一些特定数列通项公式的求法.doc

一些常见数列的通项公式的求法类型一 观察法已知前几项，写出通项公式练习 根据下列各数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9，11， （2）3，6，12，24，48，96，（3）1， （4）6，8，14，24，38，56，（5）7，10，19，46，127，370， （6）2，6，2，6，2，6， （7）9，99，999，9999，（8）5，55，555，5555，（9）（10）（11）（12）（13）3，2，9，5，27，8，81，11，类型二 由前n项和公式求通项公式已知前n项和公式，求通项公式： 此法适用于任何一个已知前n项和公式的数列.特别地，当时，当+c时，前者，数列an是等差数列；后者，在当c0时，数列an不是等差数列，但从第二项起成等差数列.由于计算较繁，且容易出错，故可记为：二次变一次 求导减二系 （二次式） 常项不为0 首项分开写当时，若符合,则通项公式不再分段表示，直接写成即可.可记为：幂和求通项 抹去常数项 指数要下降 幂底少一再乘上 首项不符另列放练习 由下列各数列an的前n项和公式求出通项公式：（1）若，则通项公式为 （2）若，则通项公式为 （3）若，则通项公式为 （4）若，则通项公式为 （5）若，则通项公式为 类型三 累加法如果数列an的递推公式为，且可以表示成n的代数式，则可用累加法求出通项公式.要特别注意：当时，练习 1、在数列中，已知，求数列的通项公式.2、在数列中，已知，求数列的通项公式.3、数列满足：各项不等于0，.求数列的通项公式.4、数列满足：.求数列的通项公式.5. 在数列中，求数列的通项公式.6、在数列中，求数列的通项.类型四 累乘法 递推公式形如，且可转化为一个关于n的代数式，可考虑用来求通项公式.例 在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得当n2时，由于也符合 =1.所以通项公式为：. 此题也可以用凑常数列的方法做.类型五 凑常数列法已知数列的递推关系求数列的通项公式，尽管递推关系表现形式多种多样，求数列通项公式的方法精彩纷呈，但求通项的基本思想只有一个，就是化归转化.根据递推关系的特点，采用适当的方法将其转化为新的等差或等比数列，求出新数列的通项，进而得到所求的数列通项公式.特别地，非零常数数列既是公差为零又是公比为1的等比数列.若数列an满足： an+1= an , 则数列an是常数数列，其通项公式为：an= a1.对于一些已知递推公式的数列，若能构造出一个新的常数数列，就能简捷地求出通项公式.请看下面的例子.例1 已知数列an是首项为1的正项数列，且(n+1)n+0.求数列an的通项公式.例2 已知数列an满足:a1=1,且Sn=.求an . 例3 已知数列an满足: a1=1, nSn+1（n3）Sn=0. 求an .例4已知数列an中，an+1an=.求an .练习1、已知数列中，前项和与的关系是 ，求通项公式.提示：由易求出：（也可用凑常数数列的方法来做：），于是31）2、已知数列满足：求数列的通项公式.（可用累积法来求通项公式的数列题一般都可以用凑常数数列的方法来做，故可把累积法当成凑常数列法的特例.）类型六 构建等比数列法递推公式形如（）的数列的通项公式可利用配凑法来求.例 已知数列满足：.求数列的通项公式.解析：本数列的基本特征是：从第二项起，每一项都等于它的前一项的2倍加1.可以猜想：把每一项都加上或减去同一个数后，使相邻两项的后一项等于前一项的2倍，即变成一个公比为2的等比数列.设，则，与比较知：c=1.即：.故，于是练习 1、 已知数列满足：.求的通项公式.2、 已知数列的前n项和为Sn,（）求a的值；（）求的前n项和公式及通项公式.3、 已知数列满足：.（）求数列的通项公式.（）求数列的前n项和Sn .归纳：对于，若，则问题变简单了.因而主要考虑的情形.当常数或一、二次函数时，可设,然后用待定系数法去求出，数列变成了等比数列.特别地，若非零常数且时，得到.从而得到类型七 取倒变成等差数列或差额等比数列法递推公式形如（）的数列的通项公式可利用倒数法来求.特别地，当时，是等差数列.若，则将的左右两边到倒数后变成类型六的数列.练习 1、已知数列满足：.求的通项公式.（答案：）2、已知数列满足：.求的通项公式. （答案：）3、已知数列满足：.求的通项公式.类型八 不动点法递推公式形如，当关于的方程有实根时，叫做方程的不动点.此时可将数列变成类型六的数列.这是因为：，当关于x的方程或有实根时，可得到数列是类型六的形式. 类型七是类型八在d=0时的特殊情形.练习1.已知数列满足：.求的通项公式.2. 已知数列满足：.求的通项公式.类型九 除以次幂法递推公式形如的数列的通项公式可变成类型六来求将的两边都除以后变成：，变成类型六.特别地，当时，可变成等差数列.练习已知数列满足：.求的通项公式. 综合练习1、 已知数列满足：.求数列的通项公式.2、 已知数列满足：.求数列的通项公式.3、 已知等差数列的前n项和为（）求q的值；（）若的等差中项为18，满足求数列的前n项和.4、 已知数列的前n项和为,成等差数列.（）求c的值； （）求数列的通项公式.