第四章-平差数学模型与最小二乘原理2008.doc

第四章 平差数学模型与最小二乘原理在大地测量中，为了确定一些点的高程而建立的水准网，为了确定某些点的坐标而建立的平面控制网或3维测量网。前者包含点间的高差、点的高程元素，后者包含角度、边长、边的方位角以及点的2维、3维坐标等元素。这些元素都是几何量，以下通称这些网为几何模型。为了测定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，只需要知道其中部分元素的大小就可以了，其它元素可通过它们来确定。例如，如果为了测定平面三角形的形状，只需测量其中任意两个内角的大小就行了。为了确定平面三角形的大小和形状，只要知道其中任意的两边一角、两角一边或三边的大小就行了。能够唯一确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素，必要元素的个数用来表示。当某个几何模型给定之后，就能够唯一地确定该模型的必要元素的个数及其观测量的类型，只与几何模型有关，与实际观测量无关。在具体的测量平差问题中，对一个几何模型的测量次数总是大于必要观测次数，不然无法确定该模型。即使在情况下，虽然能够确定该几何模型，但由于没有多余观测，就不可能发现测量中存在的误差，这在测量工作中是不容许的。为了能及时发现测量中的误差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使，若令式中，为对几何模型观测的总次数，是在假定测量无任何误差情况下，确定该模型所需的最小观测次数，即必要观测次数，就称为多余观测次数。多余观测次数在测量中又称为自由度。本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法的数学模型，为以后各章节系统地学习各种平差理论打下基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差方法所遵循的原则。4.1 测量平差的数学模型在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。测量平差的数学模型包括：函数模型和随机模型。一个实际的平差问题，都要建立某种函数模型，函数模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。事实上测量平差的目的，就是为了最优估计函数模型的未知量。测量数据的函数模型一般为几何模型、物理模型、或几何与物理的综合模型。测量控制网，如水准网、测角网、测边网、边角网、重力网、GPS网等所建立的函数模型都属于几何模型。而与时间有关的，考虑速度、加速度、位移和应变等所描述观测量与未知量之间关系的模型，大多为物理模型。函数模型分为线性模型和非线性模型两类，测量平差通常是基于线性模型的，当函数模型为非线性函数时，总是将其用泰勒公式展开，并取其一次项化为线性形式。一、条件平差法的函数模型以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。在具体测量问题中，实际观测次数，必要观测次数，则多余观测次数 ，那么可建立个条件方程，即：， (4.1.1)这里， (4.1.2)分别称为观测值向量，观测值的真值向量和真误差向量，它们满足如下关系 (4.1.3)在测量平差中，一般把（4.1.1）式写成线性方程，即 (4.1.4)或者， (4.1.5)这里是行列的常系数矩阵，且是行满秩矩阵；是行1列的常向量。条件平差的自由度是多余观测数，即条件方程的个数。 在现实问题中，真值和真误差是不能够确定的。因此，只能通过某种平差原理（本书采用最小二乘原理）进行平差，求出真值和真误差的最佳估值和，称为平差值（也称为最或然向量值，为最或然改正值向量）。定义为 (4.1.6)这样，条件平差的函数模型化为 (4.1.7)或者， (4.1.8)一般也称为条件方程的闭合差向量。图（4-1-1）h5h4h3h2h1DCBA例题4.1.1：在图（4-1-1）所示的水准网中（箭头指向高端），设观测高差、。试列出该水准网的条件方程。解答：由于，；因此，可列出两个条件方程。设观测高差的最或然值为、则应有代入（），则有其中写成标准形式，。其中，解算完毕。ABCP123456图（4-1-2）例题4.1.2：如图（4-1-2），在三角形中，设有一点插入固定角的图形，其中、为已知点，为未知点，设角度观测值为（）。试列出条件方程。解答：由图知，确定一个未知点，只需要两个观测角就够了，即必需观测有2个。现观测值总数为6个，故多余观测个数即条件方程式个数为，个这4个条件方程式的具体形式为（1）图形条件2个。即平面三角形三内角的最或然值之和应为180，其条件方程式为，（2）方位角条件1个。