解析函数展开成罗朗级数的方法分析[1].doc

解析函数展开成罗朗级数的方法分析摘 要本文给出解析函数展开成罗朗级数的两类方法（即直接展开法和间接展开法）的分析通过分析可见，由于直接法要求函数的各阶导数，显然困难，繁杂因此，我们常采用间接法关键词双边幂级数；罗朗级数；直接展开；间接展开定义及定理定义：级数 (1) (2)当且仅当时，（1）及（2）有公共的收敛区域即圆环H：r|za|R称级数（1）与（2）之和为双边幂级数可表示为 (3)其中Cn（n=0,1,）为复常数，称为双边幂级数的系数由以上定义、阿贝尔定理及幂级数和的解析性可得定理：设双边幂级数(3)的收敛圆环为，则(1) (3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于：(2) 在H内解析(3) 在H内可逐项求导p次(p=1，2，)(4) 函数可沿H内曲线C逐项积分前面指出了双边幂级数在其收敛圆环内表一解析函数，反过来有罗朗定理： 在圆环内解析的函数必可展成双边幂级数： (4)其中（ n=0,1,） (5)为圆周，并且展式是惟一的（即由f(z)及H惟一地决定系数）定义：(4)称为函数在点a的罗朗展式，(5)称为其系数，而(4)右边的级数则称为罗朗级数2 方法分析要将一个解析函数展成罗朗级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级数要多首先罗朗级数是在圆环域内的奇点a展开的，它的系数为：可见，一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展式，因此给定一个函数后，首先是找出它的奇点，进而要确定函数可以在哪个圆环域内展为罗朗级数然后是找到展开的方式，即直接展开法和间接展开法2.1直接展开法即：依据罗朗定理的系数公式，（n=0，1，2，）先求出系数，然后再写出例1 在0| z |+内，将展为罗朗级数解：在复平面上除点在z0=0外，发处处解析，所以f(z)在圆环域0| z |+内解析取c为圆周，则，（n=0，1，2，）而当时，在上解析，；当时，由高阶导数公式，有即于是，得2.2 间接展开法根据函数展开为双边幂级数的唯一性，通过利用已知的一些初等函数的泰勒展开式来展开，在展开函数为罗朗级数时，仍然以泰勒级数为基础，常用方法如下： 2.2.1 用公式（|z|1正数)内展为罗朗级数 在内，有 ；在内，有 ;在内，因为，所以有 ;在(a1正数)内，有 2.2.2 代换法即在已知函数展开式中，通过代换因式得到新的罗朗级数例3 求函数在去心领域的罗朗级数解：在内 例4 求函数在圆环域内展为罗朗级数解： 因为在内解析，所以在圆环域内，有，亦可写为令，即得：在内，有2.2.3部分分式法当发为有理分式函数时，先分解为部分分式，然后展为罗朗级数例5 求函数在圆环域和内的罗朗级数展开式解：因为，所以 在内，有 在内，有 2.2.4 微分方程法利用被展开函数的导数与函数的关系，建立微分方程，通过解微分方程求得函数的各阶导数值，进而写出函数的洛朗级数展开式一般适用于不易找到合适展开式可以利用，而函数导数有保留原来函数因式的情形如的情形例6 在点的去心领域内，将函数展成罗朗级数解：令，得而是此函数的解析点，记此函数简记为，于是， ， ， ， ， 所以这里是的可去奇点，令则可化为解析点2结束语通过对罗朗级数求解方法的分析，举例希望能给读者学习罗朗级数问题带来帮助，使读者学起来更容易，并且更好、更系统的掌握它参考文献1钟玉泉复变函数论（第四版）M北京：高等教育出版社，2004184-192 2孙清华，赵德修新编复变函数题解M武汉：华中科技大学出版社，2001199-2093余家荣复变函数（第三版）M北京：高等教育出版社，200073-83致谢：本文得到韩山师范学院刘波老师的指导，特此致谢！This article gives the analytic function to launch Cheng the Luo bright progression two kind of methods the analysis（namely direct method of development and indirect method of development） By analyzing the visible, as a result of direct method request function various steps derivative, obviously difficult, numerous and diverse. Therefore, we often use the indirect methodKey word : Bilater