福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 数列 新人教版.doc

2012年10月福州市高中数学学科会议专题讲座一、考试内容及要求1数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数2等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系二、重点知识及主要考点1. 数列知识主要包括等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式。数列作为一种离散型的特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。数列问题重视归纳与类比方法的应用，并用有关知识解决相应的问题。2. . 在高考中，在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中，关注概念辨析以及等差、等比数列的“基本量法”；在考查数列的综合问题时，对能力有较高的要求，试题有一定的难度和综合性，常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳等知识交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合等数学思想。3. 在考查相关知识内容的基础上，高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上。4. 使用选择题、填空题形式考查数列的试题，往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法，使用解答题形式考查数列的试题，往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且通常不单一考查数列知识，而是与其他内容相结合，体现对解决综合问题的考查力度，数列综合题有一定的难度，对能力有较高的要求。理科试卷侧重于理性思维的考查，试题设计通常以一般数列为主，着重考查的抽象思维和推理论证能力。5.高考的数列试题的解法，有的是从等差数列或等比数列入手构造新的数列，有的是从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严格的逻辑推证，找到数列的通项公式，或证明数列的其他一些性质。三、近年福建高考数列试题特点及权重高中数列12课时，按占总课时数的比例分析大约理科应考6分 、 文科应考7. 5分 福建省高考文理科09-12年实考分值：09年：理实考5+4=9分 文 实考12分 10年：理实考5+4=9分 文 实考12分 11年：理实考2+7=9分 文 实考12分 12年：理实考5+2+2=9分 文 实考3+6=9分 （1）2009年新课标高考以来，福建省高考降低对递推数列的考查，但同时加强对数列与函数的关系的考查，加强对数列应用、数学建模能力的考查。（2）在考查了数列有关知识的同时，突出了对数学思想方法、思维能力以及创新意识 和实践能力的考查， 体现了试题“ 巧、 活、 新” 的特点 而解答题形式新颖，以等差数列和等比数列内容为主，一般是与不等式、函数、解析几何等内容综合，在知识的交汇点命题，背景丰富多变，解法灵活多样，对能力的考查可达到一定的广度和深度（3）自 2 0 0 9年福建省第一次命制课标卷以来，数列试题多以中等题形式出现，所占分值比例较小理科卷多为选填题出现，2011年在解答题中出现过；而文科卷多为解答题，2012年在选填题中出现过，主要揭示等差数列和等比数列本质性的知识，难度较低四、2009-2012高考福建省数列试题展现（2009理3）(5分）.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ c）a1 b c.- 2 d 3 考点：等差数列（2009理15.）(4分）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 5 考点：斐波纳契数列（2009文17）(12分）等比数列中，已知 （i）求数列的通项公式； （）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。考点：等差数列、等比数列解：（i）设的公比为 由已知得，解得 （）由（i）得，则， 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和（2010理3）(5分）设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于（ a ）a.6 b.7 c.8 d.9考点：等差数列（2010理11）(4分）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .考点：等比数列（2010文17 ）(12分）数列 中，前n项和满足-（n）. ( i ) 求数列的通项公式以及前n项和； （ii）若s1, t ( s1+ s2 ), 3( s2+ s3 ) 成等差数列，求实数t的值.考点：等差数列、等比数列; 考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想解：（i）由得又从而 （ii）由（i）可得 从而由s1, t ( s1+ s2 ), 3( s2+ s3 ) 成等差数列 可得（2011理10）(5分）.已知函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点a,b,c，给出以下判断：abc一定是钝角三角形 abc可能是直角三角形abc可能是等腰三角形 abc不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ b ）a. b. c. d.考点：等差数列和函数（数列与函数交汇）（2011理16）（13分）已知等比数列an的公比q=3，前3项和s3=。（i）求数列an的通项公式；（ii）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。考点：等比数列、三角函数等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想（数列与三角函数的交汇） 解：（i）由解得所以 （ii）由（i）可知因为函数的最大值为3，所以a=3。因为当时取得最大值，所以又所以函数的解析式为（2011文17）(12分）已知等差数列an中，a1=1，a3=-3.（i）求数列an的通项公式；（ii）若数列an的前k项和sk=-35，求k的值.