非线性振动作业.doc

一、非线性振动介绍1. 意义人类生活在到处存在振动（包括波动）的物质世界中。振动不仅存在人的周围环境中，而且也存在于人体自身的许多器官及循环中。一方面，人类总是设法预防和限制以至于消除振动带来的危害；另一方面，人类也设法利用有用的振动来造福人类。振动的种类繁多，各式各样，存在于各个角落。例如建筑物和机器的振动，无线电技术和电工学中的振动，磁系中的振动，控制系统的振动，同步加速器与火箭发动机中的振动。此外，还有生物力学及生态学中的振动，化学反应中的振动，以及社会领域中的振动。自然界与工程技术部门中存在的振动可以分为显性振动和非线性振动。就机械振动而言，线性振动是指该系统中的恢复力、阻尼和惯性力分别是位移、速度和加速度的线性函数，即直角坐标系中它们之间的关系呈直线形式的变化，不具备上述关系的振动则称为非线性振动，自然界与工程技术中的振动绝大多数属于非线性振动这一类。随着工农业生产与科学技术的迅速发展，在工程技术部门中遇到的大量非线性振动问题亟待深入研究和解决。对这类问题的研究工作大致可分为以下三个方面的内容（1）非线性振动的机理；（2）非线性振动的抑制和控制；（3）非线性振动的利用。国内外的科技工作者对非线性振动的机理研究进行了大量的卓有成效的研究。但在工程技术部门仍然有许多非线性振动问题的机理研究还不够充分。在抑制与控制有害的非线性振动的研究方面取得了许多重要的研究成果，但也有大量问题需要解决。例如，重大机械设备屡屡产生严重的破坏事故，每一个事故的发生都会造成重大的经济损失，目前虽然已经研制出一些可进行在线监测和诊断的设备，但在准确性和可靠性上还没有达到理想的地步。加强对非线性振动抑制和控制的研究是一项很迫切的任务。2. 非线性振动问题的主要特点虽然线性振动与非线性振动均属于往复运动，其振动特性三要素：振幅、频率、相位有类似的定义，但非线性系统有其与线性系统截然不同的特征：（1）非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关 对于装有硬弹簧的硬式非线性系统，固有频率随着振幅的增大而增大；对于装有软弹簧的软式非线性系统，固有频率对振幅发增大而减小。（2）对非线性振动系统，叠加原理不适用 叠加原理是线性振动理论的重要组成部分与基础之一，即线性系统的两个解的和仍是该系统的解，如振型叠加法、模态分析与综合等。但在非线性系统中叠加原理不再适用。非线性系统的解法因问题而异，至今无统一的通用解法 （3）非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动，存在跳跃和滞后的现象非线性振动系统的共振曲线和线性振动系统有本质的区别。对线性系统幅频关系是一一对应的单值关系。而对于非线性系统，幅频关系在接近共振的一定区域中不是一一对应的，而是多值关系。 （4）某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不衰减 （5）强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 线性系统响应频率与干扰力频率相同，但在非线性强迫振动的响应中，除了含干扰力频率外，还包含整倍数或分倍数于干扰力频率的频率成分及组合振动。（6）多个简谐激振力作用下的组合振动 对于非线性系统，当系统作用有多个具有不同频率的激振力，例如两个激振力，则该系统不仅会出现频率为，的响应，而且会出现频率等于两个激振频率之和或者之差的组合频率的振动响应。 （7）存在频率俘获现象（8）非线性振动系统在一定条件会出现分叉现象与混沌运动3. 非线性振动问题的研究方法线性系统通常存在封闭形式的解析表达式，通常称为精确解。而非线性系统一般不存在封闭形式的精确解，只能求得“近似解”。非线性振动问题的研究方法大致可分为以下几种：此外，由于近二十年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性振动问题的解法向前推进了一大步。但是由于非线性振动问题的复杂性，彻底解决非线性问题，在数学和力学上仍存在一定的难度，因而直到现在仍然有很多问题亟待进行深入研究和解决。