边及边的方位角及边长为已知，则由边的方位角加2角及5角，应等于边的方位角。即，这个条件也称固定角条件。（3）固定边条件1个。即由已知边经过角度的最或然值推算边长，再由边长推算出的边长，应等于边的已知值。由正弦定理知，即这就是固定边条件的形式。可以看出，图形条件及方位角条件均为线性形式，而固定边条件则为非线性形式，故应将其线性化，以便和其余的三个条件一起平差。为展开方便，将上式两边取对数，得式中及为已知值。现就一般情况，将按台劳级数展开，取至一次项有设，则有，这样可得线性形式的固定边条件为为使条件方程的系数不致过大或过小，通常将固定边条件方程式的系数及自由项乘以。最后写成标准形式，其中，解算完毕。在上面的三个问题中，满足条件方程的改正数都有无穷多组。最小二乘条件平差，即依据条件方程式，按求出改正数及其平差值。应该指出，上面的平差问题之所以产生，是由于有多余观测。如果观测都是必需的，则每一观测量都不能由其它观测量表出，因而，也就不可能有类似上面的条件方程出现。因此又可知道，条件方程式的个数是与多余观测有关的，每有一个多余观测，就可列出一独立的条件方程式。如第二个问题，虽然还可列出但它显然为该问题条件方程式中两式之和，这个条件方程与前两个条件不是互相独立的。在进行条件平差时，列出的条件方程应相互独立，即其中的任一条件方程都不能由其余的条件方程表出，其个数等于多余观测量的个数。二、间接平差法的函数模型在一个几何模型中，最多只能选出个独立量，如果在进行平差时，就选定这个独立量作为参数或未知量，那么通过这个独立量就能唯一地确定该几何模型了。换言之，模型中所有量都一定是这个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选个独立参数的函数。选择几何模型中个独立参数为平差的参数（注意，这个独立参数可以是观测的某些量，也可以是非观测的量），将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出个这种函数关系式，称为观测方程。以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平差法。在具体测量问题中，实际观测次数，必要观测次数 ，则多余观测次数 。选择个函数独立的参数（）后，可有 (4.1.9)这里， (4.1.10)为所选参数和观测值向量的真值向量。另外，观测值向量和真误差向量分别为，； (4.1.11)对（4.1.9）式进行线性化后可得 (4.1.12)或者写为， (4.1.13)这里是行列的常系数矩阵，且是列满秩矩阵；是行1列的常数向量。 无论是观测量还是待估参数，其真值和真误差是不能够确定的。因此，只能通过某种平差原理进行平差，求出真值、真误差和的最佳估值、和，称为平差值，其中称为观测值的最或然向量值，为最或然改正值值向量。定义为， (4.1.14)这里为的近似值。这样，间接平差的函数模型化为， (4.1.15)一般也称为参数方程的自由向量。尽管间接平差法是选取了个函数独立的参数，但是多余观测数不随平差方法不同而异，其自由度仍然是多余观测数。例题4.1.3：在图（4-1-1）所示的水准网中，试列出该水准网的误差方程。解答：由于，；。因此，令，则应有，代入（），则可写成标准形式，其中，解算完毕。例题4.1.4：如图（4-1-3）所示，设从三个已知点、，对未知点进行距离测量，观测值为。现由三个已知点的坐标、，推求点的坐标。请按间接平差方法列出误差方程。解答：显然只要有两个观测值，就可以求出点坐标（通常有两组解，舍弃不符实际情况者）。现测了三条边，故有多余观测。我们选取点坐标、为待定参数，则可列出未知参数与观测值之间的关系式为或写成，显然以上三个观测方程都是非线性方程，现在利用泰勒展开进行线性化。首先取点坐标，即参数的近似值为（），此近似值可由上式中任意两式设为零解出。则有，这样，误差方程变为，（）因为、甚小，按泰勒级数展开，取至一次项，则有并设，即有取，则误差方程变为，其中，这样，就把原来非线性的误差方程化为线性式。在上面所举的例子中，满足条件方程的改正数都有无穷多组。最小二乘条件平差，即依据条件方程式，按求出改正数及其平差值。三、附有参数的条件平差法的函数模型设在平差问题中，实际观测次数为，必要观测次数，则多余观测次数，那么可建立个条件方程。现又增设了（）个函数独立的量作为参数一起进行平差，此时每增加一个参数就增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。一般而言，在观测次数为，必要观测次数为，多余观测次数 的基础上，再增加个独立参数，则总共有个条件方程，一般形式是： (4.1.16)其线性形式是 (4.1.17)这里是行列的常系数矩阵，且是行满秩矩阵；是行列的常系数矩阵，且是列满秩矩阵；是行1列的常向量。