两角差的余弦公式.doc

两角差的余弦公式嘉鱼县第一中学 陈柳一、内容和内容解析：1、内容：本节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域。2、内容解析：两角差的余弦公式是三角恒等变换这一章的基础和出发点，让学生从“特殊到一般”的探究过程中体会化归、数形结合等数学思想，从而突破本节课的重点和难点：公式的发现和证明。教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果，证明结果两步进行探究,并从简单情况入手得出结果。这样的安排不仅使探究更真实，也有利于学生学会探究。二、目标和目标解析1、掌握两角差的余弦公式，并能简单的运用公式；2、全体学生能理解“探求结果，证明结果”这一常用的探究步骤；多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退为进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性。3、能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值，感受科学探索的乐趣。三、教学问题诊断分析1、两角差的余弦公式的猜想与证明是一个难点。因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线。2、尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到。教师需要在引导学生仔细观察的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理。3、用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别。四、教学支持条件分析整节课借助多媒体进行辅助教学，为了突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相评价动机，实现预计与生成的和谐统一。五、教学过程：活动一：创设情境例：一个斜坡的高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了m,求力F作用在物体上的功WF6m解： W = S= 30 问题1：8m1、你能找到哪些与有关的条件?2、怎样利用这些条件求出？ 3、更一般地，当、是任意角时，能不能用、的三角函数值表示呢?活动二：合作探究1、明确探究的思路与步骤问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究?（探究的过程可以分两个步骤：第一步探求表示结果，第二步对结果的确良正确性加以证明.）2、探求表示结果问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？如果有学生提出，则引导学生取特殊值验证，同时分析错误的原因：余弦函数名与角之间并不是相乘关系,因此类比乘法分配律是错误的。可根据学生实际情况启发，必要时可为学生搭建一个探究的平台。引导探究：以退为进，先讨论、都是锐角的情况yOBMxP11ACP1问题4：当、都是锐角时，我们又该怎么办？引导学生在直角三角形或单位圆中构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到。 （为锐角，且）方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合问题5：那这个式子是否对任意角、都成立呢？引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证。3、证明结果问题6：现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确。请同学们仔细观察上面这个式子的构成要素和结构特征。看看从中会得到什么新的发现？引导学生联想到终边与单位圆的交点分别为、，同时发现，进面联想到。 （组织学生分组讨论交流，寻找用向量证明的途径和方法）y-1-111B Ax0A问题7、如何证明？引导学生关注两个向量的夹角与的联系与区别，并通过观察和讨论弄清。问题8：刚才我们一起经历了完整、曲折的探究过程，回顾一下，大家有什么启发和感悟？对比两种证明方法，你认为哪种更简洁？小结：两角差的余弦公式： （其中为任意角，简记为）问题9：两角差的余弦公式有什么特点？引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名弦的积的和。活动三：知识运用1、解决引例中的问题2、公式活用：利用差角余弦公式求的值.问题10：你能用一副三角板拼出哪些角？组织学生以小组为单位亲自动手，并交流展示自己的成果；要求学生利用两角差的余弦公式求出所拼出角的余弦值六、回顾总结师：现在请同学们一起回顾一下1、公式探究的步骤是什么；2、我们是怎样获得差角余弦公式的；3、你有什么感悟和体会。生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程且体会到探究两角差的余弦公式的必要性，明确本节课要研究的课题引导学生弄清探究的思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性。鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气 引导学生运用数形结合的思想给出证明让学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识通过小组讨论，培养学生的合作交流意识。同时让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的优越性。要求学生对公式形式进行分析体会数学中的对称美。学生运用所学解决实际问题并享受探究成功的喜悦！ 活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想 并激发学生学习数学的热情，体会生活中处处有数学六、目标检测设计1、必做题：课本P127 T2 T3 T4 。（设计说明：面向全体学生，加深学生对公式的结构，公式的用法及把未知转