这些问题包括：（） 复杂非线性振动系统的建模、系统参数的识别方法与试验； （） 由流体或其他非线性因素激发的复杂非线性系统振动的机理；（） 多自由度强非线性振动问题的精确求解方法；（） 多自由度非线性振动系统的各种类型的分岔；（） 复杂非线性振动系统的混沌运动；（） 非线性振动系统失稳机理及系统的局部和全局稳定性；（） 时变（包括参变、慢变、时滞及瞬态过程）非线性振动系统的特性；（） 复杂非线性振动系统的自激振动；（） 带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；（） 非线性系统振动的不稳定性振动及其控制；（） 有关非线性振动的动态过程及其利用；（） 与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；（） 在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；（） 板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；（） 复杂建筑结构和大跨度桥梁在特殊载荷下的颤振与弛振；（） 复杂非线性结构的解耦和数值计算及优化方法。二、工程研究背景 许多工程结构在重载作用下会产生大幅变形进入非弹性状态，由于屈服的存在而呈现滞回特性。在周期运动中导致正向和反向运动时的恢复力-位移曲线形成滞回环。其效应表现为刚度的减小和能量耗散的增加。当外载荷对结构在拉压方向的作用性质一致时，两个方向上弹塑性变形过程相似，结构存在对称的滞回力，如受到对称反弯的金属梁，地震作用下的建筑结构等。相应的滞回模型也都是基于这种拉压对称性假设，如双线性模型、分布弹塑性元件模型、辅助微分方程模型等。 基于以上认识，可以认为在振动压实过程中，压实机构与物料相互作用的振动压实系统存在不对称的滞回恢复力。类似与双线性模型，对于不对称滞回力，也可以用分段线性的近似模型来描述。在一个运动周期内如果滞回过程耗散的能量近似不变，可知模型参数之间存在确定性关系。根据屈服点和正反峰值点的坐标可以容易的确定不对称模型中的有关参数。基于拟线性假设，不对称滞回力可以等效为线性弹复力和线性阻尼力两部分，方便工程应用。从本质上讲，我们这里所讨论的受压实物料的固有滞回性质与其它材料是一致的，只是由于振动压实过程中机构运动的特殊性，物料变形性质存在差异才引起了滞回性质的改变。事实上，对于某些特殊的各项异性材料，材料本身拉压变形性质不同，即使载荷对称，也可以形成不对称滞回环，如一些压电晶体材料。另一种典型情况则是尽管材料变形对称，但系统存在不对称的运动约束，如有间隙单侧支承下的梁。因此，对不对称滞回特性进行分析具有广泛的实际意义。三、问题的数学模型及要求具有不对称滞回分段线性刚度的振动系统(1)其中表示不对称滞回分段线性恢复力，其与位移的关系为：FxABC图1 不对称滞回分段线性力 模型中m为质量，c为阻尼系数，为激励幅值，为激励频率。求：(1) 滞回模型的数学表达式，重新画出滞回模型图，标出图中各段直线/曲线交接点的值(2) 系统响应，并作位移时间历程(3) 系统幅频特性，并作特性曲线(4) 幅值谱图1. 解析解法模型中m为质量，c为阻尼系数，k为刚度系数，为激励幅值，为激励频率。可用下面的方程表示： （2）变形为：（3）其中： （4）则原方程化为：（5）将方程写为如下形式：（6）其中：，令：，则方程可化为标准形式： （7）采用平均法求解 对于式（7），当时，方程（7）的派生系统为线性保守系统 （8） 此派生系统的自由振动解为 （9） 其中任意常数和取决于初始条件，将上式对微分一次，得到 （10）其中的和作为时间的函数，式（9）对时间微分，令；将式（10）对微分，代入方程（7）可以得出（11）其中： 把积分变量从x变为。因为，以为变量时周期为2，而且运动是周期的，所以令A点为0，则B点为，C点为。 （12）由式（11）导出微分方程：（13）得到平均化方程：（14）求得：（15）（16）其中：（17）得到： （18）消去下式中变量，导出受迫振动的幅值与频率之间的关系式，即系统的幅频特性。 （19）系统的幅频特性为： （20）相平面内的奇点，对应于系统的稳态响应，为以下方程组的解：其中：（21）（22）消去上式中变量，导出受迫振动的幅值与频率之间的关系式，即系统的幅频特性：（23）即：（24）其中： （25）由式（21）导出系统的相频特性：（26）取，代入式（24）和（26）求得和，再将之代入式（9），得此时系统时间历程如图2所示。图2 ，时时间历程曲线图3 ，时幅频特性曲线由图2可以看出，系统虽然为非线性系统，但系统的时间历程与线性系统的时间历程差别很小，仍为正弦曲线。图3为系统的幅频特性曲线，在共振峰处发生弯曲，体现了系统的非线性。