第9章 梁的弯曲变形与刚度计算.ppt

9 2梁的挠曲线近似微分方程 9 3积分法计算梁的变形 9 5梁的刚度计算及提高梁刚度的措施 第9章梁的弯曲变形与刚度计算 9 1工程中的弯曲变形问题 9 6简单超静定梁 9 7梁的弯曲应变能 9 4叠加法计算梁的变形 弯曲构件除了要满足强度条件外 还需满足刚度条件 如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差 9 1工程中的弯曲变形问题 7 1 9 1工程实际中的弯曲变形问题 但在另外一些情况下 有时却要求构件具有较大的弹性变形 以满足特定的工作需要 例如 车辆上的板弹簧 要求有足够大的变形 以缓解车辆受到的冲击和振动作用 9 1工程实际中的弯曲变形问题 9 1工程实际中的弯曲变形问题 挠度 w 横截面形心 即轴线上的点 在垂直于x轴方向的线位移 称为该截面的挠度 Deflection 取梁的左端点为坐标原点 梁变形前的轴线为x轴 横截面的铅垂对称轴为y轴 xy平面为纵向对称平面 9 1工程实际中的弯曲变形问题 挠度 w 挠度符号 转角符号 转角 转角 横截面绕中性轴 即Z轴 转过的角度 或角位移 称为该截面的转角 Sloperotationangle 挠度和转角符号的规定 挠度 在图示坐标系中 向上为正 向下为负 转角 逆时针转向为正 顺时针转向为负 y x A B C C1 9 1工程实际中的弯曲变形问题 F 必须注意 梁轴线弯曲成曲线后 在x轴方向也有线位移 9 1工程实际中的弯曲变形问题 y x A B C C1 F 但在小变形情况下 梁的挠度远小于跨长 横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量 可略去不计 挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线 挠曲线方程 式中 x为梁变形前轴线上任一点的横坐标 w为该点的挠度 y x A B C C1 9 1工程实际中的弯曲变形问题 F 挠度与转角的关系 y x A B C C1 9 1工程实际中的弯曲变形问题 F 9 2挠曲线的近似微分方程 横力弯曲时 M和 都是x的函数 略去剪力对梁的位移的影响 则 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 由几何关系知 平面曲线的曲率可写作 曲线向上凸时 w 0 M 0 因此 M与w 的正负号相同 M 0w 0 M 0w 0 曲线向下凸时 w 0 M 0 由于挠曲线是一条非常平坦的曲线 w 2远比1小 可以略去不计 于是上式可写成 此式称为梁的挠曲线近似微分方程 Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve 称为近似的原因 1 略去了剪力的影响 2 略去了w 2项 再积分一次 得挠度方程 上式积分一次得转角方程 若为等截面直梁 其抗弯刚度EI为一常量 上式可改写成 式中 积分常数C1 C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定 9 3积分法求弯曲变形 简支梁 悬臂梁 边界条件 boundarycondition wA 0 wB 0 wA 0 qA 0 连续性条件 Continuitycondition 在挠曲线的任一点上 有唯一的挠度和转角 如 不可能 不可能 c 讨论 适用于小变形 线弹性 细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点 使用范围广 直接求出较精确 缺点 计算较繁 例1 图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F作用 试求梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度wmax和最大转角 max A B l x y 解 以梁左端A为原点 取直角坐标系 令x轴向右 y轴向上为正 1 列弯矩方程 F 2 列挠曲线近似微分方程并积分 3 确定积分常数 代入式 a 和 b 得 C1 0 C2 0 在x 0处 w 0 在x 0处 q 0 A B l x y F 4 建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数C1和C2代入式 a 和 b 得梁的转角方程和挠度方程分别为 5 求最大转角和最大挠度 自由端B处的转角和挠度绝对值最大 所得的挠度为负值 说明B点向下移动 转角为负值 说明横截面B沿顺时针转向转动 l A B q 例2 图示一抗弯刚度为EI的简支梁 在全梁上受集度为q的均布荷载作用 试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度wmax和最大转角 max x y 解 由对称性可知 梁的两个支反力为 梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为 积分两次 简支梁的边界条件是 在x 0处 w 0 在x l处 w 0 代入 c d 式确定出积分常数 由对称性可知 在两端支座x 0和x l处 转角的绝对值相等且都是最大值 在梁跨中点l 2处有最大挠度值 例3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁 在D点处受一集中力F的作用 试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并求其最大挠度和最大转角 l A B F a b D 解 求出梁的支反力为 将梁分为I和II两段 其弯矩方程分别为 I II 两段梁的挠曲线方程分别为 积分一次得转角方程 再积分一次得挠曲线方程 挠曲线方程 注意 在对梁段II进行积分运算时 对含有 x a 的弯矩项不要展开 而以 x a 作为自变量进行积分 这样可使下面确定积分常数的工作得到简化 D点的连续条件 在x a处 q1 q2 w1 w2 边界条件 在x 0处 w1 0 在x l处 w2 0 代入方程可解得 将积分常数代入得 转角方程 挠曲线方程 将x 0和x