2014高等数学(下)期中考试题解答与评分标准.pdf

诚信保证 本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定 保证遵守考场 规则 诚实做人 本人签字 编号 西北工业大学考试试题 卷 西北工业大学考试试题 卷 2013 2014 学年第二学期期中考试 开课学院 理学院 课程 高等数学 下 学时 102 考试日期 2014 年 5 月 6 日 考试时间 2 小时 考试形式 闭 A 卷 班班 级级 学学 号号 姓姓 名名 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 总总 分分 得得 分分 一一 填空题填空题 4 4 8 328 32 分分 1 yxf 在 00 y x点连续 偏导数都存在 可微三者之间的关系是 连续与偏导数都存在无因果关系 连续不一定可微 但可微一定连续 偏导数都存在不一定可微 但可微一定偏导数都存在 2 设 yxf 具有二阶连续偏导数 2 2yyxfz 则 yx z 2 1211 22f yf 3 已知5cos xyzxe zy 则 dz dy xexy xexz dx xexy exyz zy zy zy zy cos cos cos sin 4 函数 zyxzyxf 2 在 2 1 1点处方向导数的最大值为 3ln9203 2 5 交换积分次序 xx dxyxfdxdyyxfdx 2 0 2 10 1 0 2 dxyxfdy y y 21 0 6 介于平面0 z与3 zyx之间的曲面1 22 yx的面积为 6 7 3323 zzyxyxgraddivzyzx664 8 3323 zzyxyxgradrot 0 0 0 教务处印制 共 6 页 第 1 页 西北工业大学命题专用纸 二 计算题计算题 6 6 2 122 12 分 分 1 判断函数 0 1 0 22 22 22 yx yx yx yx yxf在 0 0点是否连续 是否可偏导 解解 因为 222200 1 1 lim lim k k xkx kxx yxf x kxy x 随k而变 所以 yxf y x lim 0 0 不存在 因此 yxf 在 0 0点不连续 3 分 因为 0 11 lim 0 00 lim 00 xx fxf xx 所以 yxf 在 0 0点关于x可偏导 同理 yxf 在 0 0点关于y可偏导 3 分 2 求曲面 22 yxz 上到平面632 zyx距离最近的点的坐标 解法解法 1 1 22 yxz 上的点 zyx 到平面632 zyx的距离为 14 632 zyx zyxf 为此构造 22 2 632 yxzzyxzyxL 3 分 由0 LLLL zyx 得驻点 36 5 6 1 3 1 zyx 由于驻点唯一 所以该驻点为所要求的距离最近的点 3 分 解法解法 2 2 22 yxz 上的点 zyx 处的切向量为 1 2 2 yx 3 分 由 3 1 21 2 2 yx 及 22 yxz 得 36 5 6 1 3 1 zyx为所要求的距 离最近的点 3 分 教务处印制 共 6 页 第 2 页 西北工业大学命题专用纸 三三 计算题 计算题 7 7 2 2 1 14 4 分 分 1 求经过直线 0 32 z yx 且与曲面 22 2yxz 相切的平面方程 解解 设曲面上切点坐标为 000 zyx 则 2 0 2 00 2yxz 切平面为 042 00000 zzyyyxxx 即 000 42zzyyxx 3 分 根据条件 32 4 1 2 000 zyx 2 0 2 00 2yxz 因此 12 2 2 000 zyx 3 分 所求切平面方程为1284 zyx 1 分 和0 z 2 求曲线 6 22 zyx yxz 上 3 1 2点处的切线方程和法平面方程 解解 01 22 dx dz dx dy dx dy yx dx dz 由此得 y yx dx dz y x dx dy 21 22 12 12 3 分 切向量为 6 5 1 1 3 1 2 dx dz dx dy 2 分 切线方程为 6 3 5 1 1 2 zyx 法平面方程为 036152 zyx 即1165 zyx 2 分 教务处印制 共 6 页 第 3 页 西北工业大学命题专用纸 四 四 计算题 计算题 6 6 2 2 1 12 2 分 分 1 设 f x为连续函数 且 20 f 试求 t y t t dx y xf dy t 2 0 2 0 1 1 lim 解解 2 0 2 0 0 2 0 2 0 1 lim 1 1 lim t dy y xf dx dx y xf dy t xt t t y t t 3 分 1 2 1 1 lim0 2 arctan lim arctan lim 2 00 2 0 0 t f t ttf t dxxxf tt t t 3 分 2 计算 dVyx 22 2 其中 由 22 2yxz 与 2 2xz 围成 解解 dzyxdxdydVyx x yx Dxy 2 22 2 2 2222 22 3 分 drrrrrddxdyyxyx xy D 1 0 2222 2 0 2222 1sin2122 2 分 2 2cos 2 1 2 3 2 1 0 53 2 0 drrrd 1 分 教务处印制 共 6 页 第 4 页 西北工业大学命题专用纸 五 计算题 五 计算题 6 6 3 3 1818 分 分 1 计算 dsyx L 2 其中 222 RyxL 解解 LLL dsxyRdsyxyxdsyx22 222 2 3 分 3222223 2cossinsincos22RdRRRR 3 分 2 计算dy yx x dx yx y L 2222 22 其中1 yxL 方向逆时针 解解 取 22 2 yxC 0 充分小 方向顺时针 1 分 因为在C之外 L之内的区域内 2 22 22 2222 2 2 22 yx yx yx x xyx y y 2 分 所以 2 21 2 22 D CCCLCL dxdyxdyydx yx xdyydx 3 分 3 计算 dzxzdxyx332 其中 1 0 22 zx yxx 俯视时方向逆时针 解解 dxdydzdx xzyx zyx dxdydzdxdydz dzxzdxyx33 3032 332 3 分 4 3 3 xy D dxdy 其中 4 1 2 1 2 2 yxDxy 3 分 教务处印制 共 6 页 第 5 页 西北工业大学命题专用纸 六 六 计算题计算题 6 6 2 2 1 12 2 分 分 1 计算 22 1yx dsz 其中 0 0 1 yxyxyxyxxyz 解解 dxdyxy yx xy yx dsz xy D 22 2222 1 11 其中 0 0 1 yxyxyxDxy 3 分 24 1 1 2 1 1 0 2 1 0 1 0 dxxxxydydxxydxdy x Dxy 3 分 2 计算 dxdyxyzdydzyx 2 2 其中 1 2222 yxyxz上侧为正方向 解解 设