2013常大考研数学二模-1答案.pdf

全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 一 解答 常州大学 1 2012 09 15 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在题后括号位置上 1 答案 B 考点 函数间断点的类型 解析 所给函数的间断点为 1 2x 2 0 x 和 3 2x 2 1 2 2 2 lim2 4 x xx x x x 为第二类 无穷 间断点 2 2 0 2 2 2 0 21 lim 4 2 0 21 lim 4 2 x x xx x x x xx x x 为第一类 跳跃 间断点 2 3 2 2 21 lim2 4 4 x xx x x x 为第一类 可去 间断点 2 答案 D 考点 二阶线性微分方程解的结构 解析 将 123 yaybycy 代入原方程 有 yp x yq x yabc f x 由于原方程为非齐次方程 因此 0f x 于是 123 yaybycy 是所对应齐次方程的解的充分必要 条件为0abc 3 答案 A 考点 导数的几何意义 解析 两曲线相切 切点为公共点 在切点处曲线斜率相同 设切点为 00 xy 则有 00 1 0 0 ln 1 22 a xx ae a xx 4 答案 C 考点 反常积分的概念和计算 解析 2 ln1 ln ln ln 2 e ee x dxx dxx x ln ln ln lnln e ee dxdx x xxx 22 ln 1 1 ln ln ln e ee dxdx xxxx ln 2 ln lnln e ee dxdx x xxx 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 一 解答 常州大学 2 2012 09 15 5 答案 C 考点 多元隐函数求导法 解析 将方程 23 2 xz zey 两端对x求导 得 23 23 23 2 23 1 3 xz xz xz zzze e xxxe 方程 23 2 xz zey 两端对y求导 得 23 23 2 32 1 3 xz xz zzz e yyye 因此 23 23 1 223 1 3 xz xz zzae aa xye 6 答案 B 考点 利用定积分计算n项和的极限 n 解析 1 0 1 11111 limlimln2 1221 1 n nn k dx k nnnnx n 7 答案 B 考点 向量组的秩的定义 解析 因向量组 I r 21 可由向量组 II s 21 线性表示 所以 r r 21 sr s 21 当sr 时 r r 21 rsr s 1 3 1 2 1 10 3 1 2 1 3 1 0 2 1 3 1 1 0 3 1 0 1 0 1 0 xxt dtxt xxxt dxttt dtxt xxt dxtt t dxt txf x x 2 1 0 2 1 01 2 1 1 2 x fxxx x 16 考点 求积分上限函数的导数 判断函数极值点的方法 解析 22 21 xx exxf 2 1 0 x为驻点 4 分 在 2 1 上 0 xf 函数单调递增 2 分 在 2 1 上 0 F 01 1 F 根据闭区间上连续函数的零点定理 存在 1 2 1 使得0 F 即 f II 对任意的实数 在 0 上对函数 x exxfx 应用 Rolle 中值定理 则存在 0 使得 0 1 xx efef 即 1ff 练习练习练习练习 设 xf在 ba上连续 在 ba内可导 aaf 2 1 22 abdxxf b a 求证 在 ba内 至少有一点 使得1 ff 江苏省 2004 年高等数学竞赛试题 22 考点 方程组解的性质和解法 解析 I 设 321 是非齐次方程组 Ax的三个线性无关的解 则 2312 是齐次 方程组OAx 的两个线性无关的解 2 分 所以 2 Arn 其中4 n 即2 Ar 又矩阵A中有一个二阶子式0 34 11 于是2 Ar 即2 Ar 3 分 II 对增广矩阵作初等行变换 A aababa24542400 35110 11111 131 11534 11111 由2 ArAr知 054 024 ab a 即 2 a3 b 3 分 对增广矩阵作初等行变换化为行最简形矩阵 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 一 解答 常州大学 7 2012 09 15 A 00000 35110 24201 131 11534 11111 ba 得与原方程组通解的方程组 35 242 432 431 xxx xxx 由此得 35 242 432 431 xxx xxx 其中 43 x x可任意取值 亦即 0 0 3 2 1 0 5 4 0 1 1 2 43 4 3 2 1 xx x x x x x 3 分 23 考点 对称矩阵特征值的性质和正交对角化 解析 I 设A属于特征值 3 的特征向量为 T xxx 3213 对于实对称矩阵而言 属于不同的 特征值所对应的特征向量正交 因此 3231 因此 02 0 321 321 xxx xxx 3 分 得其一个基础解系为 T 1 0 1 所以A属于特征值3的特征向量为 T k 1 0 1 1 其中 1 k为不等于零的任意常数 2分 II 将 T 1 0 1 21 单位化 有 1 1 1 3 1 1 1 2 1 6 1 2 1 0 1 2 1 3 令正交矩阵 2 2 6