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第四节第四节 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 连续型随机变量的一切可能取值是充满某个区间 在这个区间上有无穷不可列个 a b 实数 因此描述连续型随机变量概率分布不可能再用分布律的形式来表示 而要改用概率密 度来表示 下面给出概率密度的定义 一一 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 1 定义 定义 定义定义 1 若对于随机变量X的分布函数 存在非负函数 f x 使得对于任意实数 有 x x F Xf t dt 则称X为连续型随机变量连续型随机变量 其中 f x称为X的概率密度函数 概率密度函数 2 概率密度函数的基本性质 概率密度函数的基本性质 由分布函数的性质即可验证任一连续型随机变量的概率密度 f x必具有下列基本性 质 1 非负性 非负性 0f x 2 正则性 正则性 1f x dx 3 若 f x在点 处连续 则有 x Fxf x 4 对任意实数 有 12 xx 12 xx 2 1 1212 x x P xXxF xF xf x dx 性质 1 与 2 是概率密度函数必须具有的性质 也是确定或判别某个函数是否成为 随机变量X的概率密度函数的充要条件 例如 已知某个函数 f x为X的概率密度函数 若 f x中含有待定常数 则该常数就可以利用正则性来确定 例例 1 已知随机变量X的概率密度函数为 21 0 cx f x 其它 其它 1 4 试求常数 c 解 解 由概率密度函数的正则性知 因为 1 1 1 2f x dxc dxc 1 所以得 4c 即得 1 4 c 由性质 3 则在 f x的连续点处有 00 limlim xx F xxF xP xXxx f x xx 而这恰与物理学中的线密度的定义相类似 这也就是为什么称 f x为概率密度的来由 由 此还可以得到 若不计高阶无穷小 有 P x Xxxf xx 这表示随机变量 X落在小区间 上的概率近似地等于 xxx f xx 也称 f xx 为概率微分 f x的值的大小直接影响关系到概率的大小 所以 f x的确描述了连续型随机变量的概 率分布的情况 性质 4 具有明显的几何意义 随机变量X落在小区间 上的概率 恰好等于 在区间 上由曲线形成的曲边梯形的面积 如下图中的阴影部分 12 xx 12 12 xx yf x 1 x 2 x 0 f x y f x x 图 1 随机变量落在 上的概率 X xx 从而概率密度函数的正则性表明 整个曲线 yf x 以下 轴以上 的面积为1 x 二二 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数 定义定义 2 若定义在 的可积函数 f x 满足 1 0f x 2 1f x dx 则称 x F Xf t dt 为连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数 X 可以验证 F x具备了分布函数的性质 1 F x是不减的函数 2 0 1F x 3 F x是 右 连续的 例例 2 已知随机变量的概率密度函数为 X 03 234 2 0 kxx x f xx 其它 其它 1 确定常数k 2 求的分布函数 3 求 X 7 1 2 PX 解 解 1 由概率密度函数的正则性知 因为 34 03 1 2 2 x f x dxkx dxdx 所以得 1 6 k 于是的概率密度为 X 03 6 234 2 0 x x x f xx 其它 其它 2 由分布函数的定义 当时 0 x 0 x F xf x dx 当03时 x 2 0 61 x xx F xdx 2 当时 34x 34 2 03 2 32 62 xx F xdxdxx 4 x 当时 4x 34 03 2 1 62 xx F xdxdx 综上所述 得的分布函数为 X 2 2 00 03 12 3234 4 14 x x x F x x xx x 3 77 1 1 22 PXFF 41 48 0 x dx 由密度函数求分布函数的关键是 分布函数是一种 累积 概率 所以在计算积分时要 注意积分限的合理运用 需要指出的是 虽然连续型随机变量的概率密度函数与离散型随机变量的分布律所起的 作用是类似的 但它们之间还存在着明显的差别 具体有 1 离散型随机变量在其可能取值的点上的概率不为0 而连续型随机 变量在 上任一点a的概率恒为0 即 X 12 n xxxLLLL X a a P Xaf 这表明 不可能事件的概率为0 但概率为0的事件不一定是不可能事件 类似地 必 然事件的概率为1 但概率为1的事件不一定是必然事件 据此 在计算连续型随机变 量落在某一区间的概率时 可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间 例如有 P aXbP aXbP aXb 2 离散型随机变量的分布函数 F X 是右连续的阶梯函数 而连续型随机变量 F X 一 定是整个数轴上的连续函数 因为对任意点的增量xx 相应分布函数的增量总有 0 xx x F XxF Xf x dxx 0 特别要指出的是 一个随机变量除了离散型与连续型外 还有其它的类型 但本书中 只讨论两类重要的随机变量 即离散型与连续型随机变量 二二 几种常见的连续型随机变量的分布几种常见的连续型随机变量的分布 1 均匀分布 均匀分布 若连续型随机变量具有概率密度X f x为 1 0 axb f xba 其它 其它 则称在区间 上服从均匀分布均匀分布 或等概率分布或等概率分布 记为X a b XU a b 显然 f x满足 0f x 且 1f x dx 