模型与建模.doc

第一章 数学模型 一. 模 型为了一定的目的，人们对原型的一个抽象例如: 航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。例1：牛顿定律物体受外力作用时，物体所获加速度大小与合外力的大小成正比，并与物体质量成反比，加速度方向与合外力方向相同。DACBABCD引入变量 x(t)表示在t时刻物体的位置，F表示合外力大小，m表示物体质量。则受力物体满足如下运动规律，数学模型例2：哥尼斯堡七桥问题问题：能否从某地出发，通过每座桥恰好一次，回到原地？由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。三. 数学模型的特征1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。第二章 数学建模举例数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。下面给出几个数学建模的例子，重点说明：如何做出合理的、简化的假设；如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。 例 1. 管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.参量、变量： W ：带宽，C：圆管截面周长，q：倾斜角（倾斜角）包扎模型 （截口）包扎模型 进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M.带长模型 问题:1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001) 例2. 桌子摆放问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。假设：1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。2.地面的起伏是连续变化的。3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。参数，变量。1. 如何描述“桌子的四个脚同时着地”？记 xA ， xB、 xC、 xD分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。则 当xA =xB= xC=xD =0时，桌子的四个脚同时着地。2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？ 定位：桌子的对称中心O位于平面坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 记q为 AC与X轴的夹角, 则可用q表示桌子移动的位置。q0. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。令 f(q)= xA(q ) + xC(q ), g(q)= xB(q )+ xD(q )如果在位置 q*桌子四脚落地, 则有 f(q*) = g(q*) = 0.根据假设 2 知 f(q) 和 g(q)是连续函数，根据假设 3 有 f(q) g(q)0， q.根据假设1有 f(q1)=g(q0) 和 g(q1)=f(q0), 其中 q1=q0+ 900模型：已知f(q) 和 g(q)是连续函数，f(q) g(q)0， q. 若 f(q0) = 0, g(q0) 0, 则存在q*使得f(q*) = g(q*)=0。证明：因为 f(q1)=g(q0)0, g(q1)=f(q0)=0, 其中q1=q0+ 900令 h(q) = f(q) - g(q), 则 h(q) 连续且 h(q0) 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在q*, q0q * q1, 使得 h(q*) =0. 又由f(q*) g(q*)0，得f(q*) = g(q*)=0。问题：1. 将例2的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。例 3：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？ 假设1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。2. 车距相同，启动延迟时间相等。3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。4. 秩序良好，不堵车。参数，变量： 车长L，车距D，加速度a，启动延迟T， 在时刻 t 第 n 辆车的位置 Sn（t）用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当Sn(30)0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。模 型1.停车位模型： Sn（0）=(n-1)(L+D)2. 启动时间模型: tn =(n-1)T3. 行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, ttn参 数 估 计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s解: Sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1)20 得 n19 且 t19=18tn* =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*ttn = Sn(0) tnt解：Sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1)0 得 n17 且 t17 * =5.5+16=21.530=t 成立。结 论: 该路口最多通过17辆汽车. 问题1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。 10. 调查的位置，走向，车道数，时间。 调查数据（至少三次）： 绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。 20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。 30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。例 4：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。假 设1. 有一排k间教室，走道只有一个出口。 2 .人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。参 数：第 k 间教室人数为 nk+1, 教室距离为 Lk, 门宽为D，行进速度为 v，人体间隔为 d。如果只有第k间教室有人需要撤离，第 k间教室疏散时间为 Tk模 型K=1 情形：T1=(n1d+L1)/vK=2 情形： 当第二间教室人不需等待时， 即 (L2+D)(n1+1)d， T12= T2=(n2d+L1+L2+D )/v, 当第二间教室人需要等待时， 即 ( L2 +D)(n1+1)d, 等待时间 T= (n1+1)d/v- ( L2 +D)/v, T12= T2 +T=(n1+ n2+1 )d+L1 /v, 讨 论 模型：T=(nd+L)/v, 分析：v, 则T; d, 则 T.令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!补充 假 设 4. 人体厚度相同w模型 T=(n(d+w)+L)/v, 分析 若d=0, 则 T = (nw+L)/v 合理吗？继续补充假设 5. 速度与间隔有关v=v（d）模型 T=n(d+w)+L/v(d), 其中v=v(d)应满足v(d)是d的单调非减函数，v(0)=0 且 当d充分大时， v=vmax.结论： 存在间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短。讨论：1. 给出函数v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d* ，使得疏散的时间最短。2. 通过实验观测给出函数v(d).观测数据：间隔d（厘米）运动速度v（米/秒）拟合函数 Matlab程序x=2.5 50 100 200 500;y=1.9 3.4 4.9 5.6 6.1; %数据点b0=2 3; %参数初值fun=inline(b(1).