材料力学第七章 组合变形.ppt

第7章组合变形 7 1概述 一 组合变形 构件在外载作用下 常常同时产生两种或两种以上的基本变形 当几种基本变形所对应的应力或变形属同一量级时 在杆件设计计算时均需要同时考虑 这类构件的变形称为组合变形 实例 二 组合变形下强度计算的方法 1 计算步骤 1 外力分析 将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的静力等效力系 2 内力分析 作出各基本变形的内力图 确定其危险截面位置及其内力分量 3 应力分析 根据基本变形下横截面上的应力变化规律 确定危险点的位置及其应力分量 并按叠加原理作出危险点的应力状态 4 强度分析 按危险点的应力状态及材料的破坏可能性 选取适当的强度理论建立强度条件 进行强度计算 叠加原理 杆件在几个载荷同时作用下所产生的效果 就等于每个载荷单独作用下所产生的效果的总和 2 计算原理及限制条件 1 圣维南原理 以静力等效力系替代构件原有的载荷 因此 要求构件为细长杆 且所求应力的截面稍离外力作用点处 2 叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加 要求构件材料符合胡克定律 且变形很小 三 组合变形下的变形计算 1 外力分析 将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的静力等效力系 2 变形 位移 计算 按各基本变形计算相应的变形 截面位移 对于不同变形性质的位移相互独立 对于同一变形性质的位移进行叠加 注 平面弯曲时 剪力引起的最大剪应力值一般远小于正应力值 也远小于扭矩引起的最大剪应力值 在组合变形的应力计算中 由剪力引起的剪应力一般都忽略不计 7 2斜弯曲 一 斜弯曲 横向力通过梁横截面的弯心 不与形心主惯性轴重合或平行 而是斜交 梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行 例 下列图中给出几种常见截面 其中图 b c d f 是斜弯曲 图 a 是平面弯曲 图 e 是斜弯曲与扭转的组合变形 二 斜弯曲的研究方法 现以下图所示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算 五 强度条件 危险点 K1或K2 处于二向应力状态 其主应力为 第三或第四强度理论 强度条件为 将s和t代入上式 并注意到圆截面的Wt 2W 可得到用危险截面上的弯矩和扭矩表示的强度条件 例 图示空心圆杆 内径d 24mm 外径D 30mm P1 600N r1 200mm r2 300mm 100MPa 试用第三强度理论校核此杆的强度 80 P2 P1 外力分析 弯扭组合变形 解 外力向形心简化并分解 每个外力分量对应的内力方程和内力图 P2 406N 解续 内力分析 危险面内力为 应力分析 安全 7 05 7 4拉伸 压缩 与弯曲 当构件同时承受轴向力与横向力时 将同时产生轴向拉压和平面弯曲两种基本变形 现以图 a 示矩形截面杆为例分析拉弯 压弯组合变形的强度计算 二 内力分析 一 外力分析 三 应力分析 三 正应力分布图 固定端右邻截面上的正应力分布如图所示 拉伸 压缩 与弯曲 因为危险点处于单向应力状态 故其强度条件为 例 斜梁 对于工程中常见的斜梁如图 a 亦可按上述方法分析 图 a 可看作图 b 和图 c 的组合 显然AC段的变形为压弯组合变形 BC段的变形为拉弯组合变形 例题 图 a 示某多层建筑的底层柱 截面为b3h 4003500mm2的矩形 柱高H 4200mm 试计算柱横截面上的最大压应力 最大剪应力和最大拉应力 解 1 内力计算 画出柱的轴力图 弯矩图和剪力图如图 b c d 示 出现在任一横截面的中性轴上 4 最大剪应力 在B截面左边缘处 3 最大拉应力 2 最大压应力 在B截面右边缘处 解续 7 5偏心拉伸 压缩 截面核心 当外力作用线与杆的轴线平行 但不重合时 杆件的变形称为偏心拉压 双向偏心压缩 单向偏压缩 一 概念 二 应力分析 P MZ My 在偏心拉压情况下 各横截面上的内力分量相同 应力情况也相同 故任一点K y z 处的应力为 或 三 强度计算 从右图可以看出 任一横截面上的角点A和C即为危险点 A和C点的正应力分别是截面上的最大拉应力和最大压应力 因危险点A C均处于单向应力状态 故强度条件为 例 校核下图所示矩形截面松木短柱的强度 已知P1 50kN e ez 20mm P2 5kN 材料许用应力 解 固定端上邻截面为危险截面 其内力大小为 由直接观察可知 点A点处有最大压应力 C点处有最大拉应力 又因所以应对这两个危险点的强度分别进行校核 在A点处 在C点处 所以松木短柱的强度足够 例 P P 图示钢板受力P 100kN 厚度t 10mm 试求最大正应力 若将缺口移至板宽的中央 且使最大正应力保持不变 则挖空宽度为多少 解 内力分析如图 坐标如图 挖孔处的形心 20 100 20 应力分析如图 孔移至板中间时 四 中性轴位置 由式 0可得中性轴方程 即 可见 偏心拉压时 横截面上中性轴为一条不通过截面形心的直线 用截距表示的中性轴方程为 设和分别为中性轴在坐标轴上的截距 则由上式可得 四 中性轴位置 上式表明 ay与yP az与zP总是符号相反 所以中性轴n n与偏心外力作用点的投影点分别位于截面形心的相对两侧 在周边上作平行于中性轴的切线 切点A1和A2是截面上两侧距中性轴最远的两点 故为危险点 将该两点的坐标代入式 即可求得横截面上数值最大的拉 压应力 五 截面核心 在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域 工程上常用的砖石 混凝土 铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗拉能力差 对于这些材料制成的偏心受压杆 应避免截面上出现拉应力 为此 要对偏心距 即偏心力作用点到截面形心的距离 的大小加以限制 1 截面核心 使横截面上只产生同号应力 均为拉应力或均为压应力时 的偏心轴向外力作用的区域 当偏心外力作用在截面形心周围一个小区域内 而对应的中性轴与截面周边相切或位于截面之外时 整个横截面上就只有压应力而无拉应力 2 截面核心的性质及其确定 1 性质 是截面的一种几何特征 它只与截面的形状 尺寸有关 而与外力无关 2 确定 根据中性轴方程知 截面上中性轴上的点的坐标 y0 z0 与偏心压力作用点的坐标 yP zP 间有固定的对应关系 利用这个关系得 所有与截面相切的中性轴 其相应的偏心压力作用点必然在围绕截面形心的一条闭合曲线上 该闭合曲线就是截面的核心边界 其包围区域就是截面核心 3 规律 例 求右图示矩形截面的截面核心 解 取截面切线l1作为中性轴 其截距 并注意到 故 此即相应的压力作用点1的坐标 同理可得与中性轴l2 l3 l4对应的偏心力作用点2 3 4的位置 但是通过角点a而与截面相切的中性轴有无穷多个 由此法计算不简便 解续 截面上中性轴上的点的坐标 y0 z0 与偏心压力作用点的坐标 yP zP 间有固定的对应关系 角点a的坐标为 y0 z0 h 2 b 2 代入中性轴方程 得 解