九年级数学下册 24 圆小结与复习课件 （新版）沪科版.ppt

第24章圆 小结与复习 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 要点梳理 一 旋转的有关概念及性质 1 在平面内 一个图形绕着一个定点 如点o 旋转一定的角度 如 得到另一个图形的变换 叫作 定点o叫作 叫作 旋转 旋转中心 旋转角 1 对应点到旋转中心的距离相等 2 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 都等于旋转角 3 旋转中心是唯一不动的点 3 旋转的性质 2 在平面内 一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后 能够与原图形重合 这样的图形叫作 这个定点就是 旋转对称图形 旋转中心 1 把一个图形 如 abo 绕定点o旋转180 得到一个能够与它重合的图形 如 cdo 这时 图形 abo与图形 cdo关于点o的对称叫作 点o就是 这两个图形中的对应点叫做关于中心的 二 中心对称的有关概念及性质 中心对称 对称中心 对称点 2 把一个图形绕某一个定点旋转180 如果旋转后的图形能和原来图形重合 那么这个图形叫作 这个定点叫做它的 互相重合的点叫做 中心对称图形 对称中心 对称点 成中心对称的两个图形中 对称点的连线经过 且被对称中心 3 中心对称的性质 对称中心 平分 三 与圆有关的概念 1 圆 平面内到定点 圆心o 的距离等于定长 半径r 的所有点的组成的图形叫做圆 2 弦 连结圆上任意两点的线段 3 直径 经过圆心的弦是圆的直径 直径是最长的弦 4 劣弧 小于半圆的弧 5 优弧 大于半圆的弧 6 等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧 8 圆心角 顶点在圆心 角的两边与圆相交 9 圆周角 顶点在圆上 角的两边与圆相交 注意 1 确定圆的要素 圆心决定位置 半径决定大小 2 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 7 弦心距 圆心到弦的距离 11 三角形的外接圆 外心 三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心 12 三角形的内切圆 注意 1 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 2 一个三角形的外接圆是唯一的 3 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 内心 三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心 注意 1 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 2 一个三角形的内切圆是唯一的 3 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 圆锥的高 母线 我们把连接圆锥的顶点s和底面圆上任一点的连线sa sb等叫做圆锥的母线 1 圆锥的母线 圆锥有无数条母线 它们都相等 2 圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高 13 圆锥的相关概念 14 正多边形的相关概念 1 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心 称其为正多边形的中心 2 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径 3 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 4 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等 叫做正多边形的中心角 四 与圆有关的位置关系 1 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r来比较得到 设 o的半径是r 点p到圆心的距离为d 则有 点p在圆内 d r 点p在圆上 d r 点p在圆外 d r 注意 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系 反过来 也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系 2 直线与圆的位置关系 设r为圆的半径 d为圆心到直线的距离 2个 交点 割线 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 d r d r d r 1 垂径定理 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的 注意 条件中的 弦 可以是直径 结论中的 平分弧 指平分弦所对的劣弧 优弧 两条弧 2 