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文档简介

矩阵的特征值和特征向量一、方阵的特征值与特征向量定义1 设是阶方阵，若存在数和维非零向量使关系式 （1）成立，则称这样的数为方阵A的特征值；非零向量称为A的对应于特征值的特征向量将（1）式改写成， （2）得到一个含个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式即这个以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程，其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式，显然，的特征值就是特征方程的根；在复数范围内，阶方阵有个特征值。从定义1不难看出，若非零列向量是方阵的对应于特征值的特征向量，则（为常数）也是的对应于的特征向量，即对应于一个特征值有无穷多个特征向量。反之，不同的特征值所对应的特征向量不相等，即一个特征向量只能属于一个特征值。由上面的讨论得到方阵的特征值与特征向量的求法：1）写出方阵的特征方程，它的根就是的全部特征值。2）对每个特征值，齐次线性方程组（2）的每一个非零解都是的对应于的特征向量，只要求出（2）的一个基础解系，它们的线性组合（为非零向量时）就是的对应于的全部的特征向量。例1 求的特征值和特征向量解 因为A的特征多项式为解特征方程 ，得A的特征值为。当时，对应的特征向量满足即 求得该方程组的基础解系为，故 是对应于的全部特征向量当时，求得方程组的基础解系所以对应于的全部特征向量为。例2 求矩阵的特征值和特征向量解 先写出特征多项式，尽量化为因式积的形式A的特征值为当时，解方程，由得基础解系故对应于的全部特征向量为。当时，解方程组，由得基础解系故对应于的全部特征向量为二、特征值与特征向量的性质由一元次方程根与系数的关系，可以得到定理1若阶方阵A的特征值为，则1）2）（证明略）利用此定理给出的A的迹与其特征值的关系式，常常可以帮助我们求矩阵的特征值。例如，若已知矩阵的特征值，则A的第三个特征值应满足故 定理2 若向量分别是方阵A的对应于不同特征值的特征向量，则线性无关。证 若线性相关，则有数使得，即也是A的对应于的特征向量，与已知条件矛盾，所以，线性无关
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