以估值代替真值，即，这样（4.1.17）式化为， (4.1.18)上式就是附有参数的条件平差的函数模型，其特点是观测量和参数同时作为模型中的未知量参与平差，是一种间接平差与条件平差的混合模型。此平差问题，由于选取了个独立参数，方程总数由个增加到了个，由于多余观测数目不变，故平差的自由度仍然是。例题4.1.5：在平面三角形中，观测了三内角、。选择第一个观测内角为平差参数。请按附有参数的条件平差方法列出条件方程。解答：此时，有一个条件方程。由于增加了一个参数，应再增加一个条件方程。现在列出如下，把，代入上式得。写成标准形式为，其中，解算完毕。四、具有约束条件的间接平差法如果进行间接平差，就要选择个函数独立的参量为平差的参数，按每一个观测量与所选参数间的函数关系式，组成个观测方程。如果在平差问题中，不是选个而是选择个参数，其中包含个独立参数，则多选择的个参数必然是个独立参数的函数，亦即在个参数之间存在着个函数关系，它们用来约束参数之间应该满足的关系。因此在选定个参数进行间接平差时，除了个观测方程外，还要增加个约束参数的条件方程，故称此平差方法为附有限制条件的间接平差法。一般而言，具有约束条件的间接平差法的方程是： (4.1.19)这里。其线性形式是： (4.1.20)这里是行列的常系数矩阵，它不再是列满秩矩阵；是行列的常系数矩阵，且是列满秩矩阵；和分别是行1列、和行1列的常数向量。以估值代替真值，即，这样（4.1.20）式化为 (4.1.21)该平差问题的自由度是。上面讲述了测量平差中建立函数模型的基本概念和基本方法，也说明了四种基本平差方法所对应的函数模型的基本形式。各种函数的基本类型和具体化将在有关章节中讨论。五、平差的随机模型随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测量）及其相互间统计相关性的模型。观测不可避免地带有偶然误差，使观测结果具有随机性，从概率统计学的观点来看，观测量是是一个随机变量，描述随机变量的精度指标是方差、均方差或中误差，描述两个随机变量之间的相关性的是协方差。方差、协方差是随机变量的主要统计性质。对于以上给出的四种平差方法，最基本的数据都是观测值向量。在进行平差时，除了建立函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测值向量的协方差阵 (4.1.21)观测值向量的随机性是其真误差向量的随机性所决定的，是随机向量。的方差就是观测值向量的方差，即它就是平差的随机模型。以上讨论是基于平差函数模型中，只有（即）是随机向量，而模型中的参数是非随机量的情况，这是平差问题的最普遍情形。如果平差问题中所选择的参数也是随机量，此时随机模型除了上式外，还要考虑参数的先验方差阵以及参数与观测值之间的协方差阵等。4.2 函数模型的线性化在各种平差中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，也有的是非线性形式，在进行平差计算时，必须首先将非线性方程按泰勒公式展开，取至一阶项，转换成线性方程。设有函数 (4.2.1)以估值代替真值，并设， (4.2.2)其中要求和是微小向量。对非线性函数进行泰勒展开，只保留一阶项，于是有：若令 (4.2.3) (4.2.4)则函数的线性形式是 (4.2.5)根据函数线性化过程，很容易将上节的四种基本平差方法的非线方程转换成线性方程。）条件平差法：， (4.2.6)2）间接平差法：， (4.2.7) 3）具有参数的条件平差法：， (4.2.8) 4）附有条件的间接平差法：，令则有 (4.2.9)4.3 参数估计与最小二乘原理平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生的，不论何种平差方法，平差的最终目的都是对所选参数和观测量（或）做出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对未知量的方差与协方差做出估计，统称为对平差模型的参数进行估计。一、参数估计概念数理统计学中，把某一问题的全部研究对象称为总体或母体，把其中的单个对象称为个体，从总体中随机抽取的若干个体称为样本或子样，子样里所包容的个体数目称作样本或子样的容量。科学和生产实践中，通过对子样某些特性的考察，估计推断母体的相应特性，是有着广泛应用的一种现实有效的方法。如以子样分布估计母体分布、以子样均值估计母体均值、以子样方差估计母体方差等，均属于此。这种由子样推断母体的方法和理论，就称为估计理论。母体所具备的特性，称做理论特性，如理论分布，理论方差等；子样所具备的特性，称做统计特性，如统计分布，统计方差等。当理论分布属于某种类型已知时，推断母体只需决定分布的参数，例如只要定出分布的特征值数学期望和方差，就可获得具体的正态分布。