2016届高考数学大一轮复习-第五章-数列同步练习-文.doc

2016届高考数学大一轮复习 第五章 数列同步练习 文第一节数列的概念与简单表示法1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an11，两式相减可得：2n52(n1)52，an2n1，n1，nN*.当n1时，7，a114，综上可知，数列an的通项公式为：an故选B答案：B4数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1，nN)，则数列an的通项公式是_解析：由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减，得an1an2an，an13an(n2)a22S113，a23a1，故数列an是首项为1，公比为3的等比数列an3n1.故填an3n1(n1，且nN)答案：an3n1(n1，且nN)已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写由递推关系式求数列的通项公式根据下列条件，确定数列an的通项公式：(1)a12，an1ann1；(2)a11，anan1(n2)；(3)a11，an13an2.解析：(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11，上式也成立an.(3)an13an2，an113(an1)，3，数列an1 为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.根据下列条件，确定数列an 的通项公式：(1)a11，an1an2n.(2)a11，an12nan.解析：(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，故an2.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法形如anpan1m(p、m为常数，p1，m0)时，构造等比数列；形如anan1f(n)(f(n)可求和)时，用累加法求解；形如f(n)(f(n)可求积)时，用累积法求解A级基础训练1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C答案：C2数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an()A2n1Bn2CD解析：设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时，an.答案：D3数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为()A5BCD解析：anan1，a22，anS2111102.故选B答案：B4(2014吉林普通中学摸底)已知数列an，an2n2n，若该数列是递减数列， 则实数的取值范围是()A(，6B(，4C(，5D(，3解析：数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，若数列是递减数列， 则，即6.答案：A5(2014安徽合肥二检)数列an满足a12，an，其前n项积为Tn，则T2 014()ABC6D6解析：由an，得an1，而a12，则有a23，a3，a4，a52，故数列an是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a41，所以T2 014(a1a2a3a4)503a1a215032(3)6.故选D答案：D6(2014海南三亚一模)在数列1,2，中，2是这个数列的第_项解析：因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，得n26.答案：267(2014天津六校第三次联考)数列an中， 已知a11，a22，an1anan2(nN*)，则a7_.解析：由已知an1anan2，a11，a22，能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.答案：18数列an的前n项和为Sn，且a11，Snnan，则an_.解析：当n2时，anSnSn1nan(n1)an1，anan1(n2)又a11，an1.答案：19数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解析：(1)当n4时，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)从第7项起各项都是正数10已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.求数列an与bn的通项公式解析：当n2时，anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n，当n1时，a1S14也适合，an的通项公式是an4n(nN*)Tn2bn，当n1时，b12b1，b11.当n2时，bnTnTn1(2bn)(2bn1)，2bnbn1.数列bn是公比为，首项为1的等比数列bnn1.B级能力提升1定义：称为n个正数P1，P2，Pn的“均倒数”若数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为()Aan2n1Ban4n1Can4n3Dan4n5解析：，2n1，a1a2an(2n1)n；a1a2an1(2n3)(n1)(n2)，当n2时，an(2n1)n(2n3)(n1)4n3；a11也适合此等式，an4n3.答案：C2下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是_解析：从题图中可观察星星的构成规律，n1时，有1个；n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；an1234n.答案：an3已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解析：(1)a12，anSnSn12n1(n2)anbn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn是递减数列4已知数列an的前n项和为Sn，且Snan1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)在数列bn中，b15，bn1bnan，求数列bn的通项公式解析：(1)当n1时，S1a1a11，所以a12.由Snan1，可知当n2时，Sn1an11，得an，所以an3an1，又a10，故an10，所以3，故数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以an23n1.(2)由(1)知bn1bn23n1.当n2时，bnbn123n2，b3b2231，b2b1230，将以上n1个式子相加并整理，得bnb12(3n23130)523n14.当n1时，31145b1，所以bn3n14(nN*)第二节等差数列及其前n项和1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.1等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列2等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知在等差数列an中，a27，a415，则前10项和S10()A100B210C380D400解析：因为a27，a415，所以d4，a13，故S101031094210.答案：B3(2014北京海淀区期末)若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6B7C8D9解析：a119，an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.答案：B4(2013重庆卷)若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.解析：设公差为d，2，a，b，c,9成等差数列，924d，d.又ca2d，ca2.答案：5在等差数列40,37,34，中，第一个负数项是_解析：a140，d37403，an40(n1)(3)3n43，令an0，即3n430，解得n，故第一个负数项是第15项，即a15315432.答案：2等差数列的基本运算1(2014福建卷)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8B10C12D14解析：因为S33a1d32d12，所以d2.所以a6a1(61)d25212.故选C答案：C2(2014天津卷)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_解析：由已知得S1a1，S2a1a22a11，S44a1(1)4a16，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，整理得2a110，解得a1.