服从均匀分布的随机变量具有如下性质 落在区间 中任意等长度的子区间的 可能性是相同的 即它落在子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 X a b 事实上 设 则 c da b 1 dd cc dc P cXdf x dxdx baba 即落在 内的概率只与 的长度有关 而与 在 中的位置无关 X c d c d c d a b 由分布函数定义可得 若服从均匀分布 则的分布函数为 XX 0 F 1 xa xa xaxb ba xb 由题意 所以的概率密度为 0 10 XU X 1 01 10 0 x f r 其它 故有 5 10 5 1 5 0 10 pP Xdx 5 于是得 34 445 3 1 1634 P Yppp 2 指数分布 指数分布 若连续型随机变量具有概率密度X f x为 1 0 0 x ex f x 其它 其它 其中0 为常数 则称服从参数为X 的指数分布 指数分布 记为 XExp 0 x b MM a f x1 ba 1 ab0 F x x 显然 f x满足 0f x 且 1f x dx 服从指数分布的随机变量具有如下性质 对任意 有 s t 0 P XstXsP Xt 事实上 PXstXs P XstXs P Xs I I t 1 e e 1 e s t s P XstF st P X P XsF s t 指数分布的这种性质称为无记忆性 无记忆性 若设是某一元件的寿命 则上式表明 元件对它已 使用过s小时没有记忆 指数分布的这种无记忆性成为指数分布能得以广泛应用的重要原 因 X 由分布函数定义可得 若服从指数分布 则的分布函数为 XX 10 0 x ex F x 其它 其它 指数分布的密度函数与分布函数的图形读者自行完成 例例 4 假设一电气设备启动时出故障的概率为0 0 但是启动后无故障工作的时间服从 参数为0 0的指数分布 01X 1 试求试求的分布函数 X 解 解 由题意 启动后无故障工作的时间的概率密度为 X 0 01 0 010 0 x ex f x 其它 其它 又由题意 设备启动时出故障 实际上表明 设备无故障工作的时间 故 0X 当 时 显然 0 x 0 0 F xP XxP XPXx 0 001 0 0 P Xx XP X 0 010 01 0 001 1 10 001 10 999 xx ee 所以得的分布函数为 X 0 01 19 9990 0 x ex F x 其它 其它 3 正态分布 正态分布 正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布 高斯 Gauss 在研究误差理论时首 先用正态分布来刻划误差的分布 所以正态分布又称为高斯分布 本书的第五章的中心极限 定理表明 一个变量如果是由大量微小的 独立的随机因素的叠加结果 那么这个变量一定 是正态变量 因此很多随机变量可以用正态分布描述或近似描述 譬如测量误差 产品重量 人的身高等等都可以用正态分布描述 1 正态分布的密度函数和分布函数 正态分布的密度函数和分布函数 若连续型随机变量具有概率密度X f x为 2 2 2 1 2 x f xex 则称服从参数为X 的正态分布 正态分布 记为 2 XN 显然 f x满足 0f x 且 1f x dx 正态分布的密度函数图形如下 图 3 正态分布的密度函数 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线 其特点是 两头小 中间大 左右对 称 整个概率密度曲线都在轴的上方 x f x以轴为渐近线 并在x x 处达到最大 值 1 2 f x 为 f x的两个拐点的横坐标 由图 4 可以看出 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 图 4 对不同的 的正态分布的密度函数 从图 4 的左图中可以看出 如果固定 改变 的值 则图形沿轴平移 而不改变其形状 也就是说 正态分布的密度函数的位置由参数 x 所决定 因此亦称 为位置参数 位置参数 从图 4 的右图中可以看出 如果固定 改变 的值 则 愈小 曲线呈高而瘦 愈大 曲线呈矮而胖 也就是说 正态分布的密度函数的尺度由参数 所决定 因此亦称 为尺 度参数 尺 度参数 由分布函数定义可得 若 2 XN 则的分布函数为 X 2 2 2 1 2 t x F xedtx 它是一条光滑上升的S形的曲线 见图 5 图 5 正态分布的分布函数 2 标准正态分布 标准正态分布 称0 1 时的正态分布为标准正态分布 标准正态分布 记为 XN 0 1 其概率密度 函数和分布函数分别用 xx 表示 即有 2 2 1 2 x xex 2 2 1 2 x t xedtx P aXbba 2 1P Xcc 例例 5 设 利用附表 求下列事件的概率 0 1 XN 1 1 52 1 52 0 9357P X 3 1 52 1 1 52 10 93570 0643P X 4 0 751 52 1 52 0 75 1 52 1 0 75 0 7091PX 5 1 52 2 1 52 10 8714P X 3 一般正态分布的标准化 一般正态分布的标准化 一般 若 2 XN 则只要通过一个线性变换就能将其化为标准正态分布 定理定理 若 2 XN 则 0 1 X ZN 证明 证明 由分布函数定义可知 X Z 的分布函数为 X P ZxPxP Xx 2 2 2 1 2 tx ed t 令 t u 则得 2 2 1 2 x u P Zxedux 易知 0 1 X ZN 由以上的定理 我们可以得到一些在实际中有用的计算公式 即若 2 XN 则有 cP Xc ba P aXb 例例 6 设随机变量 2 108 3 XN 试求 试求 1 102117 PX 2 常数