高考数学 第二章 第四节 指数、指数函数课件 理 苏教版.ppt

第四节指数 指数函数 1 根式 1 根式的概念 xn a 正 负 零 相反数 负数 2 两个重要公式 n为奇数且n n n为偶数且n n a必须使有意义 a a 2 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1 意义 a 0 m n均为正整数 a 0 m n均为正整数 2 运算性质 ar as a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 上述有理数指数幂的运算性质 对于无理数指数幂也适用 ar s ars arbr 3 指数函数的图象与性质 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 r 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 4 2 3 函数y a x是r上的增函数 4 函数y a 1 的值域是 0 解析 1 错误 没有意义 2 错误 底数为负数时 指数不能约分 3 错误 当a 1时函数是r上的减函数 当0 a 1时函数是r上的增函数 4 错误 因为x2 1 1 所以y a 即值域为 a 答案 1 2 3 4 1 化简 1 0的结果为 解析 1 8 1 7 答案 7 2 化简 x 0 y 0 得 解析 2x2 y 2x2y 答案 2x2y 3 当a 0且a 1时 函数f x ax 2 3的图象必过定点 解析 由a0 1知 当x 2 0 即x 2时 函数f x 的图象恒过定点 此时 f 2 2 即图象必过定点 2 2 答案 2 2 4 指数函数y 2 a x在定义域内是减函数 则a的取值范围是 解析 由题意知 0 2 a 1 即1 a 2 答案 1 2 5 函数y 的值域是 解析 1 x r y 0 答案 0 考向1指数幂的化简与求值 典例1 化简 1 2 思路点拨 将根式化为分数指数幂 负分数指数幂化为正分数指数幂 底数为小数的化成分数 然后运用幂的运算性质进行计算 规范解答 1 原式 2 原式 拓展提升 指数幂的一般运算原则有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 变式训练 1 计算 2 计算 3 已知 解析 1 原式 2 原式 3 4 m m 1 2 16 m m 1 14 m m 1 1 14 1 15 考向2指数函数图象的应用 典例2 已知函数y 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时函数有最值 思路点拨 将函数写成分段函数的形式 作出函数的图象 由图象可求单调区间及最值 规范解答 1 由已知可得 其图象由两部分组成 一部分是 y x x 0 图象如图所示 2 函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 当x 1时 函数y 取最大值1 无最小值 拓展提升 1 应用指数函数图象研究指数型函数的性质对指数型函数的性质 单调性 最值 大小比较 零点等 的求解往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 然后数形结合使问题得解 2 利用图象解指数型方程 不等式一些指数型方程 不等式问题的求解 往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 变式训练 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 解析 函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示 当k 0时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方程无解 当k 0或k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有惟一的交点 所以方程有一解 当0 k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同的交点 所以方程有两解 考向3指数函数性质的应用 典例3 1 函数y 的定义域为 值域为 2 已知f x a 0且a 1 讨论f x 的奇偶性 求a的取值范围 使f x 0在定义域上恒成立 思路点拨 1 解答本题主要利用指数函数的单调性结合二次函数的性质求解 2 先求函数的定义域 再判断奇偶性 对于恒成立问题 可借助函数的奇偶性 只讨论x 0的情况 规范解答 1 函数y 的定义域为r 令t 3 2x x2 则t x 1 2 4 由x r得t 4 因为y 在 4 上是减函数 所以y 答案 r 2 由于ax 1 0 则ax 1 得x 0 所以函数f x 的定义域为 x x 0 x r 对于定义域内任意x 有 f x 是偶函数 由 知f x 为偶函数 只需讨论x 0时的情况 当x 0时 要使f x 0 即即ax 1 0 ax 1 ax a0 又 x 0 a 1 因此a 1时 f x 0在定义域上恒成立 互动探究 本例题 1 中求函数的单调区间 解析 令u 3 2x x2 y 又当x 1 时 u为增函数 当x 1 时 u为减函数 又0 1 故y 在 1 上为减函数 在 1 上为增函数 拓展提升 利用指数函数的性质可求解的问题及方法 1 应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小 2 与指数函数有关的指数型函数的定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 与前面所讲一般函数的求解方法一致 只需根据条件灵活选择即可 变式备选 1 函数f x 的单调递减区间为 值域为 解析 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而y 在r上为单调递减 所以f x 在 2 上单调递减 又g x x 2 2 7 7 f x 答案 2 3 7 2 已知函数f x a 0且a 1 求f x 的定义域 讨论f x 的奇偶性 讨论f x 的单调性 解析 f x 的定义域是r f x f x f x 是奇函数 f x 设x1 x2是r上任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 当a 1时 0 从而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的增函数 当0 a 1时 0 从而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的减函数 易错误区 忽略对指数函数的底数的讨论致误 典例 2012 山东高考 若函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值为4 最小值为m 且函数g x 在 0 上是增函数 则a 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为a 1 未进行分类讨论从而求得错误答案 2 对条件 g x 在 0 上是增函数 不会使用 求得结果后未进行检验得到两个答案 规范解答 若a 1 有a2 4 a 1 m 此时a 2 m 此时g x 为减函数 不合题意 若0 a 1 有a 1 4 a2 m 故a m 检验知符合题意 答案 思考点评 1 指数函数的底数不确定时应分类讨论指数函数的底数不确定时 单调性不明确 从而无法确定其最值 故应分a 1和0 a 1两种情况讨论 2 根据函数的单调性确定其最值根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一 熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础 1 2013 徐州模拟 设x r f x 若不等式f x f 2x 2 答案 k 2 2 2013 济南模拟 设y1 40 9 y2 80 48 y3 1 5 则y1 y2 y3的大小关系为 解析 y1 21 8 y2 21 44 y3 21 5 1 8 1 5 1 44 21 8 21 5 21 44 y1 y3 y2 答案 y1 y3 y2 3 2013 扬州模拟 设a 1 若对任意的x a 2a 都有y a a2 满足logax logay 3 则a的取值范围是 解析 由logax logay 3 得xy a3 y 函数y 在 a 2a 上为减函数 a2 a a 2 答案 2 4 2012 上海高考 方程4x 2x 1 3 0的解是 解析 方法一 原方程4x 2x 1 3 0可化为 2x 2 2 2x 3 0 即 2x 3 2x 1 0 由于2x 0 x r 2x 3 0 即x log23 方法二 令t 2x 则t 0 原方程可化为t2 2t 3 0 解得t 3或t 1 舍去 即2x 3 x log23 答案 x log23 1 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x