高等代数习题二次型.pdf

第九章 二次型 例 1 I 用非退化线性替换化 1 21 32 3 422x xx xx x 二次型为标准型 并利用矩阵 验算所得结果 II 把上述二次型进一步化为规范型 分实系数 复系数两种情 形 并写出所作的非退化线性替换 解 I 用配方法 令 112 212 33 xyy xyy xy 1 则 原式 222222 1213113332 444444yyy yyy yyyy 222 1332 2 4yyyy 2 再令 113 22 33 2 zyy zy zy 3 则得 原式 222 123 4zzz 此即原二次型的标准型 将式 3 代入式 1 得 1123 2123 33 11 22 11 22 xzzz xzzz xz 4 由式 4 得替换矩阵 11 1 22 11 1 22 001 T 验算 11 111 0 22 0 21 22 11 11 0 2011 22 11110 001 1 22 T AT 100 040 001 II 令 13 22 31 2 zt zt zt 得 1123 2123 31 2 2 xttt xttt xt 则实二次型的规范形为 222 123 fttt 再令 11 22 33 i t t t w w w 得 1123 2123 31 i 2 i 2 x x x www www w 则复二次型的规范型为 222 123 fwww 例 2 证明 1 2 n l l l 与 1 2 n i i i l l l 合同 其中 1 2n iii 是1 2 n 的一个排列 证明 设两个矩阵分别为 A B 与它们相应的二次型分别为 222 1 122nn fxxxlll A 12 222 12 n iiin fyyylll B 作非退化的线性替换 t ti yx 1 2 tn 则 fB化成 fA 故A与B合同 例 3 设A是一个n级矩阵 证明 A是反对称矩阵当且仅当对任一n维向量X 有 0 X AX 证明 必要性 因为 AA 即 0 ii a ijji aa 所以 ijijijjiij i jij a x xaax x X AX 由于0 ijji aa 故 0 ijjiij ij aax x X AX 充分性 设对任给X 有 0 X AX 即 2 11 1122112111 nnn a xaax xaax x 22 222233223 0 nnn a xaax xa x 这说明原式是多元零多项式 故有 1122 0 nn aaa ijji aa 所以 AA 例 4 如果A是一个n级对称矩阵 且对任一个n维向量X 有 0 X AX 那么 A0 证明 由于A是对称的 且 0 X AX 即 2 11 11212131311 222 nn a xa x xa x xa x x 22 222232322 220 nnnnn a xa x xa x xa x 这说明 X AX 为多元零多项式 故有 1122 0 nn aaa 20 ij a 1 2 i jn 即有 A0 例 5 如果把实n级对称矩阵按合同分类 即两个实n级对称矩阵属于同一类当 且仅当它们合同 问共有几类 解 当实对称矩阵A与B合同时 则有 1 2 0 0 r d d d T BTC AC 反之亦然 下面考虑相应二次型的情况 在 i d 中可分为 0 11 22 11 0 r r r r r 个正 个负 个正 个负 个正 个负 个正 个负 个正 个负 共计1r 个类 但秩r又可分别取 1 2 1 0n n 故共有1 2 3n 1 2 2 nn 个类 例 6 判别 222 1121 32233 9912481306071xx xx xxx xx 二次型是否正定 解 二次型的矩阵为 99624 613030 243071 A 因为 990 99 6 0 6 130 0 A 故由定理知 原二次型为正定二次型 例 7 判别 222 112132233 10824228xx xx xxx xx 二次型是否正定 解 二次型的矩阵为 10412 4214 12141 A 因为 0 A 由定理知 原二次型非正定 例 8 判别 2 11 n iij ii j n xxx 与A同类型 1 1 0 2 k k k A 由定理知 原二次型为正定二次型 例 9 判别 1 2 1 11 nn iii ii xxx 二次型是否正定 解 二次型的矩阵为 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 A A的k级顺序主子式为 1 1 2 21 1 1 12 2 1 2 121 1 2 12 1 1 2 k k A 210000 3 01000 2 14 00100 23 1 00000 k k k 1 1 0 2 k k 由定理知 原二次型为正定二次型 例 10 t取什么值时 222 123121323 42106xxxtxxxxx x 二次型是正定的 解 二次型的矩阵为 15 43 531 t t A 由定理知 当A的所有顺序主子式都大于零时 即 22 15 1 10 40 43301050 4 531 t t tttt t 时 原二次型为正定的 联立得 2 2 40 301050 t tt 但此不等式组无解 即不存在t值 使原二次型为正定的 例 11 证明 如果A是正定矩阵 那么A的主子式全大于零 所谓主子式就 是行指标与列指标相同的子式 证 设正定矩阵 ij n n a A 它的任意一个m阶主子式为 1 11 1 m mm m k kk k m k kk k aa aa A 然后 作两个二次型 X AX 和 m Y AY 对任意 1 0 m kk bb Y0 有 01 n cc X0 其中 12 0 im i bik kk c 当时 其它 由于 X AX 正定 知 00 0 X AX 从而 0 000 0 m X AXY AY 由 0 Y 的任意性 即 证得 m Y AY 是正定二次型 故 0 m A 例 12 设A是实对称矩阵 证明 当实数t充分大之后 t EA是正定矩阵 证 11121 21222 12 n n nnnn taaa ataa t aata EA 它的k级顺序主子式为 11121 21222 12 k k k kkkk taaa ataa t aata 当t 充分大时 它为主对角占优的行列式 由第三章补充题 10 之 2 可得 0 k t 从而t EA是正定的 例 13 证明 如果A是正定矩阵 那么 1 A 也是正定矩阵 证 因A是正定矩阵 故 X AX 为正定二次型 作线性替换 1 XA Y 由 第四章习题 24 知 1 A 也是对称矩阵 得 1 1 AA 故 1 1 1 X AXYAAA YY A Y 从而 1 Y A Y 为正定二次型 故 1 A 为正定矩阵 例 14 设A为一个n级实对称矩阵 且 0 A 证明 必存在实n维向量0 X 使 0 X AX 证 因 0 A 0 A 故 Rn A 又A非正定 故必存在非退化线性替 换 1 XC Y 使 1 1222222 1212 pPPn yyyyyy X AXY CAC Y 即在规范式中必含带负号的平方项 故可在 CXY 即 11 112211 21 122222 1 122 1 1 11 221 1 1 122 nn nn pppnnp pppnnp nnnnnn c xc xc xy c xc xc xy c xcxc xy cxcxcxy c xc xc xy 中令 12 0 p yyy 12 1 pPn yyy 得线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 1 1 11 221 1 122 0 0 0 1 1 nn nn pppnn pppnn nnnnn c xc xc x c xc xc x c xcxc x cxcxcx c xc xc x 由于 0 C 故可得惟一非零解 012 n a aa X 使 00 000 1 11 pn p np 个个 X AX 可见存在 X0 使 0 X AX 例 15 A是一个实矩阵 证明 RR A AA 证 记 ij m n