保险精算4.ppt

变额年金 变额年金 年金收付款的时期间隔固定 而收付额变动的年金称为变额年金 变额年金现值的一般计算假设有一年金规定 在第一年末支付100元 第二年末支付200元 第三年末支付300元 利率为6 求该年金现值 n年定期递增年金 第一年收付1单位元 以后每隔一年收付款增加1单位元 收付期为n年的年金的现值 123n0123n 期末收付时 现值 期初收付时 现值 n年定期递增年金的终值 例 某年金在第一年初收付1000元 以后每隔一年均比前一年增加收付1000元 年利率为6 求收付10年的年金现值与终值 n年定期递减年金现值 第一年收付1单位元 以后每隔一年收付款额减少1单位元 收付期为n年的年金现值 n n 1 n 2 1 0 1 2 n n 1 期末收付时 现值 年初收付 则有 课堂练习14 某年金第一年初收付500元以后每隔一年均比前一年增加收付100元 增加到一次收付1000元时不再增加 并一直保持每年1000元的水平连续收付 假设年利率5 给出这一年金的现值计算表达式 课堂练习15 李某今年30岁 他计划每年初存300元 共存30年建立个人养老基金 这笔存款能使他从60岁退休开始每年末得到固定金额的养老金 共能领取20年 假设存款利率在前10年为6 10年后为12 求每年能取得的养老金额 容易出现的几个主要问题 利息理论部分 等价关系式的把握上 其中m p表示每年计息的次数 一般为整数 有时是分数 生命函数与生命表 生命函数 本节问题的提出 在寿险中计算保费主要是对未来可能给付的一个预测 估算未来给付在现在的值也就是现在保险人应收取的纯保费 要准确预测 精算上一般通过引入随机变量 再运用概率论知识 求随机变量的均值 生命函数 主要内容随机变量X 分布函数F x 生存函数s x 随机变量T x T x 的分布函数 生存函数随机变量K x K x 的分布 生命函数 一 随机变量X1 X 表示新生婴儿的未来寿命 2 F x 随机变量X的分布函数 F x P X x 表示一个新生婴儿不能活过x的概率 F 0 0F 1 表示人的极限年龄 当前人类存活的最高年龄 f x 随机变量X的概率密度函数f x F x E X 表示新生婴儿的平均寿命 3 s x 表示一个新生婴儿活过x岁的概率 s x P X x 1 P X x 1 F x 我们把s x 称为生存函数 x 时 s x 0 x 时 s x 0 s 0 1 s 0 s x 1 x s x 的参数模型 1 deMoivre模型 1729 由精算师德莫弗提出 在这种死亡规律下 一个人的死亡年龄X在 0 上是均匀分布的 2 Gompertz模型 1825 龚珀茨在一篇精算论文中提出3 Makeham模型 1860 4 Weibull模型 1939 参数模型的缺点 1 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型 这四个常用模型的拟合效果不令人满意 2 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差 3 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布 4 在非寿险领域 常用参数模型拟合物体寿命的分布 条件概率 4 新生婴儿在x岁时仍生存的条件下 在y岁与z岁之间死亡的概率 其中 x y z 例 假设新生婴儿的未来寿命X的分布函数为F x x 100 试求 1 f x s x 2 新生婴儿在50岁以前死亡的概率 3 新生婴儿寿命的期望值 4 年龄为30岁的人在40岁之前的死亡概率 5 年龄为20岁的人 在30岁和40岁之间死亡的概率 二 随机变量T x 问题引入 购买保险的被保险人往往是已经活到某个年龄的人 保险人更关心的是现年x岁的人还可以生存的年数 剩余寿命 以及剩余寿命的分布情况 1 剩余寿命T x 表示新生婴儿在x岁时的未来寿命 x 表示年龄为x岁的人 T x X x X x 当x 0时 T 0 表示一个0岁的婴儿的未来寿命 eg 25 未来还可活年 2 表示 x 在t年内死亡的概率 T的分布函数 P T x t P xx tqx x岁的人在x t岁以前死亡的概率 3 T的概率密度函数 4 的生存函数 x 在x t岁仍生存的概率 tpx P T x t 1 P T x t 5 xp0 表示0岁新生婴儿活过x岁的概率 xp0 s x T 0 X 0岁新生儿的未来寿命就是刚出生婴儿的死亡年龄 P T 0 x P X x 6 当t 1时 可简写成7 t uqx表示 x 生存t年后 在 x t 岁与 x t u 岁之间死亡的概率 当u 1时 简写成t qx tpx tqx px