高二选修2-2补漏复习.doc

不定积分1、 原函数与不定积分定义1：若，则称为的原函数。 连续函数一定有原函数； 若为的原函数，则也为的原函数；事实上， 的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由，得故表示了的所有原函数，其中为的一个原函数。定义2：的所有原函数称为的不定积分，记为，积分号，被积函数，积分变量。显然2、 不定积分的性质例1、 求下列不定积分公式的应用：1. 例2、求不定积分曲边梯形的面积与定积分A组1若是上的连续偶函数，则 （）AB0CD2变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（）ABCD3由直线，及轴所围成平面图形的面积为（）ABCD4设且，给出下列结论：A0；B0；。其中所有正确的结论有 。5设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积。已知函数ysinnx在0，（nN*）上的面积为。ysin3x在0,上的面积为 ；ysin（3x）1在，上的面积为 。6求由曲线与所围的图形的面积。7试根据定积分的定义说明下列两个事实：；。8物体按规律（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）时阻力为2（N），求物体从x=0到x=2阻力所做的功的积分表达式 1C。2B。3C。4。5；。6。7定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。可尝试用这四步进行说明或证明。8变力作功公式中，F(x)是用x表示的，而此题中只有x对t的关系式，故首先将F表示出来依题意得：Fkv，但这不是x的函数，应将v用x表示v=x=8t，而， 另外，此题F是与物体运动方向相反的，例1用数学归纳法证明：请读者分析下面的证法：证明：n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立假设n=k时，等式成立，即：那么当n=k+1时，有： 这就是说，当n=k+1时，等式亦成立由、可知，对一切自然数n等式成立评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求正确方法是：当n=k+1时这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，例2是否存在一个等差数列an，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来an，然后再证明一般性 解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组，解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤 假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时， a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立例3证明不等式 (nN)证明：当n=1时，左边=1，右边=2左边右边，不等式成立假设n=k时，不等式成立，即那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n都成立说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标例4已知数列an满足a1=0，a2=1，当nN时，an+2=an+1+an求证：数列an的第4m+1项(mN)能被3整除分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设