考研概率论模拟试题.pdf

模拟试题一 一 填空题 每空 3 分 共 45 分 1 已知 P A 0 92 P B 0 93 P B A 0 85 则 P A B P A B 2 设事件 A 与 B 独立 A 与 B 都不发生的概率为 1 9 A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的概率相等 则 A 发生的概率为 3 一间宿舍内住有 6 个同学 求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率 没有任何人的生日在同一个月份的概率 4 已知随机变量 X 的密度函数为 0 1 4 02 0 2 x Aex xx x 则常数 A 分布函数F x 概率 0 51 PX 5 设随机变量 X B 2 p Y B 1 p 若 1 5 9P X 则 p 若 X 与 Y 独立 则 Z max X Y 的分布律 6 设 200 0 01 4 XBYP且 X 与 Y 相互独立 则 D 2X 3Y COV 2X 3Y X 7 设 125 XXX是总体 0 1 XN的简单随机样本 则当k 时 12 222 345 3 k XX Yt XXX 8 设总体 0 0XU 为未知参数 12 n XXX为其样本 1 1 n i i XX n 为 样本均值 则 的矩估计量为 9 设样本 129 XXX来自正态总体 1 44 N a 计算得样本观察值10 x 求参 数 a 的置信度为 95 的置信区间 二 计算题 35 分 1 12 分 设连续型随机变量 X 的密度函数为 1 02 2 0 xx x 其它 求 1 21 2 PX 2 2 YX 的密度函数 Y y 3 21 EX 2 12 分 设随机变量 X Y 的密度函数为 1 4 02 0 yxx x y 其他 1 求边缘密度函数 XY xy 2 问 X 与 Y 是否独立 是否相关 3 计算 Z X Y 的密度函数 Z z 3 11 分 设总体 X 的概率密度函数为 1 0 0 00 x ex x x X1 X2 Xn是取自总体 X 的简单随机样本 1 求参数 的极大似然估计量 2 验证估计量 是否是参数 的无偏估计量 三 应用题 20 分 1 10 分 设某人从外地赶来参加紧急会议 他乘火车 轮船 汽车或飞机来的概率分别 是 3 10 1 5 1 10 和 2 5 如果他乘飞机来 不会迟到 而乘火车 轮船或汽车来 迟到的 概率分别是 1 4 1 3 1 2 现此人迟到 试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大 2 10 分 环境保护条例 在排放的工业废水中 某有害物质不得超过 0 5 假定有害物 质含量 X 服从正态分布 现在取 5 份水样 测定该有害物质含量 得如下数据 0 530 0 542 0 510 0 495 0 515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定 0 05 附表 0 9750 950 9750 950 9750 95 1 961 65 42 776 42 132 2 571 42 015 5 ttttuu 答答 案 模拟试题一 案 模拟试题一 四 填空题 每空 3 分 共 45 分 1 0 8286 0 988 2 2 3 3 142 126 6 11 12 C C 6 12 6 6 12 C 4 1 2 F x 1 0 2 1 02 24 1 2 x ex x x x 0 51 PX 0 5 31 42 e 5 p 1 3 Z max X Y 的分布律 Z 0 1 2 P 8 27 16 27 3 27 6 D 2X 3Y 43 92 COV 2X 3Y X 3 96 7 当k 3 2 时 12 222 345 3 k XX Yt XXX 8 的矩估计量为 2X 9 9 216 10 784 五 计算题 35 分 1 解 1 9 21 2 0 51 5 16 PXPX 2 1 0 2 0 0 1 04 4 0 XX Y yyy yy y y 其它 3 45 21 2121 33 EXEX 2 解 1 1 02 02 42 0 0 x Xx x dyxx xx y dy 其它 其它 2 1 1 2 2 2 4 4 0 0 yY dxy yy yx y dx 其它 其它 2 显然 XY x yxy 所以 X 与 Y 不独立 又因为 EY 0 EXY 0 所以 COV X Y 0 因此 X 与 Y 不相关 3 2 2 1 1 04 04 4 28 0 0 Z z zx zx dx z dxzz 其它 其它 3 解 1 1 12 1 11 n i ii x x n n n i L x xxee 12 ln ln n nx L x xxn 令 2 ln 0 dLnnx d 解出 X 2 EEXEX 是的无偏估计量 六 应用题 20 分 1 10 分 设某人从外地赶来参加紧急会议 他乘火车 轮船 汽车或飞机来的概率分别 是 3 10 1 5 1 10 和 2 5 如果他乘飞机来 不会迟到 而乘火车 轮船或汽车来 迟到的 概率分别是 1 4 1 3 1 2 现此人迟到 试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大 