qx qx表示x岁的人在未来1年内死亡的概率 px表示x岁的人在1年后仍活着的概率 例 假设 x 1 x 980 x 980 x 98求1 30岁的人在10年内死亡的概率2 30岁的人活过40岁的概率3 20岁的人在1年内死亡的概率4 20岁的人再活过1年的概率5 50岁的人在活过60岁后 在60岁到70岁之间死亡的概率 三 随机变量K x 取整余命K x x 未来能够活过的整年数 K x T x k 0 1 2 3 当k T x k 1时 K x kT x 35 4 则K x T x 34 9 则K x K x 的分布 25 投保了保险期限为35年的死亡保险 被保险人在56 8岁死亡 则 T 25 K 25 假设生存函数 x 1 x 90090 1 求F x f x F 30 30 f 30 P 3030 P 3020 并分别说明它们的具体精算含义 2 求并分别说明它们的具体精算含义 比较 1 和 2 中和P 3030 和P 3020 的结果是否一致 为什么 10q30 10p30 30q0 q30 p40 10 10q20 10q30 10 10q20 3 说明P K 20 30 的具体含义 并求其概率 4 一个人在90 7岁时死亡求此时随机变量X T 30 K 20 的取值 生命表 本节主要内容 生命表简介生命表函数年龄内的寿命分布生命表的类型死亡力度 一 生命表简介 1 生命表含义 根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表 又称为死亡表或寿命表 生命表编制的最初思想 观察同时出生的一批人记录他们每年末存活的人数及一年内死亡的人数一直观察到他们全部死亡 2 生命表的发展历史1662年 JoneGraunt 根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单 写过 生命表的自然和政治观察 这是生命表的最早起源 1693年 EdmundHalley 根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计 在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布 人们因而把Halley称为生命表的创始人 中国人寿保险业经验生命表 1990 1993 中国第一张寿险业生命表中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男表CL1 1990 1993 简记为CL93M 中国人寿保险业经验生命表非养老金业务女表CL2 1990 1993 简记为CL93F 中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男女表CL3 1990 1993 简记为CL93U 中国人寿保险业经验生命表养老金业务男表CL4 1990 1993 简记为CL93AM 中国人寿保险业经验生命表养老金业务女表CL5 1990 1993 简记为CL93AF 中国人寿保险业经验生命表养老金业务男女表CL6 1990 1993 简记为CL93A 中国人寿保险业经验生命表示例 中国人寿保险业经验生命表 2000 2003 中国第二张寿险业生命表 非养老金业务表两张 养老金业务表两张 分别是 1 非养老金业务男表 简称CL1 2000 2003 2 非养老金业务女表 简称CL2 2000 2003 3 养老金业务男表 简称CL3 2000 2003 4 养老金业务女表 简称CL4 2000 2003 二 生命表函数 附录P262 1 x 表示年龄 在生命表中取值整数 0到 1 2 lx 从初始年龄至满x岁尚生存的人数 l0 生命表基数 表示同时出生的一批人数 一般人为取定 一般取l0 100000l 0 3 dx 表示x岁的人在一年内的死亡人数 x x 1岁 dx lx lx 1lx dx lx 1l0 d0 d1 d 1eg d10 4 ndx 表示x岁到x n岁之间的死亡人数 5 死亡率表示x岁的人在一年内死亡的概率 计算各年龄的存活人数和死亡人数 根据附表计算30岁的人发生以下事件的概率 1 活过80岁 2 在5年内死亡 3 在60岁那年死亡 P433 2 5 3 2 6 6 Lx 表示x岁的人在一年内平均生存的人年数 人年是表示人群存活时间的复合单位 一人年表示一个人存活了一年 假定x岁的存活人数1000 在x到x 1岁死亡50人 在死亡的这50人中有10个活了1 2年 10个活了1 5年 30个活了2 3年 则Lx 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布 