图4为D=0.03，0=1，F0=1时系统幅频特性曲线随C变化情况，从图中可以看出在其他参数不变的情况下，系统幅频特性曲线的峰值随C的增大变大，在变化的过程中幅频特性曲线的骨架线保持不变。图4 D=0.03，0=1，F0=1时系统幅频特性曲线随C变化情况图5为C=0.1，0=1，F0=1时系统幅频特性曲线随D变化情况，从图中可以看出在其他参数不变的情况下，系统幅频特性曲线的峰值虽D的增大而减小，同时幅频曲线的骨架线朝着频率增大方向弯曲。图6为C=0.1, 0=1, D=0.03, 时幅频特性曲线随变化情况，系统幅频特性曲线的峰值随的增大而增大，幅频曲线的骨架线向频率增大方向偏移。图5 C=0.1，0=1，F0=1时系统幅频特性曲线随D变化情况图6 C=0.1，0=1，D=0.03，时系统幅频特性曲线随变化情况图7为C=0.1,D=0.03,0=1,时系统幅频特性曲线随e变化情况，系统幅频特性曲线的峰值随e的增大而减小，幅频曲线的骨架线向频率增大方向偏移。图7为C=0.1，D=0.03，0=1，时系统幅频特性曲线随e变化情况图8为C=0.1, D=0.03, 0=1, F0=1时系统幅值谱图2. 数值法求解采用龙格库塔法解此非线性系统的方程，为了和解析解保持一致，方程中参数取值如下：c=0.1，0=1，d=0.03，m=1，k=1，F=1。图9为c=0.1，0=1，d=0.03，m=1，k=1，F=1时系统幅频特性曲数值解系统幅频特性曲线，从图中可得系统的数值解虽然可以在一定频率范围内体现系统的幅频特性，但是在一定频率范围内解出现间断跳跃，不稳定，不能连成曲线，因此，虽然随着计算机的计算速度的发展，数值解迅速发展，应用越来越广泛，但是仍有其弱点，解析法有它不可替代的地方。图9 c=0.1，0=1，d=0.03，m=1，k=1，F=1时系统幅频特性曲线五、结论 在许多工程实际中，滞回环可以具有不对称的形状。分段线性不对称滞回模型中参数取决于屈服点、正向和反向峰值点的位置。在滞回耗散能量一定的情况下，加、卸载弹性刚度及塑性刚度存在着确定性的关系。四、附录1. 解析法画幅频特性曲线Maple程序restart; #msub(mi(ω,fontstyle = normal),mn(0) := 1; c := .1; d := 0.3e-1; e := .5; F := 1; G(as) := piecewise(as e K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3-k*x(i)+k*e)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d*(y(i)+h*l1/2)3-k*(x(i)+h*K1/2)+k*e)/m; K3=y(i)+h*l2/2; l3=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l2/2)-d*(y(i)+h*l2/2)3-k*(x(i)+h*K2/2)+k*e)/m; K4=y(i)+h*l3; l4=(P*cos(w*(t(i)+h)+c*(y(i)+h*l3)-d*(y(i)+h*l3)3-k*(x(i)+h*K3)+k*e)/m; elseif x(i)e K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3-k*x(i)+k*e)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d*(y(i)+h*l1/2)3-k*(x(i)+h*K1/2)+k*e)/m; K3=y(i)+h*l2/2; l3=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l2/2)-d*(y(i)+h*l2/2)3-k*(x(i)+h*K2/2)+k*e)/m; K4=y(i)+h*l3; l4=(P*cos(w*(t(i)+h)+c*(y(i)+h*l3)-d*(y(i)+h*l3)3-k*(x(i)+h*K3)+k*e)/m; elseif x(i)-e K1=y(i); l1=(P*cos(w*t(i)+c*y(i)-d*y(i)3-k*x(i)-k*e)/m; K2=y(i)+h*l1/2; l2=(P*cos(w*(t(i)+h/2)+c*(y(i)+h*l1/2)-d*(y(i)+h*l1/2)3-k*(x(i)+h*K