解解 设事件 A1 A2 A3 A4 分别表示交通工具 火车 轮船 汽车和飞机 其概率分别 等于 3 10 1 5 1 10 和 2 5 事件 B 表示 迟到 已知概率 1 2 3 4 i P B Ai 分别等于 1 4 1 3 1 2 0 则 4 1 ii i P BP A P B A 23 120 11 1 9 23 P A P B A P A B P B 22 2 8 23 P A P B A P AB P B 33 3 6 23 P A P B A P AB P B 44 4 0 P A P B A P AB P B 由概率判断他乘火车的可能性最大 2 10 分 环境保护条例 在排放的工业废水中 某有害物质不得超过 0 5 假定有害物 质含量 X 服从正态分布 2 N a 现在取 5 份水样 测定该有害物质含量 得如下数据 0 530 0 542 0 510 0 495 0 515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定 0 05 解 0 0 5Ha 1 0 5Ha 拒绝域为 00 95 0 5 5 4 x t s 计算0 5184 0 018xs 0 95 0 5 52 2857 4 x tt s 所以 拒绝 0 H 说明有害物质含量超过了规定 附表 0 9750 950 9750 950 9750 95 1 961 65 42 776 42 132 2 571 42 015 5 ttttuu 模拟试题二模拟试题二 一 填空题 45 分 每空 3 分 1 设 0 5 0 6 0 1 P AP B AP AB 则 P B P AB 2 设 A B C三事件相互独立 且 P AP BP C 若 37 64 P ABC 则 P A 3 设一批产品有 12 件 其中 2 件次品 10 件正品 现从这批产品中任取 3 件 若用X表 示取出的 3 件产品中的次品件数 则X的分布律为 4 设连续型随机变量X的分布函数为 arctan F xABxxR 则 A B X的密度函数 x 5 设随机变量 2 2 XU 则随机变量 1 1 2 YX 的密度函数 Y y 6 设 X Y的分布律分别为 X 1 0 1 Y 0 1 P 1 4 1 2 1 4 P 1 2 1 2 且 0 0P XY 则 X Y的联合分布律为 和 1 P XY 7 设 0 25 0 36 0 4 X YN 则cov X Y 1 31 2 DXY 8 设 1234 X XX X是总体 0 4 N的样本 则当a b 时 统 计量 22 1234 2 34 Xa XXbXX 服从自由度为 2 的 2 分布 9 设 12 n X XX是 总 体 2 N a 的 样 本 则 当 常 数k 时 22 1 n i i kXX 是参数 2 的无偏估计量 10 设由来自总体 2 0 9 XN a容量为 9 的样本 得样本均值x 5 则参数a的置信度 为 0 95 的置信区间为 二 计算题 27 分 1 15 分 设二维随机变量 X Y的联合密度函数为 1 02 02 8 0 xyxy x y 其它 1 求XY与的边缘密度函数 XY xy 2 判断XY与是否独立 为什么 3 求ZXY 的密度函数 Z z 2 12 分 设总体X的密度函数为 0 x ex x x 其中0 是未知参数 12 n X XX为总体X的样本 求 1 参数 的矩估计量 1 2 的极大似然估计量 2 三 应用题与证明题 28 分 1 12 分 已知甲 乙两箱中有同种产品 其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品 乙箱中仅有 3 件正品 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 1 求从乙箱中任取一件产品为次品的概率 2 已知从乙箱中取出的一件产品为次品 求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中 恰有 2 件次品的概率 2 8 分 设某一次考试考生的成绩服从正态分布 从中随机抽取了 36 位考生的成绩 算得 平均成绩66 5x 分 标准差15s 分 问在显著性水平0 05 下 是否可以认为这次 考试全体考生的平均成绩为 70 分 并给出检验过程 3 8 分 设0 1P A 证明 AB与相互独立 P B AP B A 附表 0 950 9750 950 95 1 65 1 96 35 1 6896 36 1 6883 uutt 0 9750 975 35 2 0301 36 2 0281 tt 答答 案 模拟试题二 案 模拟试题二 一 填空题 45 分 每空 3 分 1 0 4 0 4P BP AB 2 1 4 P A 3 X 0 1 2 P 6 11 9 22 1 22 4 1 1 2 A B 2 1 1 xxR x 5 1 0 2 2 0 0 2 Y y y y 6 Y X 0 1 1 0 1 1 4 0 0 1 2 1 4 0 3 1 4 P XY 7 1 cov 12 31 198 2 X YDXY 8 11 20100 ab 9 1 1 k n 10 4 412 5 588 二 计算题 27 分 1 1 11 1 0 2 1 0 2 44 0 0 2 0 0 2 XY xxyy xy xy 2 