*x./(b(2)+x),b,x); %拟合函数b, r, j=nlinfit(x,y,fun,b0) %非线性拟合函数的系数、残差nlintool(x,y,fun,b0) %拟合曲线图问题1. 如果n=400，L=30m，w=0.2m, 求最短的疏散时间。2. 给出 当 K=3 时的人员疏散模型.例5. 赛程安排 五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是公平的。 B 1 C 9 2 D 3 5 7 E 6 8 10 4 A B C D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE间隔场次数 A B C D E 1 0 4 0 1 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1 问题：赛程如何做到公平安排？ 如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大？例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪，在上一周猪每天增重约5磅。五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， 饲养每天需花费45美分。求出售猪的最佳时间使得净收益最大。假设： 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。 3. 猪饲养的花费每天不变。 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。变量和参量：猪的初始重量w0磅，出售时猪的重量w磅，猪的日增重量 g磅，猪的饲养时间 t天，猪的市场价格 p（美元/磅），出售价格（单价）的日减少量 r（美元），每天饲养猪的花费 k（美元）。t 天内饲养猪的花费C（美元），售猪所获得的总收益R（美元），最终获得的净收益P（美元）。 净收益=总收益-总花费总收益 R = p w 总花费 C = k t , 重量 w = w0+g t ,单价p = p0 rt ,模型： P = R C=(p0-rt)(w0+gt)-kt参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 则 P = R C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t净收益对时间的依赖关系 P(t) = 130 + 0.8t 0.05 t2. 求出售时间使净收益最高。数学问题：求函数的极大值令 P(t)=0 则有 0.8 t - 20.05 t = 0 得 t = 8 P(8)=130+0.880.0582= 133.2结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元1.模型对参数的灵敏度分析：结果对参数的敏感程度。 结论所依赖的参数： 猪的初始重量w0， 猪的现实价格p0， 猪的饲养花费k， 猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。1 价格变化率 r 对售猪时间t 的影响: 价格 p(t)=0.65 r t, 净收益 P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t 最大值点 t = (7-500r)/(25r) r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 t 15 11.1 8.0 5.5 3.3增重率 g 对售猪时间 t 的影响. 重量 w(t)=200 + g t 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 最大值点 t = 5(13g49)/(2g) g 4 4.5 5 5.5 6 t 1.875 5.28 8 10.23 12.08将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对改变量的形式更自然也更实用。 如果r改变了r，则的相对改变量为r/r。且导致t有改变量t，相对改变量为t/t于是相对改变量的比值为 t / t 比上r / r 令r0，按照导数的定义，我们有 称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r)。 对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r) 在r=0.01 附近，t关于r的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5价格变化率降低1%将导致时间延长3.5% 时间与增重量的关系 t = 5(13g49)/(2g) 在 g=5 附近，t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06 增重率增加1%将导致出售时间延长3%2. 模型的稳健性一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模型不完全精确，但其结果仍是可信的。虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。一个好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但是足够近似的，从而可以在实际问题中应用。 因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的。 1. 参数 r, g 的变化对净收益 P 的影响 固定r，令g=4.5和5.5，可得出售时间t为5.28和10.23。 分别代入模型 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t可得最优净收益为131.2，135.8 只相差2美元固定g，令g=.009和.011，可得出售时间t为11.1和5.5。 分别代入模型 P(t)=(0.65- rt)(200+5t)-0.45t可得最优净收益为135.6，131.6 只相差2美元视净收益值 P 对参数 r, g 的变化是稳健的2. 假设对模型的影响 关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的。 以这些数据（w0=200，w=5，p0=0.65，p=0.01）为依据确定何时售出时，要注意到在未来的几周内w和p可能不会保持常数，因此也不会是时间的线性函数。这时，经收益的增长率P=wp+wp-0.45其中wp+wp代表猪价的增长率。第二项代表因价格下降而损失的价值。第一项代表由于猪增重而增加的价值。 模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。另一方面，只要时间不长，在这段时期内w和p 的变化就不会太大。由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。这时，按照前面的数据所得到的8天出售的结果对净收益值P来说也是稳健的。不难算出，在3天到13天之间出售的净收益的数值都在132美元之上，与最优的收益只损失了不到2美元。净收益对天数的依赖关系 在今后的几天内，如果猪的增重量降低10%或者出售价格增加了10%（出售时间将会提前），在第8天出售时净收益的损失量也是稳健的，不会超过1美元结论：我们现在能说的只是至少要等8天再出售。对较小的 p（接近0），模型建议我们等较长的时间再出售。但我们的模型对较长的时间不再有效。因此，解决这个问题的最好的方法是将猪再饲养一周的时间，然后重新估计w0, w, p0和 p，再用模型重新计算。 问题1. 在售猪问题中，对每天的饲养花费做灵敏度分析。分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影响。如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为60美分，会使猪按7磅/天增重。那么是否值得改变饲养方式？求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。问题 2. 假设猪的价格保持稳定。设 p(t)=0.65-0.01t+0.00004t2. 表示 t 天后猪的价格（美元/磅）。1. 画图表示 p(t) 及我们原来的价格函数。解释为什么原来的价格函数可以作为 p