图形与证明2.doc

1.一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形。甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC折出CAEDAC，ACFACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )A 甲 B 乙 C 甲乙相等 D 无法判断ABDCOABA1Cxy（方案一）ABCDEGH（方案二）ABCDEFF2.如图，梯形中，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 3.如图，在直角坐标系中，将举行OABC沿OB对折，使点落在点A1处，已知OA=,AB=1,则点A1的坐标是_.4.2009年河南 如图，在RtABC中，ACB=90, B =60，BC=2点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为. (1)当=_度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_； 当=_度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_； (2)当=90时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由5.如图，在矩形ABCD中有2个小矩形，它们分别是ABC和ADC中面积最大的内接矩形，如果它们的面积分别是S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是（）ABCDNMADDxS1S1xS1S1xS1S1xS1CBxS1S1xS1S1xS1S1xS1S2S1S26.如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是_ 7.2009年丹东 有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90后得到矩形AMEF（如图12），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，ADB=30（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；CDMABFE（2）小红同学用剪刀将BCD与MEF剪去，与小亮同学继续探究他们将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1，AD1交FM于点K（如图13），设旋转角为（090），当AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；DMKFABB1D1（3）若将AFM沿AB方向平移得到A2F2M2（如图14），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NPAB时，求平移的距离是多少？图14DMNBAPA2M2F2F8. 2009年河北 如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M =B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E（1）求证：ME = MF（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，不必证明（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由（4）根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由ADCBMQPNEFABCDMQPNEFABCDMQPNEFMABCDQPNFE23-1题图23-2题图23-3题图23-4题图9. 2009年山西 在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点ADBECFADBECF（第25题 图1）（第25题 图2）（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求的长10. 2010年南沙 已知：在四边形ABCD中，AB4 cm，点分别按的方向同时出发，以1cm/秒的速度匀速运动在运动过程中，设四边形的面积为平方厘米，运动时间为秒（0t4）(1)当四边形ABCD为正方形时，如图1所示，求证：四边形EFGH是正方形；在某一时刻，把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图2所示的正方形A1B1C1D1，且它的面积为10，求中间正方形E1F1G1H1的面积； (2)当四边形ABCD为菱形，且A30时，如图3所示。在运动过程中，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）（1分）证明：（证法一）由旋转可知，（3分）又即（4分）（证法二）由旋转可知，而（3分）即（4分） （2）四边形是菱形. （5分）证明：同理四边形是平行四边形. （7分）ADBECFG又四边形是菱形. （8分） （3）（解法一）过点作于点，则在中，（10分）由（2）知四边形是菱形，（12分）（解法二）在中， （10分）（12分）（其它解法可参照给分）(1)证明：过点M作MHAD于H，MGAB于G，连结AM。M是正方形ABCD的对称中心，O是正方形ABCD对角线的交点，AM平分BAD，MH=MG， 正方形ABCD、QMNP，A=EMF=90， HMG=90。EMG=HMF。 EMG=FMH， MHF=MGE， MHFMGE，ME=MF。（2）结论仍成立；（3）ME=mMF证明：过点M作MGAD于G，MHAB于H,EMF=B, A=EMF=900,又MHA=MGA=900,HMG=900, HMG=EMFFMG=EMHMHE=MGF MHEMGF 又M是矩形ABCD的对称中心， O是矩形ABCD对角线的中点又MHAB, MHAD MH=AD同理可得MG=AB ME=mMF.（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中, M=B,AB=mBC,M是平行四边形ABCD的对称中心 ,MN交AD于F,AB交QM于E.则ME=mMFNDACDBM答案22题图解：（1）在正方形中，在中，2分（2），4分，当时，取最大值，最大值为106分（3），要使，必须有，7分由（1）知，当点运动到的中点时，此时解：（1）1分延长交于点，由题意得：，2分又，3分（2）的度数为60或15（答对一个得2分）7分（3）由题意得矩形设，则，DMNBAPA2M2F2F在中，9分10分，解得11分即答：平移的距离是cm12分（其它方法可参照此答案给分）解:（1）AB2AD. 1分理由如下: 直角点M为CD边的中点, MDMC,又 2分 2分 AB2AD. 1分（2）如图2所示, 作于点，连结 ， 90,90, 又 ， 即， 1或3. 2分当1时, 1, 2，7, . 2分当3时, MNBC综上, 或. 2分（1）30，1；60，1.5； 4分 （2）当=900时，四边形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形. 6分 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO= . 8分ACBPQED图4在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形 解：（1）1，； -2分ACBPQED图5AC(E)BPQD图6GAC(E)BPQD图7G（2）作QFAC于点F，如图3， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 -4分，即-5分（3）能-6分 当DEQB时，如图4 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90由APQABC，得，即 解得-8分 如图5，当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形此时APQ =90由AQPABC，得 ，即 解得-10分（4）或-12分【注：点P由C向A运动，DE经过点C方法一、连接QC，作QGBC于点G，如图6，由，得，解得方法二、由，得，进而可得，得， 点P由A向C运动，DE经过点C，如图7，】解：（1） 点在四条边上的运动速度相同 AEBFCGDH 1分四边形ABCD是正方形，AB90，ABDA EBHAAEHBFE（S.A.S）2分解法一： EHFE (全等三角形的对应边相等)同理可得：EHFEGFHG四边形EFGH是菱形。 3分又 BEF BFE90，AEHBFE BEFAEH90FEH90四边形EFGH为正方形。（有一个角是直角的菱形是正方形）4分解法二： AEHBFE (全等三角形的对应角相等)又 BEF BFE90 BEFAEH90FEH90同理可得FEHGFEHGF90 四边形EFGH是矩形。 3分由 AEHBFE，可得EHFE四边形EFGH为正方形。（有一组邻边相等的矩形是正方形）4分 解法一：由题意知： 5分又 6分 四个直角三角形的面积之和是 7分 正方形E1F1G1H1的面积为 8分解法二：设直角三角形的两条直角边的长分别为、（设），则有，6分（列对一个给1分）得，7分 正方