泰勒公式在若干数学分支中的应用.doc

泰勒公式在若干数学分支中的应用周小哲(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，是拉格朗日中值定理的一个推广，它包含了丰富的数学思想，包括：整体与部分，具体与抽象，近似与精确，虚与实，确定与不确定，已知与未知，一与多，变化与静止，简单与复杂的辨证关系，因此它为复杂的计算问题打开了简易之门，并且在数学、物理、经济等领域均有广泛的应用。本文章阐述了泰勒公式在各种数学分支的应用，并做了详细的归纳。例如本文介绍了泰勒公式在函数极限、函数极值、不等式证明、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等几个重要方面的具体应用，除此之外还对行列式计算、函数值的近似计算与误差估计以及金融数学债券定价作了介绍。由于泰勒公式的种种特殊性质，使泰勒公式在许多领域都有广泛的应用前景和推广价值，这无疑会给解决高等数学问题带来极大的方便。关键词：数学分析 泰勒公式 极限 应用Taylor Formula in certain mathematics branch applicationZhou Xiao zhe(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:The Taylor formula is in a mathematical analysis important formula,is a Lagrange theorem of mean promotion.It has contained the rich mathematics thought,including:Whole and part,concrete and abstract,approximate and precise,empty and solid,the determination and indefinite,known and unknown,one and many,change and static,simple and complex dialectical relations,so it has opened up the door of facility for difficult actuarial problem.It has very widely applications at mathematics,physics and economy domain.The text mainly expouds taylor formulas applications in sloving mathematics problem,and give reader particular sum up.Example the text mainly introduce taylor formulas application in limit of function,extreme value of function,proved some the inequality, The progression and the infinite integral collect the divergencejudgement, Definite integral computationIn addition, but also to the determinant computation, the functionvalue approximate calculation and the error estimate as well as thefinancial mathematics bond fixed price has made the introduction. Because Taylor formula all sorts of special nature, enable the Taylorformula all to have the widespread application prospect and thepromoted value at many domains, this can give the solution highermathematics question without doubt to bring enormous convenient.Key word: Mathematical analysis Taylor formula limit application 引言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似表示一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便，一般说来，在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算，如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对统一计算与证明等一系列问题都有重要意义。泰勒公式在各个数学分支中都起着无与伦比的作用，也为数学领域的许多问题开辟了道路，其实践意义是非常巨大的。在代数中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用微积分的方法计算行列式极为少见，本文从泰勒公式入手，引入利用泰勒公式展开式计算行列式的方法，以之丰富行列式的计算方法。