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北京市东城区2004年高三年级综合练习（三）高三数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页第卷3至8页，共150页考试时间120分钟第卷（选择题共40分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式其中、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式：其中、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若点P分有向线段的比为，则点分有向线段所成的比为（）AB2C1 D-12若，则在（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限3“复数”是“”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4不等式的解集是（）ABCD或5在长方体中，M、N分别是棱，的中点，若90，则异面直线与DM所成的角为（）A30B45 C60 D906在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积S的取值范围是（）ABCD7从10种不同的软件中选出6种放在6个不同的架子上展出，每个架子上只能放一种软件，且第1号架子上不能放甲或乙种软件，那么不同的放法共有（）A种 B种 C种D种8若，则（）ABCD第卷（非选择题共110分）注意事项：1第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中2答卷前将密封线内的项目填写清楚题号二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9，从小到大排列为_10函数的反函数为_11过点（0，1）的直线与交于A，B两点，若AB的中点的横坐标为，则_12当以半径为R的球的一个截面为底面，球心为顶点的圆锥的体积取得最大值时，圆锥的高为_，圆锥的侧面展开图的圆心角为_13若不等式的解集是非空集合，则a_，m_14数列的前n项的乘积，则_，的前5项的和是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明16（本小题满分13分）设数列的前n项和为，若是首项为各项均为正数且公比为q的等比数列（）求数列的通项公式（用和q表示）；（）试比较与的大小，并证明你的结论17（本小题满分14分）如图，已知三棱锥P-ABC，ABC90，CB4，AB20，D为AB中点，且PDB是正三角形，PAPC（）求证：平面PAC平面ABC（）求二面角D-AP-C的正弦值；（）若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积18（本小题满分14分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BCa，设ABC的面积为，正方形的面积为（）用a，表示和时；（）当a固定，变化时，求取最小值时的角19（本小题满分13分）已知定义在R上的函数对任意的实数，满足关系（）证明的图象关于点（0，-2）成中心对称图形；（）若，则有，求证在，上是增函数；（）若数列满足，且对任意，求数列的前n项和公式20（本小题满分13分）如图，在RtABC中，CAB90，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变（）建立适当的坐标系，求曲线E的方程（）设点K是曲线E上的一动点，求线段KA中点的轨迹方程；（）若，是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由参考答案一、选择题1C2D3B4D5D6B7A8C二、填空题9101112（2分），（3分）13（3分），36（2分）14（2分），（3分）三、解答题15解：（）等价于解得5分方程的判别式 9分，即由此得方程无实根13分16解：（）是各项均为正数的等比数列， 当时， 当时，6分 （）当时， 8分当时， ，当时，当时，当时， 13分综上可知：当时，当时，若，则；若 则；若则14分17解（）由已知D是AB的中点，PDB是正三角形，AB20，则有所以又，则平面PBC平面PBC，由，有平面PAC平面ABC，平面平面ABC5分（）由已知PAPC，又由（）知PAPB，所以BPC是二面角D-AP-C的平面角又由（）知BC平面PAC，则BCPC10分（）D为AB中点，M为PB中点，且由（）知PA平面PBC，DM面PBC，所以4分18解：（）， 2分 设正方形边长为x 则， 7分（）当a固定，变化时，令，则11分，令任取，且，在，是减函数12分时，取最小值，此时14分19（）令，则， 对任意实数x， 令，有 ，即 得，又， 这表明点M（x，f（x）与点N（-x，f（-x）的中点是（0，-2）即点M，N关于点（0，-2）中心对称 由点的任意性知函数的图象关于点（0，-2）成中心对称 4分 （）对任意实数、，且 由，则有 于是7分 即 在，上是增函数9分 （） ， 11分 即 是以为首项，公差为的等差数列 故13分20解：（）如图，以AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点建立直角坐标系 设P（x，y） 为定值 动点P的轨迹为椭圆， 且， 椭圆E的方程为 5分（）设椭圆E上的动点K（，），线段KA中点为Q（x，y），A（-1，0）则，即，因此即9分（）M，N是椭圆上不同的两点，且直线FM，FN的倾斜角互补，则直线FM，FN的斜率存在且不为零