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 五 有关定理及其推论 2 有关圆心角 弧 弦 弦心距的性质 1 定理在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对弦的弦心距相等 2 推论在同圆或等圆中 如果两个圆心角以及这个角所对的弧 所对的弦 所对的弦心距中 有一组量相等 那么其余各组量都分别相等 3 圆周角定理 1 圆心角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一般 2 推论1 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧也相等 注意 同弧 指 在一个圆中的同一段弧 等弧 指 在同圆或等圆中相等的弧 同弧或等弧 不能改为 同弦或等弦 3 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 4 圆内接四边形定理 圆内接四边形的对角互补 且任何一个补角等于它的内对角 4 与切线相关的定理 1 判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 3 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 两条的切线长相等 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角 六 圆中的计算问题 1 弧长公式 半径为r的圆中 n 圆心角所对的弧长l 2 扇形面积公式 半径为r 圆心角为n 的扇形面积s 或 3 弓形面积公式 弓形的面积 扇形的面积 三角形的面积 3 圆锥的侧面积为 注意 圆锥的侧面展开图的形状是扇形 它的半径等于圆锥的母线长 它的弧长是圆锥底面圆的周长 4 圆锥的侧面积 1 圆锥的侧面展开图是一个 2 如果圆锥母线长为l 底面圆的半径为r 那么这个扇形的半径为 扇形的弧长为 扇形 l 考点讲练 例1如图 在rt abc中 acb 90 点d e分别在ab ac上 ce bc 连接cd 将线段cd绕点c按顺时针方向旋转90 后得cf 连接ef 1 补充完成图形 2 若ef cd 求证 bdc 90 解析 1 根据题意 找准旋转中心 旋转方向及旋转角度 补全图形即可 2 由旋转的性质得 dcf为直角 由ef与cd平行 得到 efc为直角 利用sas得到 bdc与 efc全等 利用全等三角形对应角相等即可得证 f 解 1 补全图形 如图所示 2 由旋转的性质得 dc fc dcf 90 dce ecf 90 acb 90 dce bcd 90 ecf bcd ef dc efc dcf 180 efc 90 bdc efc sas bdc efc 90 1 如图 在rt abc中 acb 90 b 60 bc 2 a b c 可以由 abc绕点c顺时针旋转得到 其中点a 与点a是对应点 点b 与点b是对应点 连接ab 且a b a 在同一条直线上 则aa 的长为 解析 利用互余计算出 bac 30 从而得到ab 2bc 4 根据旋转的性质得a b ab 4 b c bc 2 a c ac a bac 30 a b c b 60 于是可判断 caa 为等腰三角形 所以 caa a 30 再利用三角形外角性质计算出 b ca 30 可得b a b c 2 所以aa ab a b 6 6 例2在图中 bc是 o的直径 ad bc 若 d 36 则 bad的度数是 a 72 b 54 c 45 d 36 解析根据圆周角定理的推论可知 b d 36 ad bc 所以 bad 54 故选b b o 135 50 例3工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口 假设钢珠的直径是10mm 测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm 如图所示 则这个小圆孔的宽口ab的长度为mm 解析设圆心为o 连接ao 作出过点o的弓形高cd 垂足为d 可知ao 5mm od 3mm 利用勾股定理进行计算 ad 4mm 所以ab 8mm 8 c d o 1 垂径定理是根据圆的对称性推导出来的 该定理及其推论是证明线段相等 垂直关系 弧相等的重要依据 利用垂径定理常作 垂直于弦的直径 辅助线 2 垂径定理常与勾股定理结合在一起 进行有关圆的半径r 圆心到弦的距离d 弦长a等数量的计算 这些量之间的关系是 方法归纳 例4如图 o的直径ae 4cm b 30 则ac 2cm 解析连接ce 则 e b 30 ace 90 所以ac ae 2cm 圆中有直径 通常构造直径所对的圆周角 将问题转化到直角三角形中解决 方法归纳 5 多解题 如图 ab是 o的直径 弦bc 2 f是弦bc的中点 abc 60 若动点e以2cm s的速度从a点出发沿着a b a的方向运动 设运动时间为t s 0 t 3 连接ef 当t s时 bef是直角三角形 f 解析 根据圆周角定理得到直角三角形abc 再根据含30 