浅论抽象函数的对称性及应用.doc

浅论抽象函数的对称性及应用 麻城实验高中 阮 晓 锋 函数是中学数学教学的主线，是整个高中数学的基础。作为函数的一个性质，对称性充分体现了数学之美。对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，利用它还往往能使数学问题得到简捷解决。本文拟从函数自身与两不同函数之间两方面来探究抽象函数的对称性。 一、函数自身的对称性探究定理1：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2ax) = 2b， 也可以写成或.证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点， 点P(x,y)关于点A (a ,b)的对称点P（2ax，2by）也在y = f (x)图像上， 2by = f (2ax) 即y+ f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故点P（2ax0，2by0）也在y = f (x) 图像上 而点P与点P关于点A (a ,b)对称 y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称。 综上知定理得证。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (x) = 0推广：若函数定义域为，且满足条件：（为常 数），则函数的图象关于点对称。定理2 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 也可以写成 f (a +x) = f (ax)或 。证明：先证充分性 设点在上，通过可知， 即点上，而点与点关于x=a对称 再证必要性 任取y=f(x)图像上的一点，它关于x=a对称的点为 函数y=f(x)的图象关于x=a对称 点也在函数y=f(x)的图象上 故有恒成立。 综上知定理得证。 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (x) 推广：若函数 y = f (x)满足条件，则函数关于直线 对称 结论：若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。二、两个不同函数对称性的探究定理3：若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（可记作由解得）。证明：设P()是y=f(a+x)图像上的任意一点，则=f(a+)=fb-(b-a-) 点P (b-a-,)在函数y=f(b-x)的图像上 而点P(）与点P(b-a-,)关于直线x=对称 同理可证函数y=f(b-x)图像上的任一点关于直线x=的对称点在y=f(a+x)图像上 故定理得证。推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与 图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称推论4： 函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。证明：设设P()是y=f(a+x)图像上的任意一点，则=f(a+)=fb-(b-a-) c-fb-(b-a-)=c- 即点P(（b-a-，（c-）在函数y=c-f(b-x)的图像上 而点P()与点P(（b-a-，（c-）关于点对称 同理可证y=c-f(b-x)图像上任意一点关于点的对称点在y=f(a+x)图像上 故定理得证。推论1： 函数与函数图象关于点对称。推论2： 函数y = f (x)与y = 2bf (2ax)的图像关于点 (a ,b)成中心对称。定理5 函数y = f (x)与ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f (x)与xa = f (a+y)的图像关于直线xy = a成轴对称。现证定理5中的设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P(x0 ,y0 )关于直线xy = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1= a + y0, y1= x0ax0= a + y1, y0= x1a 代入y0 = f (x0)之中得x1a = f (a + y1)点P（x1， y1）在函数xa = f ( a+y)的图像上。同理可证：函数xa = f (y + a)的图像上任一点关于直线xy = a的轴对称点也在函 数y = f (x)的图像上。故定理5中的成立。推论1：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称，即互为反函数 的函数与函数图象关于直线对称。定理6：函数y=f(x+m)与y=2a-f(x+m)关于直线对称。 推论：函数与图象关于X轴对称。3 函数对称性应用举例题型一、抽象函数的对称轴1、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ A ） A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4) C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)2、 设函数y= f(x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1x)的图象关于（ D ） 对称。 A.直线y=0 B.直线x=0 C.直线y=1 D.直线 x=1题型二、抽象函数的对称中心1、 已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增. 如果，且，则的值（ A ） A.恒小于0 B.恒大于0 C可能为0 D可正可负2、 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间 （D ） A,关于直线x5对称 B.关于直线x1对称 C.关于点（5，0）对称 D.关于点（1，0）对称 四。练习题1. 已知函数的图象过点（3，2），则函数的图象关于x轴的对称图形一 定过点（ ）A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2） D. （4，-2） 2.若xR，恒有成立，当时,则=( )A. B. C.- D.3.已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则（ ）A. B. C. D. 4.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称， 则关于有下列命题：（1）的图像关于原点对称；（2）为偶函数；（3） 的最小值为0；（4）在（0，1）上为减函数。 其中正确命题的序号为：_。5. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f