湖北省武汉四中等四所重点中学2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(文科).doc

2016-2017学年湖北省武汉四中等四所重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若命题“pq”为假，且p为假，则（）A“pq”为假Bq为假Cp为假Dq为真2已知i是虚数单位，则复数（1+i）2的虚部是（）A2B2C2iD2i3命题：“xR，x2x+20”的否定是（）AxR，x2x+20BxR，x2x+20CxR，x2x+20DxR，x2x+204“2m6”是“方程+=1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根6命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da57下列命题错误的是（）A在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好B线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： =x+a，则l一定经过P（，）D在回归直线方程=0.1x+1中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位8下列命题错误的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否定形式为：“若x2=1，则x1”B命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为真CABC中，sinAsinB是AB的充要条件D若向量,满足0，则与的夹角为锐角9如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）Ai10？Bi11？Ci11？Di12？10如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=a，CD=b（ab）若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：，用类比的方法，推想出下列问题的结果，在上面的梯形ABCD中，延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，OCD的面积分别为S1，S2，EFAB，且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是（）ABCD11椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）ABCD12若A点坐标为（1，1），F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则|PA|+|PF1|的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位，置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13若命题“xR，使x2+（a1）x+10”是假命题，则实数a的取值范围为14下表是某地银行连续五年的储蓄存款（年底余额），假设储蓄存款y关于年份x的线性回归方程为，则=（，其中15+26+37+48+510=120，12+22+32+42+52=55）年份x12345储蓄存款y（千亿元）56781015圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示，椭圆C： +=1（ab0）可以被认为由圆x2+y2=a2作纵向压缩变换或由圆x2+y2=b2作横向拉伸变换得到的依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为16已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（1）已知，求|z|；（2）已知23i是关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值18（12分）求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程（1）过点（3，2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点（ 2 ）中心为原点，焦点在x轴上，离心率为，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程19（12分）命题P：函数y=lg（x2+4ax3a2）（a0）有意义，命题q：实数x满足（1）当a=1且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围20（12分）对武汉市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如表：月收入（百元）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数3812421（1）从这50人是否赞成“楼市限购政策”采取分层抽样，抽取一个容量为10的样本，问样本中赞成与不赞成“楼市限购政策”的人数各有多少名？（2）根据以上统计数据填写下面2*2的列联表，并回答是否有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入低于55百元人数月收入不低于55百元人数合计赞成a=b=不赞成c=d=合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（ K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足（1）计算S1，S2，S3，猜想Sn的一个表达式（不需要证明）（2）设，数列bn的前n项和为Tn，求证：22（12分）如图，已知椭圆C： =1（ab0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）（）求椭圆C的方程；（）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPBQ试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由2016-2017学年湖北省武汉四中等四所重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若命题“pq”为假，且p为假，则（）A“pq”为假Bq为假Cp为假Dq为真【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据复合命题的真值表，先由“p”为假，判断出p为真；再根据“pq”为假，判断q为假【解答】解：因为“p”为假，所以p为真；又因为“pq”为假，所以q为假对于A，pq为真，对于C，D，显然错，故选B【点评】本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系：“pq”全真则真；：“pq”全假则假；“p”与p真假相反2已知i是虚数单位，则复数（1+i）2的虚部是（）A2B2C2iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数（1+i）2即可得答案【解答】解：（1+i）2=1+2i+i2=2i，则复数（1+i）2的虚部是：2故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3命题：“xR，x2x+20”的否定是（）AxR，x2x+20BxR，x2x+20CxR，x2x+20DxR，x2x+20【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“xR，x2x+20”的否定是xR，x2x+20故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4“2m6”是“方程+=1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若+=1表示椭圆，则，即，即2m6且m4，则“2m6”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的定义求出m的等价条件是解决本题的关键5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查6命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da5【考点】命题的真假判断与应用【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件a|a4，从集合的角度充分不必要条件应为a|a4的真子集，由选择项不难得出答案【解答】解：命题“x1，2，x2a0”为真命题，可化为x1，2，ax2，恒成立即只需a（x2）max=4，即“x1，2，x2a0”为真命题的充要条件为a4，而要找的一个充分不必要条件即为集合a|a4的真子集，由选择项可知C符合题意故选C【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题7下列命题错误的是（）A在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好B线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： =x+a，则l一定经过P（，）D在回归直线方程=0.1x+1中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位【考点】相关系数【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故A错误；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，正确；回归直线方程l： =x+a，则l一定经过P（，），正确；在回归直线方程=0.1x+1中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，正确故选A【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了回归方程，考查了理解能力和推理能力，属于中档题8下列命题错误的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否定形式为：“若x2=1，则x1”B命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为真CABC中，sinAsinB是AB的充要条件D若向量,满足0，则与的夹角为锐角【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，命题的否定形式只否定结论；B，原命题“若x2+y2=0，则x=y=0”为真，逆否命题与原命题同真假；C，ABC中，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB，反之亦然；D，若向量,满足0，则与的夹角为锐角或零角【解答】解：对于A，命题的否定形式只否定结论，故正确；对于B，原命题“若x2+y2=0，则x=y=0”为真，逆否命题与原命题同真假，故正确；对于C，ABC中，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB，反之亦然，故正确；对于D，若向量,满足0，则与的夹角为锐角或零角，故错故选：D【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题9如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）Ai10？