中高难度环形跑道奥数例题精讲.docx

【例 1】 (2008年第十三届“华杯赛”决赛)甲、乙两人沿一个周长米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需分钟，乙行走一圈需分钟，他们同时同地同向出发，甲走完圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意问：当两人第次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？分析甲走圈时，共用了分钟，这段时间乙行程圈，每当甲比乙多走圈时，甲便追上乙一次，所以甲走完圈时，比乙多走了圈，两人共击掌次，此时，甲、乙两人相距圈；甲反向行走后，经过分钟，两人第一次相遇，以后两人总行程每增加圈，便出现一次相遇，即相遇事件发生的时间间隔为分钟，经过分钟，两人最后一次相遇，此时甲一共走了分钟，乙走了米拓展绕湖的一周是千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时反向而行，甲以千米小时的速度每走小时后休息分钟，乙以千米小时的速度每走分钟后休息分钟，则两人从出发到第一次相遇用多少分钟？分析甲的速度为千米小时米分钟，乙的速度为千米小时米分钟根据题意可知：甲、乙出发小时分钟，甲行(千米)，乙行了米千米还剩下千米米需行驶(分钟)所以相遇时间有分钟拓展如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动甲、乙、丙三人的速度比为他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？分析长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况对于甲的运动进行讨论：时间(单位时间)地点对于乙的运动进行讨论：时间(单位时间)地点对于丙的运动进行讨论：时间(单位时间)地点需要检验的时间点有、个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当于分钟个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、的位置第二次构成最大三角形所以再过分钟三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？【例 2】 有一正方形，边长12厘米，甲、乙、丙三只蚂蚁从正方形的同一顶点沿正方形的边同时同向出发三只蚂蚁爬行的速度分别是：甲为每秒厘米，乙为每秒厘米，丙为每秒厘米问：出发几秒钟后甲开始同时看见乙和丙的后背？【分析】 (秒)，即甲爬行80秒可以比乙多爬一个边长；(秒)，即甲爬行50秒可以比丙多爬一个边长若使甲能同时看见乙和丙的后背，则甲与乙、丙必须在同一条边上，所以甲比乙和丙多爬的距离在个边长和个边长之间那么，甲比乙多爬的距离为3个边长和4个边长之间、7个边长和8个边长之间根据前面的计算，甲可能看见乙的后背的时间段可能是240秒到320秒之间、560秒到640秒之间、880秒到960秒之间同理，甲可能看见丙的后背的时间段可能是150秒到200秒之间、350秒到400秒之间、550秒到600秒之间选取其中公共的时间段，即560秒到600秒之间在560秒时，甲与乙的距离为1个边长，则甲只有在正方形的某个顶点处才能看见乙的后背，否则必须爬到下一个顶点处才能看到乙的后背甲爬一个边长需要秒，而秒，所以当甲爬了秒时，甲恰好到达正方形的顶点处，这时才开始同时看见乙和丙的后背拓展(2004年第九届“华杯赛”总决赛试题)正方形跑道甲、乙、丙三人同时从点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方从此时算起，又经过21秒，甲、乙、丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置求正方形周长的所有可能值分析设正方形的边长为米，所以甲跑秒可以比乙多跑一个边长；，甲跑秒可以比丙多跑一个边长若使甲能同时看见乙和丙，且他们在自己的前方，则甲比乙和丙多跑的距离在个边长和个边长之间根据前面的计算，甲可能看见乙的后背的时间段可能是秒到秒之间，秒到秒之间甲可能看见丙的后背的时间段可能是秒到秒之间，秒到秒之间选取其中公共的时间段，即秒到秒之间在秒时，甲只有在正方形的某个顶点处才能看见丙的后背，否则必须跑到下一个顶点处才能看到丙的后背甲跑一个边长需要秒，而秒，所以当甲跑了秒时，才开始同时看见乙和丙的后背，所以经过秒后甲第一次追上乙，此时甲、乙、丙分别跑了5圈、4圈、3圈，所以这也是出发后三人第一次处在同一位置所以，即(米)，所以正方形的周长应为210米拓展在正三角形中，是边上的一点，且，学学和思思两人在三角形边上分别匀速行走学学从点开始沿的方向走，思思从点开始沿的方向走已知两人第一次相遇恰好是在点，且两人第一次在线段(不含端点)上相遇时，相遇点距点24米则的长度等于_米【分析】由于两人第一次相遇恰好在点，此时学学和思思所走的路程分别为和，根据“时间相同，速度比等于路程的比”，可得学学和思思的速度比为设每边长为15个单位设第次相遇时是两人第一次在线段(不含端点)上相遇，由于第一次相遇以后，两人每合走一个周长就相遇一次，则此时两人共走个周长加1条边，即，其中学学走了要想在线段上相遇，则除以45的余数应大于7，小于15因为，被3除余1，所以被45除只能余10或13如果，则，；如果，则，所以，两人第12次相遇是第一次在线段(不含端点)上相遇，被45除余13也就是说距离点2个单位，所以1个单位是12米，