不独立 3 2 1 02 8 1 4 24 8 0 Z zz zzzz 其它 2 12 分 1 计算 1 x EXxedx 根据矩估计思想 1xEX 解出 1 1X 2 似然函数 1 1 0 0 i n x nx n i i i n exex L xx 其它 其它 显然 用取对数 求导 解方程的步骤无法得到 的极大似然估计 用分析的 方法 因为 1 x 所以 1 x ee 即 11 1 nn L xxL xxx 所以 当 2 1 1 min n XXX 时 使得似然函数达最大 极大似然估计为 2 三 应用题与证明题 28 分 1 12 分 已知甲 乙两箱中有同种产品 其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品 乙箱中仅有 3 件正品 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 1 求从乙箱中任取一件产品为次品的概率 2 已知从乙箱中取出的一件产品为次品 求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中 恰有 2 件次品的概率 解 1 设 i A表示 第一次从甲箱中任取 3 件 其中恰有 i 件次品 i 0 1 2 3 设B表示 第二次从乙箱任取一件为次品 的事件 321123111 333333312 3313131 1 6666666 1 0 4 n ii i CC CC CCCCC P BP A P B A CCCCCCC 2 2 2 0 6 P A B P AB P B 2 8 分 设某一次考试考生的成绩服从正态分布 从中随机抽取了 36 位考生的成绩 算 得平均成绩66 5x 分 标准差15s 分 问在显著性水平0 05 下 是否可以认为这 次考试全体考生的平均成绩为 70 分 并给出检验过程 解 0 70Ha 1 7 0Ha 拒绝域为 00 975 70 36 35 x t s 根据条件66 5x 15s 计算并比较 0 975 70 361 4 35 2 0301 x t s 所以 接受 0 H 可以认为平均成绩为 70 分 3 8 分 设0 1P A 证明 AB与相互独立 P B AP B A 证明 因为 P B AP B A P AB P AP AB P A 1 P ABP AP BP AB P A P ABP B P A AB与相互独立 模拟试题三 一 填空题 每题 3 分 共 42 分 1 设 0 3 0 8 P AP AB 若AB与互斥 则 P B AB与独立 则 P B 若AB 则 P AB 2 在电路中电压超过额定值的概率为 1 p 在电压超过额定值的情况下 仪器烧坏的概率 为 2 p 则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 3 设随机变量X的密度为 3 4 01 0 xx x 其它 则使 P XaP Xa 成立的 常数a 0 51 5 PX 4 如果 X Y的联合分布律为 Y 1 2 3 X 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 则 应 满足 的条件 是 01 01 1 3 若XY与独立 31 E XY 5 设 XB n p 且2 4 1 44 EXDX 则n p 6 设 2 XN a 则 3 2 X Y 服从的分布为 7 测量铝的比重 16 次 得2 705 0 029xs 设测量结果服从正态分布 2 N a 参数 2 a 未知 则铝的比重a的置信度为 95 的置信区间为 二 12 分 设连续型随机变量 X 的密度为 0 0 0 x cex x x 1 求常数c 2 求分布函数 F x 3 求21YX 的密度 Y y 三 15 分 设二维连续型随机变量 X Y的联合密度为 01 0 0 cxyx x y 其它 1 求常数c 2 求XY与的边缘密度 XY xy 3 问XY与是否独立 为什么 4 求ZXY 的密度 Z z 5 求 23 DXY 2 参数 的极大似然估计量 2 五 10 分 某工厂的车床 钻床 磨床和刨床的台数之比为 9 3 2 1 它们在一定时间内需 要修理的概率之比为 1 2 3 1 当有一台机床需要修理时 求这台机床是车床的概率 六 10 分 测定某种溶液中的水份 设水份含量的总体服从正态分布 2 N a 得到的 10 个测定值给出0 452 0 037xs 试问可否认为水份含量的方差 2 0 04 0 05 2222 0 9750 9750 950 95 10 20 483 9 19 023 10 18 307 9 16 919 答 案 模拟试题三 一 填空题 每题 3 分 共 42 分 1 0 5 2 7 0 5 2 1 p 2 p 3 4 1 2 0 51 5 PX 15 16 4 01 01 1 3 2 9 1 9 17 3 5 n 6 p 0 4 6 2 3 24 a N 7 2 6895 2 7205 四 11 分 设总体 X 的密度为 1 01 0 xx x 其它 其中1 是未知参数 1 n XX是来自总体 X 的一个样本 求 1 参数 的矩估计量 1 附表 2222 0 050 0250 050 05 10 3 94 10 3 247 9 3 325 9 2 7 二 解 1 0 11 x