Bi11？Ci11？Di12？【考点】程序框图【分析】由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案【解答】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于1211=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B【点评】本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结10如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=a，CD=b（ab）若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：，用类比的方法，推想出下列问题的结果，在上面的梯形ABCD中，延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，OCD的面积分别为S1，S2，EFAB，且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是（）ABCD【考点】类比推理【分析】在平面几何中的进行几何性质类比推理时，我们常用的思路是：由平面几何中线段的性质，类比推理平面几何中面积的性质；故由：，类比到S0与S1，S2的关系是：【解答】解：在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质；故由：“”，类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的结论是：故选C【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）11椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，即=，即=，即=，弦所在的直线的斜率为，故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的12若A点坐标为（1，1），F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则|PA|+|PF1|的最大值为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】求得椭圆的标准方程，可得a=3，|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6|PF2|+|PA|=6+（|PA|PF2|），由此结合图象能求出|PF1|+|PA|的最大值【解答】解：椭圆5x2+9y2=45即为+=1，可得a=3，b=，c=2，|PF1|+|PF2|=2a=6，那么|PF1|=6|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6|PF2|+|PA|=6+（|PA|PF2|） 根据三角形三边关系可知，当点P位于P2时，|PA|PF2|的差最大，此时F2与A点连线交椭圆于P2，易得|AF2|=，此时，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值为6+故选：B【点评】本题考查椭圆的大定义、方程和性质和应用，解题时要注意数形结合法以及定义法的合理运用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位，置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13若命题“xR，使x2+（a1）x+10”是假命题，则实数a的取值范围为1a3【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“xR，使x2+（a1）x+10”的否定是：“xR，使x2+（a1）x+10”即：=（a1）240，1a3故答案是1a3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题14下表是某地银行连续五年的储蓄存款（年底余额），假设储蓄存款y关于年份x的线性回归方程为，则=1.2（，其中15+26+37+48+510=120，12+22+32+42+52=55）年份x12345储蓄存款y（千亿元）567810【考点】线性回归方程【分析】求出=3， =7.2，利用公式可得结论【解答】解：由题意， =3， =7.2，15+26+37+48+510=120，12+22+32+42+52=55，=1.2，故答案为1.2【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比较基础15圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示，椭圆C： +=1（ab0）可以被认为由圆x2+y2=a2作纵向压缩变换或由圆x2+y2=b2作横向拉伸变换得到的依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为ab【考点】椭圆的简单性质【分析】根据圆的面积公式S=R2（R是圆的半径），从而得到椭圆的面积公式【解答】解：圆的面积公式是S=a2或S=b2，椭圆的面积公式是S=ab，故答案为：ab【点评】本题考查了圆和椭圆之间的关系，考查了推理的应用，是一道基础题16已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论【解答】解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，PF1=a，PF2=a，由勾股定理可知：（2c）2=（a）2+（a）2，即：c2= a2，e=，故答案为：【点评】本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2016秋武汉期末）（1）已知，求|z|；（2）已知23i是关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值【考点】复数代数形式的混合运算【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案；（2）把23i代入方程x2+px+q=0中，求解即可得答案【解答】解：（1）由，得；（2）把23i代入方程x2+px+q=0中，得到（5+2p+q）+（12+3p）i=0即5+2p+q=0且12+3p=0，解得p=4，q=13【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的基本概念，是基础题18（12分）（2016秋武汉期末）求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程（1）过点（3，2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点（ 2 ）中心为原点，焦点在x轴上，离心率为，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据已知求出焦点坐标，结合椭圆过点（3，2），可得答案；（2）由已知可得e=，4a=16，进而可得答案【解答】解：（1）在椭圆中c2=a2b2=94=5设椭圆方程为，代入点（3，2），即，（3分）解得a2=15或3（舍去），椭圆C的标准方程为：（2）设椭圆的标准方程为：（ab0），据题意e=，4a=16，（8分）a=4，c=2，b2=a2c2=8，椭圆C的标准方程为：（12分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档19（12分）（2016秋武汉期末）命题P：函数y=lg（x2+4ax3a2）（a0）有意义，命题q：实数x满足（1）当a=1且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且pq为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由x2+4ax3a20得x24ax+3a20，即（xa）（x3a）0，其中a0，得ax3a，a0，则p：ax3a，a0若a=1，则p：1x3，由解得2x3即q：2x3若pq为真，则p，q同时为真，即，解得2x3，实数x的取值范围（2，3）（2）若p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即（2，3）是（a，3a）的真子集所以，解得1a2实数a的取值范围为1，2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p是q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，20（12分）（2016秋武汉期末）对武汉市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如表：月收入（百元）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数3812421（1）从这50人是否赞成“楼市限购政策”采取分层抽样，抽取一个容量为10的样本，问样本中赞成与不赞成“楼市限购政策”的人数各有多少名？（2）根据以上统计数据填写下面2*2的列联表，并回答是否有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入低于55百元人数月收入不低于55百元人数合计赞成a=27b=330不赞成c=13d=720合计401040（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（ K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验的应用【分析】（1）50人中有30人赞成，故抽取10人的样本，其中6人赞成，4人不赞成；（2）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算K2的值，根据临界值表，即可得到结论【解答】解：（1）50人中有30人赞成，故抽取10人的样本，其中6人赞成，4人不赞成（2）月收入低于55百元人数月收入不低于55百元人数合计赞成a=27b=330不赞成c=13d=720合计401050=有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异（12分）【点评】本题考查独立性检验的应用和22列联表的作法，考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）（2016秋武汉期末）已知数列an的前n项和为Sn，满足（1）计算S1，S2，S3，猜想Sn的一个表达式（不需要证明）（2）设，数列bn的前n项和为Tn，求证：【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法【分析】（1）因为an=SnSn1（n2），代入计算，即可得到所求和猜想Sn的一个表达式；（2）由（1），再由裂项相消求和可得前n项和为Tn，由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）因为an=SnSn1（n2），所以，由此整理得，于是有：，猜想：（2）证明：由（1），于是：（10分）又因为，所以 （12分）【点评】本题考查数列的求和，注