在数学分析中，运用泰乐公式求极限有时会令较为繁琐的求解过程转化为简单明了的求解方法，除此之外，泰勒公式在函数极值、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等方面也有重要意义。在高等数学中，常常要证明一些不等式，应用泰勒公式证明不等式很方便，在欲证明的不等式中含有一阶以上导数一般可用泰勒公式，特别是在一直某点的函数值（或导数值）的情况。另外，在金融数学中，自20世纪90年代以来，VaR模型被广泛采用，在此模型中常见的计算方法参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算的。并且泰勒公式在债券定价中也发挥着不可替代的作用，它促进了分析问题，解决问题及综合运用知识能力的提高。一、泰勒公式首先，由导数定义可知函数在点处可导，则有 （1）若，则称当时为的高阶无穷小量。记作：由（1）式得则有即。即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量，然而取一次多项式逼近在很多时候是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并误差为，其中为多项式的次数，先讨论次多项式函数逐次求它在点处的各阶导数，得到 ，即=，=，=，, =.由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定。对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，有这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式，的各项系数称为泰勒系数。定理1.（泰勒定理）若函数在存在阶导数，则对于，有 （2）其中定理中（2）式称为函数f在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，记作，形如的余项称为佩亚诺型（Peano）余项. 特别是，当=0时泰勒公式的特殊形式：称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式 定理2.若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，,至少存在一点,使得 此式同样称为泰勒公式，它的余项为 =，=+，称为拉格朗日型余项。所以上式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 当=时得到称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。定理3 设函数在区间有阶连续导数，则 (3)换句话说，在这种情况下，泰勒公式的余项表示为 (4)(3)式称为带积分型余项的泰勒公式，(4)式称为积分形式的余项。特别地，当时，我们称之为带积分余项的马克劳林公式：在定理3中，对余项用积分中值定理可得这种形式的余项称为柯西型余项，我们得到了带柯西型余项的泰勒公式：，特别地，当时，我们称之为带柯西型余项的马克劳林公式：二、泰勒公式的应用：（一）泰勒公式在求极限方面的应用：对有些极限问题，利用泰勒公式是十分有效的方法，要比诸如洛必达法则、等价无穷小代换等方法来的更简便，因为洛必达法则虽然能成功的解决确定不定式的极限问题，但有时需要连续计算多次导数之比才见分晓，甚至不太好求。例1 求极限解：本题可用洛必达法则求解，而用此方法则令求解过程较为繁琐，那么我们可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，则用麦克劳林公式表示极限的分子（取） = = = 因而求得=例2 求极限 解：= 则（二）泰勒公式在求极值方面的应用 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，而求函数极值的方法有很多种，以下则是用泰勒公式来求高阶可导函数极值的方法。 现在，设函数 在的某邻域内存在直到阶导函数。且在处阶可导，而 由以上条件，可得在处的阶泰勒公式由于，因此 （1）此时分为奇数和偶数来求极值：1 当为偶数时，又因，故在的某个邻域中，与同号，所以当时，（1）式取负值，从而对于的某个邻域内有，即在处取最大值，同样对于，可得在点处取极小值。2 当为奇数时，由于的正负无法确定，由（1）知的正负也无法确定，因此在点处不取极值。通过以上的论证得出以下定理：定理4 （极值的第三充分条件）设在的某邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，则（i） 当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值。（ii） 当为奇数时，在不取极值。例3 求函数的极值。解：求此函数的一阶导数令，解得三个稳定点：0，3，5。求函数的二阶导数，二阶导函数在三个稳定点0，3，5的值分别是于是，3是函数的极大点，极大值是；5是函数的极小点，极小值是，在稳定点0暂不确定。求函数的三阶导数，三阶导函数在稳定点0的值：，于是稳定点0不是函数的极值点。（三）泰勒公式与定积分计算在计算定积分时，有的被积函数并非是初等函数，故用牛顿莱布尼兹公式是无法求出其精确值的，这时运用泰勒公式将其展开不失为一个好办法，借两个例子说明：例4 计算解：此题中并不是初等函数，故用泰勒公式将展开为：则 例5 求定积分的近似值。解：考虑的泰勒公式展开式：所以 因为，故误差（四）利用泰勒公式判断敛散性1、级数敛散性的判断例6 讨论级数的敛散性。