7 累计生存人年数Tx 表示x岁的存活人数在未来生存的总人年数 8 x岁人群平均余命 x岁的人尚可再生存的平均年数 表示出生时平均寿命 简称平均寿命 出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数 1 试以下表为基础构造生命表xqx00 01110 00520 003 P4534 三 各年龄内的寿命分布 1 使用背景你能用生命表求出1 2q30吗 生命表提供了整数年龄上的寿命分布 但有时我们需要所有年龄上的寿命分布 即要在已知生存函数在整数年龄x岁的值的基础上 考虑生存函数在非整数年龄x t岁的值s x t 0 t 1 2 基本原理 插值法3 常用假设 1 线性插值 死亡均匀分布假设 UniformDistributionofdeaths s x t 1 t s x t s x 1 0 t 1 因此根据上面的假设有 2 几何插值 死亡力恒定假设 Constantforceofmortality 0 t 1 3 调和插值 Balducci假定 四 生命表的类型 一 国民生命表与经验生命表1 国民生命表根据全体国民或者在一特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表 2 经验生命表根据人寿保险 社会保险所积累的以往死亡记录等资料编制的生命表 二 选择 终极生命表 select ultimatetable x q x q x 1q x 2qx 3x 3200 001320 001560 001770 0019123210 001350 001610 001820 0019624220 001370 001640 001860 0020025 x l x l x 1l x 2lx 3x 3209463949451459436719420012321944710943435941916940202242294294494165294010893835925 二 选择 终极生命表 select ultimatetable 由选择期内的死亡率构成的生命表称为选择表 选择期之后 死亡率只与到达年龄有关 选择效果消失之后的死亡率构成的生命表称为终极表 构造选择 终极生命表的原因 1 需要构造选择生命表的原因 刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员 2 需要构造终极生命表的原因 选择效力会随时间而逐渐消失 即经过一段时间 不论曾经在哪一个年龄选择 活到相同岁数的生存者 其死亡概率将基本相同 例如 现年40岁的被保险人在某一健康标准下经过体检而参加保险 其死亡率比从39岁参加保险而目前是40岁的死亡率低 又比从38岁参加保险而目前是40岁的死亡率低 以q x n表示从x岁开始投保 在x n岁时的死亡率 中的x为选择年龄 经验表明 二者的差别随着j的增大而逐渐缩小 实务中 通常确定一个年限r x q x q x 1q x 2qx 3x 3200 001320 001560 001770 0019123210 001350 001610 001820 0019624220 001370 001640 001860 0020025 x l x l x 1l x 2lx 3x 3209463949451459436719420012321944710943435941916940202242294294494165294010893835925 选择 终极表例表 上表给出了一个假定选择时期r 3时的选择 终极表的一部分 l x 表示x岁开始投保的人数 l x 1表示从x岁开始投保的l x 人在x 1岁时的存活人数 d x l x l x 1q x d x l x 根据本节的部分选择终极表 求 1 20岁购买人寿保险的被保险人 在21岁到22岁之间死亡的概率 2 2年前购买人寿保险 现年22岁的被保险人活到23岁的概率 五 死力 forceofmortality 1 死力 x 表示活到x岁的人在次一瞬间的死亡率或死亡密度 通过死力来表示寿命分布 通过死力来表示T的密度函数 P36 3 1 15式 2 xs x F x f x 之间的关系表 例题 已知 s x 1 x 0 x 求 x已知 x 1 1 x x 0求 s x F x f x 综合练习 1 设s x 1 x 110 0 x 110求 1 2 3 4 2 设lx 200 100 x 0 x 100求 1 2 3 已知 10p18 0 95 30p18 0 75 求20q28 参考答案 4 19 参考答案 1 100 x 参考答案 1 100 x 2 3 4 已知 t qx 0 1