答案：3(2014福建福州一模)已知等差数列an，其中a1，a2a54，an33，则n的值为_解析：在等差数列an中，a2a52a15d5d4，所以d，又an(n1)33，解得n50.答案：504已知an2n27，则a1a4a7a3n2_.解析：由an2n27，知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而a1a4a7a3n2(a1a3n2)(6n56)3n228n.答案：3n228n等差数列基本运算的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想等差数列的判定与证明已知数列an满足：a12，an13an3n12n.设bn.证明：数列bn为等差数列，并求an的通项公式证明：bn1bn1，bn为等差数列，又b10.bnn1，an(n1)3n2n.1已知数列an中，a12，an2(n2，nN*)设bn(nN*)，求证：数列bn是等差数列证明：an2，an12.bn1bn1，bn是首项为b11，公差为1的等差数列2在数列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)证明数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式解析：(1)证明：将 3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列(2)由(1)可得13(n1)3n2，所以an.3(2014新课标全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解析：(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列等差数列的判定方法大全(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，anan1d(常数)(n2)；第二种方法是利用等差中项，即2anan1an1(n2)(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可等差数列的性质(1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0B37C100D37(2)(2014北京卷)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，即a80；而a7a10a8a90，故a9aaaaa6)，则数列an的项数n_.解析：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.答案：184在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解析：法一：a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即当n12时，an0，n14时，an60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解析：(1)设等差数列an的公差为d.a1，a2，a5成等比数列，aa1a5，即(a1d)2a1(a14d)，解得d0或d4.an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.由2n60n800及nN*得n无解；当an4n2时，Sn2n2，由2n260n800得n40.nN*，n的最小值为41.B级能力提升1数列an满足a11，an1ranr(nN*，rR且r0)，则“r1”是“数列an为等差数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当r1时，易知数列an为等差数列；由题意易知a22r，a32r2r，当数列an是等差数列时，a2a1a3a2，即2r12r2r，解得r或r1，当r时，an1，故“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件，选A答案：A2已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，bn，若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为_解析：依题意得bn1，对任意的nN*，都有bnb8，即数列bn的最小项是第8项，于是有.又数列an是公差为1的等差数列，因此有，即，由此解得8a0)，q2，S7127.答案：C3(2014重庆卷)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D答案：D4在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11_.解析：a7a125，a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.答案：255设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.解析：8a2a50，8a2a5，即8.q38，q2.11.答案：11等比数列的基本运算1(2014北京朝阳一模)在各项均为正数的等比数列an中，a12，a2a312，则该数列的前4项和为_解析：设等比数列an的公比为q，由a12，a2a312，则a1qa1q212，解得q2，故S430.答案：302(2014扬州中学期中测试)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_.解析：设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，得q24.又an的各项均为正数，q2.而Sk63，2k163，解得k6.答案：63已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：设数列an的首项为a1，公比为q，aa10,2(anan2)5an1，由得a1q，由知q2或q，又数列an为递增数列，a1q2，从而an2n.答案：2n4设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.解析：设an的公比为q，由题意得解得或，当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.1.等比数列基本运算方法(1)使用两个公式，即通项公式和前n项和公式(2)使用通项公式的变形：anamqnm(m，nN*)2等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q1与q1两种情况求解等比数列的判定与证明已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解析：(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知cnn1nan1n.1已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN*)证明数列an1是等比数列证明：由已知Sn12Snn5(nN*)可得当n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，当n1时，S22S115，即a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)故an112(an1)，对nN*恒成立，又a15，a110，从而2.所以数列an1是等比数列2已知等差数列an的前n项和为Sn，且a21，S1133.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求证：bn是等比数列，并求其前n项和Tn.解析：(1)依题意有解得，an.(2)证明：bnn，为常数bn是以为首项，为公比的等比数列，Tn1n.3已知数列an和bn满足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)证明：对任意实数，数列an不是等比数列；(2)证明：当18时，数列bn是等比数列证明：(1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比数列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列等比数列的判断与证明的常用方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数，且n2，nN*)，则an是等比数列；(2)中项公式法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列；(3)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定某连续三项不成等比数列即可等比数列的性质(1)(2014山东淄博期末)已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a22，则a1()ABCD2(2)(2014广东珠海质量监测)等比数列an共