高数总结.doc

1.数列极限 定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数 N，使 得当nN时， |Xn - a|0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|0，有Z属于实数，当x,yZ时，有|f(x)-f(y)|成立。 4 函数的连续性 如果函数f(x)在点x=a处及其附近有定义，而且函数在x=a处的极限值和f(a)相等，就说函数 f(x)在x=a处连续。 函数若在区间(m,n)内所有点上都连续，就说函数在区间(m,n)内连续。 函数若在区间(m,n)内所有点上都连续，而且在x=m点上右极限等于f(m)，在x=n点上左极限等于f(n)，就说函数在区间m,n内连续。 5 导数的定义 一般地，假设一元函数 yf(x )在 x0点的附近(x0a ，x0 a)内有定义; 当自变量的增量x xx00时函数增量yf（x） f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率). 导数的几何意义若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x) 或y，称之为f的导函数，简称为导数。 函数yf（x）在x0点的导数f（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0x0，f（x0） 点的切线斜率 6 微分的定义 设函数y = f(x)在x的领域内有定义，x0及x0 + x在此区间内。如果函数的增量y = f(x0 + x) f(x0)可表示为 y = Ax + o(x)（其中A是不依赖于x的常数），而o(x0)是比x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy = Ax。函数的微分是函数增量的主要部分，且是x的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（X） （其实我觉得导数和微分就是一个东西，不用太区分开了的） 7 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在（a，b）上可导，a,b上连续，则必有一a,b使得f()*(b-a)=f(b)-f(a) 示意图令f(x)为y，所以该公式可写成y=f(x+x)*x (01)8泰勒公式 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!?(x-x.)2,+f(x.)/3!?(x-x.)3+f(n)(x.)/n!?(x-x.)n+Rn 其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x.)(n+1),这里在x和x.之间 9 不定积分 设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x) C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即f(x)dx=F(x) C。 不定积分其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。 10 实数的完备性 （1）确界原理 （上面有）（2）单调有界定理 若数列an递增（递减）有上界（下界），则数列an收敛，即单调有界函数必有极限。（3）区间套定理有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理） （4）有限覆盖定理 设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a,b.开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S. 若H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为S的一个有限（无限）覆盖. （5）聚点定理 聚点定理(也称为维尔斯特拉斯聚点定理)经典形式:实轴上的任一有界无限点集