考点：等差数列，考查运算求解能力，考查函数与方程思想 解：（i）设等差数列an的公差为d,则an= a1+（n-1）d 由a1=1，a3=-3可得d=-2 从而an= 3-2n （ii）由（i）可知an= 3-2n， 所以sn=2n-n2由sk=-35 得 k=7 或k=-5 又k n， 故k=7为所求（2012理2）(5分）.等差数列中，则数列的公差为（ b ）a1 b2 c3 d4考点：等差数列（2012理13.）(5分）已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_考点：等比数列和解三角形（数列与解三角形的交汇）。（2012理14）(4分）数列的通项公式，前项和为，则 _3018_。考点：一般数列和三角函数的周期性（数列与三角函数的交汇）。（2012文11）(5分）理数列的通项公式，其前项和为，则等于（ a ）a1006 b2012 c503 d0考点：一般数列和三角函数的周期性（数列与三角函数的交汇）。（2012文17）(12分）在等差数列和等比数列中，的前10项和。（）求和；（）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。考点：等差数列，等比数列，古典概型（数列与概率的交汇）。解答：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 则 得：（），各随机抽取一项写出相应的基本事件有 共个 符合题意有共个 这两项的值相等的概率为五、典型考题分析1等差、等比数列的“基本量法”， 要求运算求解又快速又准确.例1（2012年高考（重庆理）在等差数列中,则的前5项和=（ b ）a7b15c20d25 【解析】,故. 【点评】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答. 例2（2012年高考（辽宁理）在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和s11=（b）a58b88c143d176【解析】在等差数列中, 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 例3（2012年高考（安徽理）公比为等比数列的各项都是正数,且,则（b）abcd【解析】 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、性质及综合应用,同时考查运算求解能力.解答时利用等比数列的性质快速又准确. 2数列知识与其他内容相结合，要求能力较高例4（2012高考四川文12）设函数，数列是公差不为0的等差数列，则（ d ）a、0 b、7 c、14 d、21【解析】f(x)-2=(x-3) 3+(x-3)是关于（3，0）对称的，f(a1)-2+f(a2)-2+.+f(a7)-2=14-2*7=0所以a4=3 a1+ a2+.+ a7=7a4=21【点评】本题主要考查等差数列性质与函数性质综合, 有一定的难度 例5（2012年高考（四川理）设函数,是公差为的等差数列,则（d）abc d 解析数列an是公差为的等差数列,且 即 得 【点评】本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力. 例6（2012年高考（上海理）设,. 在中,正数的个数是（d）a25.b50.c75.d100.解析 对于1k25,ak0(唯a25=0),所以sk(1k25)都为正数. 当26k49时,令,则,画出ka终边如右, 其终边两两关于x轴对称,即有, 所以+0 + =+ +,其中k=26,27,49,此时, 所以,又,所以, 从而当k=26,27,49时,sk都是正数,s50=s49+a50=s49+0=s490. 对于k从51到100的情况同上可知sk都是正数. 综上,可选d. 【点评】本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键. 3 等差数列与等比数列的综合应用 ，要求有严格的逻辑推证 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用，往往是破题的关键例7（2012年高考（四川理）已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.()求,的值;()设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.【解析】取n=1,得 取n=2,得 又-,得 (1)若a2=0, 由知a1=0, (2)若a2, 由得: (2)当a10时,由(i)知, 当 , (2+)an-1=s2+sn-1 所以,an= 所以 令 所以,数列bn是以为公差,且单调递减的等差数列. 则 b1b2b3b7= 当n8时,bnb8= 所以,n=7时,tn取得最大值,且tn的最大值为 t7= 【点评】本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 4数列的应用题，要求有应用意识解数列应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型例8【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.【解析】（）由题意得， .（）由（）得 .整理得.由题意，解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决。也可以转化等比数列（）解决5数列与其他的交汇，要求运算能力、逻辑推理能力较高并有创新意识数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等例9【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（）求数列的通项公式；（）设的前项和为，求。【解析】（i），得：当时，取极小值， 得：。（ii）由（i）得：。当时，当时，当时，得： 当时，当时，当时，。【点评】本小题是三角函数、导数与数列结合，考查综合解决问题能力。例10（2012年高考（四川理）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由. 【解析】(1)由已知得,交点a的坐标为,对则抛物线在点a处的切线方程为 (2)由(1)知f(n)=,则 即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a 当, 2n3+1 当n=0,1,2时,显然 故当a=时,对所有自然数都成立 所以满足条件的a的最小值是. (3)由(1)知,则, 下面证明: 首先证明:当0x