交点直角三角形的性质得到ab 4cm 则当0 t 3时 即点e从点a到点b再到点o 此时和点o不重合 若 bef是直角三角形 则 bfe 90 或 bfe 90 解析 灯塔a的周围7海里都是暗礁 即表示以a为圆心 7海里为半径的圆中 都是暗礁 渔轮是否会触礁 关键是看渔轮与圆心a之间的距离d的大小关系 例5如图 已知灯塔a的周围7海里的范围内有暗礁 一艘鱼轮在b处测得灯塔a在北偏东600的方向 向东航行8海里到达c处后 又测得该灯塔在北偏东300的方向 如果渔轮不改变航向 继续向东航行 有没有触礁的危险 请通过计算说明理由 参考数据 1 732 d 解 如图 作ad垂直于bc于d 根据题意 得bc 8 设ad为x abc 30 ab 2x bd x acd 90 30 60 ad cd tan60 cd bc bd cd 8 解得x 即渔船继续往东行驶 有触礁的危险 6 o的半径为r 圆心到点a的距离为d 且r d分别是方程x2 6x 8 0的两根 则点a与 o的位置关系是 a 点a在 o内部b 点a在 o上c 点a在 o外部d 点a不在 o上 解析 此题需先计算出一元二次方程x2 6x 8 0的两个根 然后再根据r与d的之间的关系判断出点a与 o的关系 d 例6如图 o为正方形对角线上一点 以点o为圆心 oa长为半径的 o与bc相切于点m 1 求证 cd与 o相切 2 若正方形abcd的边长为1 求 o的半径 1 证明 过点o作on cd于n 连接om bc与 o相切于点m omc 90 四边形abcd是正方形 点o在ac上 ac是 bcd的角平分线 on om cd与 o相切 n 2 解 正方形abcd的边长为1 ac 设 o的半径为r 则oc 又易知 omc是等腰直角三角形 oc 因此有 解得 1 证切线时添加辅助线的解题方法有两种 有公共点 连半径 证垂直 无公共点 作垂直 证半径 有切线时添加辅助线的解题方法是 见切点 连半径 得垂直 2 设了未知数 通常利用勾股定理建立方程 方法归纳 4或8 解析 根本题应分为两种情况 1 p在直线ab下面与直线cd相切 2 p在直线ab上面与直线cd相切 例7如图 将正六边形abcdef放置在直角坐标系内 a 2 0 点b在原点 把正六边形abcdef沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转 每次翻转60 经过2016次翻转之后 点c的坐标是 a 4032 0 b 4032 2 c 4031 d 4033 解析 根据正六边形的特点 每6次翻转为一个循环组循环 用2016除以6 根据商和余数的情况确定出点c的位置 然后求出翻转前进的距离 过点c作cg x于g 求出 cbg 60 然后求出cg bg 再求出og 然后写出点c的坐标即可 d 即 解得r 24 即扇形的圆心角 aob 45 解 1 由题意知 ab cd 设 aob n ao rcm 则co r 8 cm 由弧长公式变形得 2 由 1 知oa 24cm 则co 24 8 16cm s扇形ocd cm2 s扇形oab s纸杯侧 s扇形oab s扇形ocd s纸杯底 s纸杯表 cm2 1 要熟记弧长公式及其变形式公式 即及 2 要熟记圆锥及其侧面展开图的存在的对应的数量关系 即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长 母线长等展开后扇形的半径 方法归纳 8 1 一条弧所对的圆心角为135 弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍 则这条弧的半径为 2 一个底面直径为10cm 母线长为15cm的圆锥 它的侧面展开图圆心角是度 3 若一个正六边形的周长为24 则该正六边形的面积为 40cm 120 例9如图 以ab为直径 点o为圆心的半圆经过点c 若ac bc 则图中阴影部分的面积是 解析 先利用圆周角定理得到 acb 90 则可判断 acb为等腰直角三角形 从而得到 aoc和 boc都是等腰直角三角形 于是s aoc s boc 然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积 求阴影面积常用的方法 直接用公式法 和差法 割补法 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积 方法归纳 9 如图 在半径ac为2 圆心角为90 的扇形内 以bc为直径作半圆 交弦ab于点d 连接cd 则图中阴影部分的面积是 和差法 10 如图 ab是半圆o的直径 点c d是半圆o的三等分点 若弦cd 2 则图中阴影部分的面积为 割补法 第9题图 第10题图 例10如图 在rt abc中 abc 90 以ab为直径的 o交ac于点d 过点d的切线交bc于e 1 求证 bc 2de 2 若tanc de 2 求ad的长 解析 连接bd 则在rt bcd中 be de 利用角的互余证明 c edc 解 1 证明 连接bd ab为直径 abc 90 be切 o于点b 又 de切 o于点d de be ebd edb adb 90 ebd c 90 b