高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4.ppt

2 3两角和与差的正切函数 两角和与差的正切公式 sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin 1 判一判 正确的打 错误的打 1 tan tan tan 2 tan 3 tan 40 50 4 tan120 tan 30 90 解析 1 错误 因为tan 2 错误 因为tan 3 错误 tan 40 50 中40 50 90 不成立 4 错误 因为tan90 不存在 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 tan 30 45 2 tan 60 45 3 4 解析 1 原式 答案 2 原式 答案 2 3 原式 tan 78 18 tan60 答案 4 原式 tan 22 23 tan45 1 答案 1 要点探究 知识点正切的和 差角公式t 1 公式成立的条件角 以及 均不能等于k k z 且tan tan 1 或tan tan 1 2 结构特征公式t 的右侧为分式形式 其中分子为tan 与tan 的和或差 分母为1与tan tan 的差或和 3 符号规律 分子同 分母反 微思考 1 正用t 时应注意什么 提示 应注意 角 及 的范围及分母不为零 分子 分母中间符号的选取及 1 的位置 2 逆用t 的关键是什么 提示 利用相关三角知识将逆用的三角函数式化简到t 公式右边的结构 再逆用公式 即时练 1 tan 165 的值是 2 计算的值为 解析 1 选c 原式 tan15 tan 60 45 2 tan 45 75 答案 题型示范 类型一利用t 求值 典例1 1 2014 渭南高一检测 已知那么 2 2013 焦作高一检测 化简 3 设tan tan 是方程ax2 2a 1 x a 2 0的两根 求tan 的最小值 解题探究 1 题 1 中 可拆分为 与 的关系吗 2 题 2 中所求式子能否化为的形式 3 分析公式t 的整体结构 题 3 中要求tan 需要知道哪些量 探究提示 1 2 可化为的形式 3 需要知道tan 与tan 的和与积 自主解答 1 因为所以 答案 2 原式 答案 1 3 由tan tan 是方程的两根得 且a 0 又所以tan 所以tan 的最小值是 延伸探究 若将题 2 中式子变为 则其化简结果如何 解析 原式 方法技巧 1 从三个角度入手直接利用公式t 求值 1 复角化单角 公式tan 及tan 反映了复角化单角的思想 即要求 的正切函数值 只需知道tan 和tan 的值 代入求解便可 2 整体意识 公式t 中有两个小团体 tan tan 及 tan tan 求解时可利用整体思想代入求解 3 角的配凑 公式t 中 只代表了角的某一形式 其可能是单纯的 也可能是某些小团体 如等式中相当于 相当于 2 逆用公式的技巧在三角函数的化简 求值过程中 通常存在着两种形式的逆用 公式的逆用和特殊角三角函数的逆用 当式子中出现这些特殊角的三角函数值时 往往就是 由值变角 的一种提示 可以根据问题的需要 将常数用三角函数式表示出来 以构成适合公式的形式 从而达到化简的目的 变式训练 已知tan 5 tan 3 求tan2 tan2 解题指南 利用2 2 进行求解 解析 tan2 tan tan2 tan 补偿训练 若则 解析 答案 类型二利用公式t 求角 典例2 1 2014 汉中高一检测 已知tan tan 是方程x2 x 4 0的两根 且则 的值为 2 2014 上饶高一检测 已知tan tan 且 0 求tan 求2 的值 解题探究 1 一元二次方程ax2 bx c 0中 根与系数有怎样的关系 2 题 2 中 是否可拆分为 与 的和或差 2 是否可拆分为 与 的和或差 探究提示 1 x1 x2 x1x2 2 2 自主解答 1 选b 由已知得 tan tan tan tan 4 所以tan 0 tan 0 tan 所以 0 0 所以 0 所以 2 tan tan tan 2 tan 又 0 tan 1 tan 0 所以所以2 0 故2 方法技巧 利用公式t 求角的步骤 1 求值 计算待求角的正切函数值 2 求范围 借助已知角的范围及题目隐含信息 求相关角的范围 注意角的范围越小越好 3 求角 借助角的范围及角的三角函数值求角 变式训练 在 abc中 tana tanb tanatanb 则角c等于 解析 选a 由题意tana tanb 1 tanatanb 故tan a b 又a b c 所以 补偿训练 2013 新余高一检测 已知tan tan 且 1 求tan 的值 2 求2 的值 解析 1 tan tan 2 tan 2 tan 又因为且tan 0 所以 所以2 0 所以2 拓展类型利用公式t 的变形求值 备选例题 1 化简 tan10 tan20 tan20 tan60 tan60 tan10 的值等于 a 1b 2c tan10 d tan20 2 化简 1 tan1 1 tan2 1 tan44 解析 1 选a 因为tan 20 10 所以tan20 tan10 tan30 1 tan20 tan10 所以原式 tan10 tan20 tan30 1 tan20 tan10 tan10 tan20 1 tan20 tan10 1 2 由两角和的正切公式可知 可知 tan1 tan44 1 tan1 tan44 所以tan1 tan44 tan1 tan44 1 所以 1 tan1 1 tan44 1 tan1 tan44 tan1 tan44 2 同理 1 tan2 1 tan43 2 所以 1 tan1 1 tan2 1 tan44 222 方法技巧 1 两角和的正切公式的几种变形 1 tan tan tan 1 tan tan 2 1 tan tan 3 tan tan tan tan tan tan 4 tan tan 2 应用t 变形公式的解题技巧解答由异角正切值的和或差或积构成的三角求值问题时 常将待求式变形为满足t 变形公式的结构 从而应用变形公式求值 规范解答 两角和与差的正切公式的综合应用 典例 12分 2014 淮南高一检测 如图 在平面直角坐标系xoy中 以ox轴为始边作两个锐角 它们的终边分别与单位圆交于a b两点 已知a b的横坐标分别为 1 求tan 的值 2 求 2 的值 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时若在 处漏掉 为锐角 会使sin 的结果出现正负两个值 则会导致多解而失分 失分点2 解题时若在 处不会把 2 变形为 使得下面无法进行而导致此题最多得6分 失分点3 解题时若在 处忽视用 和 的范围来限制 2 的范围 而直接得 2 的值 最多得10分 悟题 提措施 导方向1 确定角的范围由于角的范围会直接影响三角函数方程解的个数 因此 角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素 2 注意挖掘隐含条件在确定所求角的范围