另外，有时要推断的并非母体分布，而只是反映母体某种特征的参数。所以，这种以子样推断母体的问题，又称做参数估计。在测量工作中，视仅含偶然误差的观测值的一切可取值为母体，则观测就是从中随机抽样，个观测值的集合即构成容量为的子样。测量平差的任务，就是依据作为子样的观测值估计被观测量的母体均值（即真值）和母体方差。参数估计可分为点估计和区间估计。设母体分布函数为，其中是变元，为待估参数。用随机抽自母体的子样，建立函数以估计，则称为参数的估计量。这种估计称为参数的点估计；如果是构造子样的两个函数，用以作为的取值范围，则这种估计称为区间估计。若母体分布函数中含有个不同的未知参数，则要由子样建立个不带有任何未知参数的统计量，作为这个未知参数的估计量。参数的估计量又称为估计值或估值。常用的获得点估计的方法有以下几种（一）矩估计法由概率论知，若以表示连续型随机变量的母体分布的密度函数，则，称为母体的阶原点矩。即为母体的数学期望。设母体分布函数，有个未知参数：，且母体至阶原点矩存在。并以表示子样的至阶原点矩，则可构成解这一方程组，一般能得到个未知参数的一组解，即我们即取这一组解作为个未知参数对应的估计量，这种方法称为参数的矩估计法。矩估计法实际就是以子样矩作为相应母体矩的估计，以子样矩的函数作为相应母体矩同样函数的估计。例如，母体的一阶原点矩数学期望和二阶中心矩方差，即是以子样均值和子样的方差为对应的估计量，与又称为统计均值和统计方差。（二）最大或然法设母体分布密度函数为，其中为变元，为待估参数。若从母体中随机抽取的子样为，则在子样邻域之内的概率为显然待估参数的变化，会影响的大小。最大或然法依据 (4.3.1)解出未知参数的估计值，我们以 (4.3.2)代替（4.3.1）式中的，其作用是一样的。因此，都常称为或然函数。依最大或然法得出的参数估计量，称为最大或然估计量。例如，当母体服从正态分布，由子样 ，求参数及的最大或然估计量时，或然函数为分别对及求偏导数，并令其为零后分别有，由此解得，即当母体服从正态分布时，子样的算术平均值和子样的方差，就是母体的数学期望及方差的最大或然估计量。二、衡量参数估计的指标因为任何估计量，都是依据随机抽取的子样得出的。由于子样的随机性，估计量也具有随机性。所以，估计量的优劣需按统计学的观点来比较。下面给出衡量估计量优劣的几个性质。（一）无偏性若参数的估计量的数学期望等于参数，即 (4.3.3)则称为的无偏估计量。对于服从任何分布的母体，它的子样平均值总是母体均值的无偏估计量。即 (4.3.4)对于服从任何分布的母体，它的子样方差并非母体方差的无偏估计量，此时其中 (4.3.5)于是 (4.3.6)由此即知不是的无偏估计量。若取 (4.3.7)则易知，必为的无偏估计量。令，则有 ， (4.3.8)这就是测量工作中计算观测值中误差的白塞尔公式。（二）有效性设及都是的无偏估计量，若对任一值，的方差小于的方差，即 (4.3.9)则称估计量比较有效。例如，子样中的任一个体与子样平均值都是母体均值的无偏估计量，但由于，可知，当时，与相比较，子样平均值是母体均值的较有效估计量。（三）一致性如果参数的估计量，随着子样容量的增大而随机收敛于，即极限概率满足 (4.3.10)的估计量为的一致性估计量，其中为任意正数。例如，子样平均值即为母体均值的一致性估计量，此时。利用契比雪夫不等式* 契比雪夫不等式为：（为任意正数），即得这就证明了子样平均值即为母体均值的一致性估计量。同样地，也可证明，子样方差及，都是母体方差的一致性估计量。三、最小二乘原理在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计某些未知参数的问题。例如，一个作匀速直线运动的质点在时刻的位置是，可用如下的线性函数来描述：其中是质点在时刻的初始位置，是匀速直线运动的速度，它们是待估计的未知参数，可见这类问题为线性参数估计问题。对于这一问题，如果观测没有误差，则只要在两个不同时刻、观测出质点的位置、，建立两个方程，就可以解出和了。但是观测是存在误差的，即观测的不是真位置，而是带有误差的观测值。以估值代替真值，即，是观测值的最或然改正数。于是有为了求得和，在不同时刻测定其位置，得到一组观测值，这时由上式可得到，令，则有这就是间接平差的函数模型。观测值向量的随机模型为最后按照最小二乘原理要求进行平差问题的解算。从以上的推导中可以看出，只要是线性参数估计的问题，则不论观测值属于何种统计分布，都可以按最小二乘原理进行参数估计，因此，这种估计方法在实际中被广泛地应用。四、最小二乘原理与极大似然估计一般情况下，测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然法来解释，两种估计准则的估值相同。设观测值向量和其估值向量为，最小二乘原理即要求估值向量与观测值向量之差满足 (4.3.11