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利用空中平均重力异常确定区域大地水准面 孙 中 苗 总参测绘研究所 西安 710054 摘要 提出了直接利用空中平均重力异常计算区域大地水准面的方法 模拟计算的结果 表明 该方法与传统的利用地面平均空间重力异常确定的大地水准面精度相当 但其显著优 点是勿需空中重力异常的向下解析延拓 从而可以避免延拓误差对大地水准面精化的影响 关键词 空中平均重力异常 区域大地水准面 航空重力测量 分类号 P228 42 利用Stokes 积分确定大地水准面仍是目前局 部重力场逼近的主要方法之一 在计算Stokes 积分 时通常采用的是地面格网的平均重力异常 随着 航空重力测量技术的发展 有可能以较高的精度获 取某一高度层上的空中平均重力异常 11 2 2 在利用 这些数据精化大地水准面时 常常是依据一定的延 拓方法将其向下延拓至地面 构成惯常使用的地面 格网平均重力异常 但这样做不仅会因延拓误差 的影响损失大地水准面的确定精度 而且为尽可能 减弱这种影响 必须选择或研究一种性能良好的空 中重力异常的向下延拓方法 尽管向下延拓方法 的研究已取得一些突破 13 42 但延拓精度仍局限于 3 5 10 5ms 2 为避免向下延拓及由此带来 的精度损失 本文作者提出了直接利用空中平均重 力异常精化区域大地水准面的方法 基于不同高度 层上的模拟空中平均重力异常 对该方法的精度及 可行性进行了分析比较 1 大地水准面高的定义 如图 1 所示 设 P0为大地水准面 W W0 上的一点 沿参考椭球面 U W0 法线将其投影 到椭球面上的 Q0点 则 P0和 Q0之间的距离称为 大地水准面高 通常以 N 表示 图1 收稿日期 1999 05 07 若 P 是空中测量面上的一点 并假设空中测量面 为一地球等位面 W Wp 同时 有一椭球等位面 U Wp 若过 P 点的铅垂线和椭球等位面相交 于Q 则说 Q 点对应于P 点15 2 由于水准面 W Wp和U Wp的关系 与大 地水准面 W W0和参考椭球面 U W0的关系 完全一样 因此 只要测得 P 的重力异常 gp gp CQ 就可由 gp按Stokes公式计算 P Q 间的距离Np 2 大地水准面计算的数学模型 球面上任意一点 P 的扰动位T 可以表达 为 152 T P R 4PQ 2P 0Q P 0 g W A S W sinW dW dA 1 式中 R 是地球平均半径 g 是平均 地面或空 中 重力异常 W系计算点P 与流动点间的球面 距离 S W 是 Stokes 函数 由下式给出 S W 1 s 6s 4 10s2 3 1 2s2 ln s s2 其中 s sin W 2 根据 Bruns 公式及 1 式 大地水准面高为 N P T P C R 4PCQ 2 P 0Q P 0 g W A S W sinW dW dA 2 第16 卷第4 期 1999年 12月 解 放 军 测 绘 学 院 学 报 Journal of the PLA Institute of Surveying and Mapping Vol 16 No 4 Dec 1999 式中 C是地球平均正常重力 从 2 式可以看出 要确定大地水准面高 必 须已知全球范围的重力异常 但在实际中只能得 到某一局部范围内的重力数据 因此通常采用高 阶地球位模型与局部重力数据相结合的方法 对 2 式进行计算 即 N NM Ng 3 这里 NM为利用地球重力位模型计算的大地水 准面的中长波分量 Ng为利用局部重力数据计 算的短波分量 NM a2 r E Nmax n 2 a r n E n m 0 C nmcosmK SnmsinmK Pnm cosH 4 Ng R 4PCQ RcQ D gS W dR 5 D g g gM 6 gM GM r 2E Nmax n 2 a r n n 1 E n m 0 C nmcosmK SnmsinmK Pnm cosH 7 上述诸式中各符号意义如下 a 为地球赤道半 径 r 为计算点 地面点或空中点 的地心向径 C nm Snm为完全正常化位系数 Pnm cosH 为完 全正常化缔合勒让德函数 C为全球正常重力平 均值 GM 为引力常数与地球质量的乘积 Nmax为 地球重力场模型展开的最高阶数 3 NP向N 的归算 如前所述 由空中重力异常 gP 按 3 式可 求出空中测量面与椭球等位面之间的距离 NP 但欲由此求出相应的大地水准面高 N 尚需对 NP进行归算 由布隆公式 N T C 可得15 2 5N 5h 5 5h T C 1 C 5T 5h 1 C 2 5 C 5hT 1 C 5T 5h 1 C 5 C 5hT 由于 g 5T 5h 1 C 5 C 5hT 故 5N 5h g C 8 将NP按泰勒级数展开 略去二次以上的高阶 项 得 Np N 5N 5hh 即 N Np 5N 5hh 将 8 式代入 得 N NP g Ch 9 此式即为 NP向N 的归算公式 4 地面平均空间重力异常的向上延拓 由地面平均空间重力异常计算高度为 h 的空 中平均重力异常 可采用如下平面近似的 Poisson 积分公式16 2 gP h gP0 h 2PE g gP0 1 l3dR 10 式中 h 为计算点至地平面高度 即向上延拓高 度 gP h 为空中重力异常 gP0为与 P 点相 应的地面点的重力异常 g 为面积元 dR处的5c 5 c 平均重力异常 l 为 dR至计算点的距离 l s2 h2 s 2Rsin W 2 W cos 11sinU sinU c cosUcosU ccos K c K 2 式中 U K U c K c 分别是计算点与流动点 的大地经纬度 5 数值计算试验 