2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数 本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=() A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2.设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.494.若变量x,y满足约束条件x+y-1,2x-y1,y1,则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.25.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.已知x-ax5的展开式中含x32的项的系数为30,则a=()A.3B.-3C.6D.-67.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772附:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4.8.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.99.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移0a.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)本小题设有,三个选做题,请考生任选两题作答.如果全做,则按所做的前两题计分.(本题满分6分)选修41:几何证明选讲如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(i)MEN+NOM=180;(ii)FEFN=FMFO.(本题满分6分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l:x=5+32t,y=3+12t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos .(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(ii)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.(本题满分6分)选修45:不等式选讲设a0,b0,且a+b=1a+1b.证明:(i)a+b2;(ii)a2+a2与b2+bb0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.()求C2的方程;()过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.21.(本小题满分13分)已知a0,函数f(x)=eaxsin x(x0,+).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点.证明:()数列f(xn)是等比数列;()若a1e2-1,则对一切nN*,xn0,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法二:同解法一知f(x)是奇函数.当x(0,1)时, f(x)=ln1+x1-x=ln2-(1-x)1-x=ln21-x-1.y=21-x(x(0,1)是增函数,y=ln x也是增函数,f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.解法三:同解法一知f(x)是奇函数.任取x1,x2(0,1),且x1x2,f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln(1+x1)(1-x2)(1+x2)(1-x1)=ln1-x1x2+x1-x21-x1x2+x2-x1.(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)0,(1+x2)(1-x1)0,01-x1x2+x1-x21-x1x2+x2-x11,f(x1)-f(x2)0, f(x1)f(x2),f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.评析本题考查函数单调性与奇偶性的判定以及对数运算法则等基础知识,属容易题.6.Dx-ax5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5-r-axr=(-a)rC5rx5-2r2.依题意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1C51=30,a=-6,故选D.7.C由正态分布N(0,1)的密度曲线的几何意义,知题图中阴影部分的面积为P(0x1)=120.682 6=0.341 3,故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341 310 000=3 413.故选C.评析本题考查正态分布的密度曲线,几何概型等基础知识,命题角度新颖,难度适中.8.B解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径.故PA+PC=2PO=(-4,0)(O为坐标原点).设B(cos ,sin ),PB=(cos -2,sin ),PA+PB+PC=(cos -6,sin ),|PA+PB+PC|=(cos-6)2+sin2=37-12cos37+12=7,当且仅当cos =-1时取等号,此时B(-1,0),故|PA+PB+PC|的最大值为7.故选B.解法二:同解法一得PA+PC=2PO(O为坐标原点),又PB=PO+OB,|PA+PB+PC|=|3PO+OB|3|PO|+|OB|=32+1=7,当且仅当PO与OB同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|PA+PB+PC|max=7.故选B.评析本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.9.Dg(x)=sin2(x-)=sin(2x-2).|f(x)|1,|g(x)|1,|f(x1)-g(x2)|2,当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2.不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k1+34(k1Z),x2=k2+4+(k2Z),|x1-x2|34-4+=2-.0,2,|x1-x2|2-.又|x1-x2|min=3,2-=3,即=6,故选D.评析本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生能准确地画图并理解题意.属中等难度题.10.A原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a2,0h2.于是h2=1-22a1,h=2-2a.令f(a)=V长方体=a2h=2a2-2a3,f (a)=4a-32a2,当f (a)=0时,a=223.易知f(a)max=f223=1627.材料利用率=16273122=89.故选A.二、填空题11.答案0解析02x-1)dx=12x2-x02=(2-2)-0=0.12.答案4解析由系统抽样方法知,应把35人分成7组,每组5人,每组按规则抽取1人,因为成绩在区间139,151上的共有4组,故成绩在区间139,151上的运动员人数是4.13.答案5解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,c2a2-(2b)2b2=1,c2a2=5,e=ca=5.14.答案3n-1解析设等比数列an的公比为q(q0),依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.15.答案(-,0)(1,+)解析当a1时, f(x)的图象如图所示,当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=3b,x2=b.综上,a(-,0)(1,+).三、解答题16.解析.证明:(i)如图所示.因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OMAB,ONCD,即OME=90,ENO=90,因此OME+ENO=180.又四边形的内角和等于360,故MEN+NOM=180.(ii)由(i)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FEFN=FMFO.(i)=2cos 等价于2=2cos . 将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. (ii)将x=5+32t,y=3+12t代入,得t2+53t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.证明:由a+b=1a+1b=a+bab,a0,b0,得ab=1.(i)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(ii)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b0,所以A0,4.于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.18.解析()记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意,A1与A2相互独立,A1A2与A1A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B1+B2.因为P(A1)=410=25,P(A2)=510=12,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=2512=15,P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=251-12+1-2512=12.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15+12=710.()顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由()知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以XB3,15.于是P(X=0)=C30150453=64125,P(X=1)=C31151452=48125,P(X=2)=C32152451=12125,P(X=3)=C33153450=1125.故X的分布列为X0123P6412548125121251125X的数学期望为E(X)=315=35.19.解析解法一:由题设知,AA1,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.()若P是DD1的中点,则P0,92,3,PQ=6,m-92,-3.又AB1=(3,0,6),于是AB1PQ=18-18=0,所以AB1PQ,即AB1PQ.()由题设知,DQ=(6,m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设n1=(x,y,z)是平面PQD的法向量,则n1DQ=0,n1DD1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=31(6-m)2+62+32=3(6-m)2+45.而二面角P-QD-A的余弦值为37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4,或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).设DP=DD1(00,因此AFM是锐角,从而MFD=180-AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.21.证明()f (x)=aeaxsin x+eaxcos x=eax(asin x+cos x)=a2+1eaxsin(x+),其中tan =1a,02.令f (x)=0,由x0得x+=m,即x=m-,mN*.对kN,若2kx+(2k+1),即2k-x0;若(2k+1)x+(2k+2),即(2k+1)-x(2k+2)-,则f (x)0.因此,在区间(m-1),m-)与(m-,m)上, f (x)的符号总相反.于是当x=m-(mN*)时, f(x)取得极值,所以xn=n-(nN*).此时, f(xn)=ea(n-)sin(n-)=(-1)n+1ea(n-)sin .易知f(xn)0,而f(xn+1)f(xn)=(-1)n+2ea(n+1)-sin(-1)n+1ea(n-)sin=-ea是常数,故数列f(xn)是首项为f(x1)=ea(-)sin ,公比为-ea的等比数列.()由()知,sin =1a2+1,于是对一切nN*,xn|f(xn)|恒成立,即n