分析：直接根据通项公式去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰与相呼应，会使判敛容易进行。解：因为所以故该级数为正项级数 ，又所以，收敛，由级数比较判别法知，原级数收敛例7判定级数的敛散性。解：因此从而有 ， 是关于的高阶无穷小，即 与同收敛。2.无穷积分敛散性的判断例8讨论无穷积分的敛散性。解：由泰勒展式得选取，因为而所以，由无穷积分敛散性判别定理可知收敛。例9 研究无穷积分的敛散性。解：利用马克劳林公式得因此，由于积分发散，用比较判别法知原无穷积分发散。（五）在近似计算与误差估计上的应用在实际工作中，测量或计算数据时，常常要求用比较简单的计算方法得到一定精度的计算结果，这就提出了近似计算问题，而通过泰勒公式来进行计算使近似计算与误差估计更加精确。在应用泰勒公式时，应注意选择适当的展开形式，有关近似计算的问题一般使用拉格朗日余项，另外根据具体需要还应对其项数进行适当的取舍，下面举例说明泰勒公式在近似计算方面的具体应用方法。例10 求的近似值：解 由于 ：可得到 ：此时误差 ：注：此题虽然也可用微分做近似计算，但因公式为得出的结果误差很大，而应用泰勒公式做近似计算，则可以根据具体误差要求来控制近似计算的精度。例11.（1）证明数的近似值其误差不超过,（2）证明为无理数.证明：（1）由于当时， 由于 当时，有 于是 （2）由两端乘以，现在证明是无理数，假设为有理数，设（是整数）当时，为整数，所以左端为整数，而右端则当时为非整数，矛盾，因此，只能是无理数例12 讨论以泰勒多项式来近似正弦函数的误差状况。解：正弦函数的拉格朗日余项有如下估计式：当 时，即以一次近似的表示正弦函数其误差为若要求误差不超过，即要求只须这就是说大约在原点左右10度范围内以来近似其误差不超过。当m=2时，即式中以三次多项式近似表示正弦函数如果同样要求误差不超过，由，有，因而有及在原点左右范围内的误差不超过，进一步讨论还可说明，用高次泰勒多项式近似表示函数不仅能提高精确度，且能在更大范围内表示所讨论的函数。如图就是正弦函数与其泰勒多项式(m=1,2,3,4,5)在原点附近差异情况。（六）泰勒公式与不等式的证明例13 当 时，证明：有多种方法可证明这个不等式，用泰勒定理证明也不失为一个好方法！证明：设，让在0点展开，并取，由于故 ， 则当 时，从而 .评注：利用泰勒公式证明不等式，首先就要将函数在某点处展开，展开到几阶根据需要或题目条件而定，选择哪种类型的余项也需根据需要而定。例 14 求证：对于任意，成立 证：利用带拉格朗日型余项的马克劳林公式（）可得 评注：上面的证明在用的带皮亚诺型余项的展开式时会更简单，证明中还用到了不等式,该不等式用分析法容易证明，这里不加证明。（七）泰勒公式与行列式计算在代数中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用微积分的方法计算行列式的极为少见，下面从泰勒公式入手，介绍利用泰勒展开式计算行列式的方法，以之丰富行列式的计算方法，也使得微积分学与代数学两大学科分支更加紧密联系起来。利用泰勒公式计算行列式的主要思路是：根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数值即可。现在通过例子来具体说明求解过程：例14 计算行列式的值解：记，将按泰勒公式在处展开：根据行列式的性质，对于任何，有，又根据行列式求导法则，有，所有在处的各阶导数为,从而若，则；若，则（八）泰勒公式在金融数学中的应用1.在VaR计算中的应用VaR模型，自20世纪90年代被引入到风险管理中，已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具，VaR模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法，其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算，并且依据函数展开阶数的不同，分为delta类方法和gamma类方法。考虑一个投资组合，其中，表示第种资产的投资权重。时刻所有资产的价值向量，组合的价值为，在下一个时段内，组合价值变动为，假设每种资产价值都由个市场因子确定，且这个市场因子服从联合正态分步，则按照一阶泰勒展开得由此得出delta参数法；若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开，则得gamma参数法。2在债券定价中的应用在债券的定价及投资组合风险值的计算中，平均期限是一个重要的概念，它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度。5一个20年期的债券也许只有17年的平均期限。这意味着，如果利率上升2%，该债券价格将下跌34%；而利率下跌1%时，债券价格则上升17%。若每次用VaR模型来进行计算，工作是十分烦琐的。举例来说，现有一个5年期的票面金额为100美元的债券，年利息为10美元。计算当利率从10%变化到11%或15%时，债券的价格变化如下表：利率10%11%15%利息10美元10美元10美元期限5年5年5年贴现因子年金因子3.7913.64733.3520零息票部分62.09美元59.88美元49.72美元年金37.91美元36.47美元33.52美元债券价格100美元96.35美元83.24美元麦考雷（Macaulay）利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3.791。用平均期限法的预计相对