试验区为中等山区 地面有密集重力测量构 成的 5 c 5c平均重力异常 范围为10 b 11b 本文 作者按 10 式模拟计算了500 4000m 中 8个不 同高度上的空中平均重力异常 所用积分半径为 1b 因此空中重力异常的有效范围为 8 b 9b 为便 于比较 地面重力异常也取成相同的范围 由 3 7 式和 9 式 利用不同高度的模拟空中重力 异常 可分别计算出某 3 b 3 b区域内 5c 5 c 格网 中心点的大地水准面高 采用 360阶EGM 96 地球 重力位模型 利用不同高度的空中重力异常与利 用地面重力异常求得的相应大地水准面高的比较 结果列于表1 242 解放军测绘学院学报1999 年 表 1 空中与地面重力异常所求大地水准面高之比较 高度 km 差值均值 m 最大差值 m 最小差值 m 均方根差 m 标准偏差 m 0 5 0 0040 011 0 022 0 008 0 007 1 0 0 0090 022 0 043 0 017 0 014 1 5 0 0130 031 0 062 0 024 0 021 2 0 0 0180 040 0 079 0 032 0 027 2 5 0 0220 051 0 096 0 040 0 033 3 0 0 0270 062 0 113 0 048 0 039 3 5 0 0320 073 0 134 0 056 0 046 4 0 0 0360 084 0 154 0 063 0 052 由表 1 可见 利用不同高度的空中平均重力 异常计算的大地水准面高与利用地面重力异常计 算的大地水准面高相比较 两组数据残差的均方 根差均小于 10 cm 6 结束语 文中利用平面近似的 Poisson 积分公式 按不 同高度将范围为 10 b 11b的地面 5 c 5c平均重力 异常向上延拓 模拟了 8 个不同高度层上的范围 为8b 9b的 5 c 5c空中格网平均重力异常 利用 这些数据计算了某 3 b 3b区域 5 c 5c格网中心点 的大地水准面高 通过比较可以得出如下初步结 论 1 在航空重力测量高度下 离地面高度通常 小于 2 km 直接利用空中平均重力异常计算大 地水准面是可行的 这种方法只需进行简单的数 值归算 而避开了空中重力异常向下延拓的困难 和麻烦 2 文中假设空中测量面为一平面 这对局部 范围而言影响不大 但与航空重力测量实际测量 面之间仍存在差异 因此应予以顾及 3 模拟的不同高度层上的平均空间重力异 常 不仅含有地面数据的误差 也包含向上延拓误 差的影响 而实际测量数据中除测量误差外 没有 向上延拓误差的影响 因此 利用空中测量数据 计算大地水准面的精度有望得到进一步提高 致谢 石磐研究员对本文提出了建设性意见 作者在此致以衷 心感谢 参 考 文 献 1 Klingele E E Bagnaschi L etc Airborne Gravimetric Surveys of Switzerland First Results Eidgenossische TH Zurich Institut fuer Geodaesie und Photogrammetrie IGP Publication Juni 1994 2 Harrison J C Macqueen J D etc The LCT Airborne Gravity System Presented at the IAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination IUGG General Assembly Boulder Co l orado July 1995 3 Forsberg R Kenyon S Downward Continuation of Airborne Gravity data Presented at the IAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination IUGG General Assembly Bou l der Colorado July 1995 4 石磐 王兴涛 利用航空重力测量和 DEM 确定地面重力 场 测绘学报 1997 26 4 5 Heiskanen W A Moritz Physical Geodesy Freeman compa ny San Francisco London 1969 6 石磐 孙中苗 球内Dirichlet 问题解及其应用 测绘学报 1999 28 3 The Determination of Regional Geoid with Aerial Mean Gravity Anomalies Sun Zhongmiao Abstract The aerial mean gravity anomalies in a certain attitude can be given by airborne gravimetry A method of directly determining the regional geoid with the mentioned data is advanced in this paper The simulative results indicated that the geoid heights computed from the airborne gravity data matched in precision those computed using ground mean gravity data But it has distinct advantage that downward continuat