x dxce dxc 2 0 0 0 1 0 x x tx x F xt dt e dtex 3 Y 的分布函数 1 21 2 Y y FyPXyP X 1 1 2 2 0 1 1 1 0 1 0 1 y y x e dxy ey y y 1 2 1 1 2 0 1 y Y ey y y 三 解 1 1 00 1 2 x c x y dxdycdydx 2c 2 0 22 01 0 x X dyxx xx y dy 其它 1 22 1 01 0 y Y dyyy yx y dx 其它 3 XY与不独立 4 2 1 2 2 01 22 12 0 z z X Y z dyzz zx zx dxdyzz 其它 5 11 223 00 21 2 2 32 EXx dxEXx dx 11 22 00 11 2 1 2 1 36 EYyy dyEYyy dx 22 121111 23186318 DXDY 1 00 1 2 4 x EXYxydydx 12 11 cov 43 336 X YEXYEX EY 7 23 492 c o v 2 3 18 DXYDXDYXY 四 解 1 1 0 1 1 2 EXxx dx 令EXx 即 1 2 x 解得 1 21 1 X X 2 11 1 01 1 2 nn n iii ii Lxxxin 1 ln ln 1 ln n i i Lnx 1 ln ln0 1 n i i Ln x 解得 2 1 1 ln n i i n X 五 解 设 1 A 某机床为车床 1 9 15 P A 2 A 某机床为钻床 2 1 5 P A 3 A 某机床为磨床 3 2 15 P A 4 A 某机床为刨床 4 1 15 P A B 需要修理 1 1 7 P B A 2 2 7 P B A 3 3 7 P B A 4 1 7 P B A 则 4 1 22 105 ii i P BP A P B A 11 1 9 22 P A P B A P A B P B 六 解 22 01 0 04 0 04HH 拒绝域为 22 21 2 22 00 1 1 1 1 nSnS nn 或 计算得 2 2 0 1 9 1 0 037 0 2738 0 04 ns 查表得 2 0 025 9 2 70 2738 样本值落入拒绝域内 因此拒绝 0 H 2222 0 9750 9750 950 95 10 20 483 9 19 023 10 18 307 9 16 919 模拟试题四 概率论 一 填空题 每题 3 分 共 42 分 1 设A B为随机事件 0 8P B 0 2P BA 则A与B中至少有一个 不发生的概率为 当AB与独立时 则 P B AB 2 椐以往资料表明 一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律 孩子得病P 0 6 孩子得病母亲得病P 0 5 孩子得病母亲及父亲得病P 0 4 那么一个 三口之家患这种传染病的概率 为 3 设离散型随机变量X的分布律为 2 1 0 3 k k akXP k 则 a 1 XP 4 若连续型随机变量X的分布函数为 3 1 33 3 arcsin 3 0 x x x BA x xF 则常数 A B 密度函数 x 5 已知连续型随机变量X的密度函数为 2 21 8 1 8 xx f xex 则 14 XE 2 EX 21XP 6 设X 3 1 U Y 2 P 且X与Y独 立 则 附表 2222 0 050 0250 050 05 10 3 94 10 3 247 9 3 325 9 2 7 3 YXD 7 设随机变量YX 相互独立 同服从参数为分布 0 的指数分布 令 YXVYXU 2 2的相关系数 则 VUCOV VU 注 6915 0 5 0 8143 0 1 二 计算题 34 分 1 18 分 设连续型随机变量 YX 的密度函数为 01 01 0 xyxy x y 其他 1 求边缘密度函数 yx YX 2 判断X与Y的独立性 3 计算cov X Y 3 求 max YXZ 的密度函数 z Z 2 16 分 设随机变量X与Y相互独立 且同分布于 10 1 ppB 令 1 0 XY Z XY 若为偶数 若为奇数 1 求Z的分布律 2 求 ZX 的联合分布律 3 问p取何值时X与Z独立 为什么 三 应用题 24 分 1 12 分 假设一部机器在一天内发生故障的概率是 0 2 若一周 5 个工作日内无故障 则可获 10 万元 若仅有 1 天故障则仍可获利 5 万元 若仅有两天发生故障可获利 0 万元 若有 3 天或 3 天以上出现故障将亏损 2 万元 求一周内的期望利润 2 12 分 将A B C三个字母之一输入信道 输出为原字母的概率为 0 8 而输 出为其它一字母的概率都为 0 1 今将字母AAAA BBBB CCCC之一输入信道 输入AAAA BBBB CCCC的概率分别为 0 5 0 4 0 1 已知输出为ABCA 问输入的是AAAA的概率是多少 设信道传输每个字母的工作是相互独立的 答答 案 模拟试题四 案 模拟试题四 一 填一 填空题 每题空题 每题 3 分 共分 共 42 分 分 1 0 4 0 8421 2 0 12 3 3 e 3 4e 4 1 2 1 其他 0 33 9 1 2 x x x 5 3 5 0 6286 6 2 333 7 2 3 VU 3 5 二