掌握的大众化方法 这种方法介绍给学生 符合学生的认知规律 很容易 被他们所接受 能够收到立竿见影的教学效果 策略三 题型模型化 在进行一个单元 一个章节的知识梳理时 要注 意对典型方法 典型题型的归纳与梳理 要让学生知 道在这一章内容中有哪些典型的方法 有哪些典型 的题型 这些典型的方法该如何运用 这些典型的题 型又该用怎样的方法去求解 例如 数列这一章 最 典型的方法就是错位相消法 它广泛应用于求数列 的通项和数列的求和 为了让学生掌握好这种典型 的方法 可举一些简单的实例让学生练习 实例1 设等差数列 an 的公差为d 求通项 an 由等差数列的定义可知 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d an an 1 d an a1 n 1 d 将这n 1个等式相加 错位相消之后即可得通 项an a1 n 1 d 实例2 设等比数列 an 的公比为q 求通项 an 由等比数列的定义可知 a2 a1 q a3 a2 q a4 a3 q an an 1 q 将这n 1个等式相乘 a2 a1 a 3 a2 a 4 a3 an an 1 qn 1 错位相消即可得通项an a1qn 1 实例3 求 和 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 n n 1 首先将通项 1 k k 1 裂项 变为两项之 差的形式 1 k k 1 1 k 1 k 1 依次令k 1 2 3 n 错位相消得 1 1 2 1 3 4 1 n n 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n n 1 23数学通报 2005年 第44卷 第4期 这几个实例看起来很简单 但它已经体现了错 位相消法的基本特征 学生通过这几个例子可以领 悟到错位相消法的一些运用技巧 掌握这种典型的 解题方法 在数列这一章 最典型的一类题型就是 根据递推式an pan 1 q 求数列的通项an 这个 模型有着广泛的应用 有不少的数学问题都可以转 化为这个模型进行研究 因此 我们有必要将这类问 题模型化 一旦把实际问题转化为这个模型之后 我 们就可以按照这个模型的求解方法求得问题的解 对于这个模型的求解方法很多 最容易掌握的方法 是待定系数法 即设常数 满足an p an 1 将它展开整理 然后与an pan 1 q进行比较 就可确定常数 q 1 p 令an bn 则bn pbn 1 于是 所给的问题就转化为等比数列求解了 学生掌握了这个方法之后 一旦看到这种模型的数 学问题 他们就会按照这种固定的操作模式去求解 所给的问题 又例如 函数这一章 周期函数是一个 较难的问题 其难点在于 给出一个抽象的周期函数 之后 我们很难判断它是一个周期函数 例如 已知定义在R上的函数 f x 满足条件 f x 2 1 f x f 1 2004 求 f 2005 这个问 题既是一个简单的问题 又是一个较难的问题 如果 能够观察出它是一个以4为周期的周期函数 那么 这个问题十分简单 f 2005 f 1 2004 但是 如果不能够观察出它是一个周期函数 那么这个问 题就是一个较难的问题了 事实上 很容易证明这个 函数是周期函数 f x 4 f x 2 2 1 f x 2 1 1 f x f x 一般地 若f x a 1 f x x R a 0 则 f x 是以2a为周 期的周期函数 在梳理知识点的时候 如果我们把这 样的模型介绍给学生 让它们记住这种周期函数的 模型 那么 碰上这样的问题 他们就会很轻松地获 得这个问题的解决 因此 在复习知识与方法的过程 中 很有必要将一些典型的数学问题模型化 这样 可以大大地提高学生解决问题的能力 将典型问题模型化这一观点有人不赞成这样 的提法 他们认为这样做僵固了学生的思维 阻碍了 学生能力的发展 在他们看来 每一个问题都只能让 学生从题设条件去分析 去转化 去求得问题的解 决 这样才能训练学生的思维 考察学生的能力 如 果时时处处都按照这种观点去操作 那么 我们的三 垂线定理 三角公式 数列的求和公式等都可以统统 取消 因为它们都是一些固定的模型化的结论 运用 它们来解决数学问题也阻碍了学生思维能力的发 展 如果是这样 我们的数学能发展到今天吗 我们 的社会能发展到今天吗 数学正是在不断总结规律 不断将典型的问题模型化的基础上发展起来的 因 此 将典型问题模型化符合于人们的认识规律 能够 有效地提高学生解决数学问题的能力 有效地提高 教学质量 策略四 答题规范化 解答数学问题是有严格的格式化要求的 哪些 题型该用什么格式答题 教材上是有明确规定的 高 考命题给出的标准答案是按照教材上的规定解答 的 不符合要求的要扣分 例如 应用问题 解出结果 之后要标明单位 要写出结论性的答案 要有一个专 门的作答过程 又例如 利用数学归纳法证明数学问 题 学生往往只完成n n0和n k到n k 1的 证明之后就结束了 按照教材上的格式规定 完成了 这两步之后 要有一个结论性的表述 由 1 2 可 知 命题对从n0开始的所有自然数都成立 没有这 一步是要扣分的 再例如 求解不等式 一般的学生 会解 但常常不能得满分 原因是他们只求出了不等 式中x的取值范围 没有将这个范围写成集合的形 式 因为教材上的要求是 凡是解不等式问题 其结 果一定要写成解集的形式 没有写成解集的形式就 不符合教材的要求 也是要扣分的 再例如 求函数 y f x 的定义域和值域 不少的学生只求出 x的 取值范围和y的取值范围就结束了 没有将x的取 值范围和y的取值范围写成集合的形式 这也是不 符合教材要求的 教材上明确规定 函数y f x 的定义域是自变量x取值的全体构成的集合 函数 y f x 的值域是函数值y的全体构成的集合 再 例如 求函数y f x 的单调区间问题 不少的学 生由于不注意解题规范化的要求 而导致失分现象 比如 求函数f x 1 x 1 的单调区间 对于这样的 简单题目不会求的学生很少 求出来写错了的学生 也不少 他们把单调区间写成是 1 1 这显然是一个错误的答案 如果是选择题或填 空题 该得0分 对于上述这些简单事实 如果我们 平时不引起重视 不及时纠正学生答题中的这些不 332005年 第44卷 第4期数学通报 规范的现象 那么 在高考时就可能丢掉一些不该丢 失的分数 造成不该发生的遗憾 因此 在平时的解 题训练中 我们应该对学生提出格式化的要求 严格 按照教材上所规定的格式答题 做到正确运算 规范 答题 教师处处作示范 策略五 思维策略化 不少的学生对教材上的知识点是清楚的 熟悉 的 但是在运用这些熟悉的知识来解决不熟悉的数 学问题时 往往显得无能为力 特别是在一个崭新的 数学环境中 更是显得不可捉摸 无从下手 原因在 哪里呢 通过了解发现 这些学生往往在思维方式上 存在问题 他们无论遇上什么类型的题目