边长为15个单位，也就是180米另解：同上可得到学学和思思的速度比为当两人第一次在线段(不含端点)上相遇时，根据两人行走的方向，思思一定是经过点后走到相遇点的，学学一定是经过点后走到相遇点的考虑思思在这次相遇前走到点时学学所处的位置，如果学学当时在点，两人将再次相遇在点，不合题意；如果此时学学不在边上，两人更不可能在线段(不含端点)上相遇；只有当学学此时在边上且不在两个端点时，两人将必然在线段(不含端点)上相遇所以当思思走了整数圈，学学走的路程超过某个整数圈，又小于这个整数圈再加上圈时，两人再向前走将必然在线段(不含端点)上相遇假设此时思思走了圈，根据速度比，学学走了圈，则有(为整数)，即，故，由于是第一次在线段(不含端点)上相遇，由于，则，得，那么的最小值为6当时，思思走了6圈到点，学学走了圈，即走了5圈后又走了圈，此时走到边的处，距离点则为的，两人相向而行直至相遇，思思走了其中的，所以的即为24米，那么边的长度为(米)【低难度试题】【例6】（）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？【分析】20分，30分。解：由题意知，甲行4分相当于乙行6分。（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12820（分），乙需204630（分）。【例7】（）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。【解】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了803=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为1802=360米。【例8】（）甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？【来源】第九届小数报数学竞赛决赛应用题第3题【解】从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为400（400360）10（分），甲到达终点还需跑（100040010）（40018）（分），乙还需要（100036010）360（1）（分）由于，所以乙先到达终点。【例9】（） 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？【解】1.5米。“逗号”的周长与外圆的周长相等，都是40厘米。乙比甲多爬20厘米需20（53）10（秒），此时甲爬了30厘米，位于圆内的弧线上，而乙位于外圆周上，两只蚂蚁没有相遇。乙比甲多爬60厘米需60（53）30（秒），此时两只蚂蚁都在外圆周上，是第一次相遇，乙爬了530150（厘米）。【例10】（）小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【解】（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是5001.25-180=220（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是500（220-180）12.5（分）.22012.55005.5（圈）.答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.【例 3】 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙已知甲、乙的速度比是，湖的周长是600米，求丙的速度【分析】甲第一次遇见乙后分钟遇到丙，再过分第二次遇到乙，所以甲、乙经过分钟的时间合走了一圈，甲、乙的速度和为米/分，甲的速度为米/分甲、乙合走一圈需要5分钟，而甲第一次遇见乙后分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要分钟，甲、丙的速度和为米/分，从而丙的速度为米/分环形线路甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)【分析】第一次是一个相遇过程，相遇时间为：小时，相遇地点距离点： 千米然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：小时，乙车在此过程中走的路程为：千米，即5圈又3千米，那么这时距离点千米此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离点千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了点，并且行驶的方向与最开始相同 所以，每4次相遇为一个周期，而，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与点的距离是3000米拓展如图所示，甲、乙两人从长为米的圆形跑道的点背向出发跑步跑道右半部分(粗线部分)道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒米两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距点还有 米分析本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到点，即两人在点迎面相遇，然后再从点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