l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当a b时 右支座处截面的转角绝对值为最大 简支梁的最大挠度应在w 0处 研究第一段梁 令w 1 0得 当a b时 x1 a 最大挠度确实在第一段梁中 在极端情况下 当b非常小 以致b2与l2项相比可以略去不计时 讨论1 上例中 梁中点挠度与最大挠度的关系 则 当F从梁中点位置向B支座移动时 b值减小时 x从0 5L向0 577L趋近 F接近B点时 此时最大挠度的位置离梁中点最远 梁中点挠度与最大挠度应该差距较大 梁中点C处的挠度为 结论 在简支梁中 不论它受什么荷载作用 只要挠曲线上无拐点 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替 其精确度是能满足工程要求的 略去b2项 得 讨论2 BD段上有无 0的点 条件 由于梁的变形微小 梁变形后其跨长的改变可略去不计 且梁的材料在线弹性范围内工作 因而 梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系 9 4按叠加原理计算梁的挠度和转角 在这种情况下 梁在几项载荷 如集中力 集中力偶或分布力 同时作用下某一横截面的挠度和转角 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加 此即为叠加原理 按叠加原理求A点转角和C点挠度 解 载荷分解如图 q P P A A A B B B C a a 例题 查简单载荷引起的变形 q P P A A A B B B C a a 叠加 例 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示 试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角 A B B A q l Me C 解 将梁上荷载分为两项简单的荷载 例 试利用叠加法 求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC B q l 2 A C l 2 解 该梁上荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加 1 正对称载荷作用下 2 反对称荷载作用下 在跨中C截面处 挠度wC2等于零 3 将相应的位移进行叠加 即得 例用叠加法求梁中点处的挠度 设b l 2 l 2 l A B q b 解 将均布荷载看作许多微集中力dF组成 dF qdx C 当b l 2时 结果与例2一致 例叠加法 逐段刚化法 抗弯刚度为EI 求B处的挠度与转角 C处的转角 一 梁的刚度条件 校核刚度 设计载荷 其中 称为许用转角 w 称为许用挠度 通常依此条件进行如下三种刚度计算 设计截面尺寸 9 5梁的刚度计算 例1下图为一空心圆梁 内外径分别为 d 40mm D 80mm 梁的E 210GPa 工程规定C点的 w 0 00001m B点的 0 001弧度 试校核此梁的刚度 解 结构变换 查表求简单载荷变形 P2的计算可利用上节例4的结果 叠加求复杂载荷下的变形 校核刚度 所以刚度是足够的 内外径分别为 d 40mm D 80mm 讨论 强度校核问题 二 提高梁的刚度的措施 由梁的位移表 表9 3 可见 梁的变形 挠度和转角 除了与梁的支承和荷载情况有关外 还取决于以下三个因素 即 材料 梁的变形与材料的弹性模量E成反比 截面 梁的变形与截面的惯性矩I成反比 跨长 梁的变形与跨长l的n次幂成正比 在各种不同荷载形式下 n分别等于1 2 3或4 由此可见 为了减小梁的位移 可以采取下列措施 1 合理布置外力 包括支座 使Mmax尽可能小 2 调整跨长和改变结构 缩短跨长 如将简支梁改为外伸梁 或增加支座等 设法缩短梁的跨长 将能显著地减小其挠度和转角 这是提高梁的刚度的一个很又效的措施 桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构 就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值 增加梁的支座也可以减小梁的挠度 同时 由于梁的外伸部分的自重作用 将使梁的AB跨产生向上的挠度从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分 而有所减小 3 增大梁的弯曲刚度EI 对于钢材来说 采用高强度钢可以显著提高梁的强度 但对刚度的改善并不明显 因高强度钢与普通低碳钢的E值是相近的 因此 为增大梁的刚度 应设法增大I值 在截面面积不变的情况下 采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处 以增大截面的惯性矩I 这样不仅可降低应力 而且能增大梁的弯曲刚度以减小位移 所以工程上常采用工字形 箱形等截面 9 6简单超静定梁 A B q 要求解如图所示的超静定梁 可以以B端的活动铰支座为多余约束 将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的基本静定梁 FB 为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定梁完全一致 还要求基本静定梁满足一定的变形协调条件 FB 由于原静不定梁在B端有活动铰支座的约束 因此 还要求基本静定梁在B端的挠度为零 即 此即应满足的变形协调条件 或变形相容条件 建立补充方程 wBF wBq 由图可见 B端的挠度为零 可将其视为均布载荷引起的挠度wBq与未知支座反力FB引起的挠度wBF的叠加结果 即 由表9 3查得力与变形间的物理关系 将其代入前式得 即得补充方程 由此解出多余约束反力 再利用平衡方程即可求得其他支座反力 1 选取适当的多余约束 得到基本静定梁 2 利用相应的变形协调条件和物理关系建立补充方程 3 与平衡方程联立解出所有的支座反力 解静不定梁时 选择哪个约束为多余约束并不是固定的 可根据解题时的方便而定 解静不定梁的步骤 这种解静不定梁的方法 称为变形比较法 求解静不定问题的方法还有多种 以力为未知量的方法称为力法 变形比较法属于力法