九年级数学下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系教学课件 （新版）湘教版.ppt

1 4二次函数与一元二次方程的联系 情境引入 课堂小结 合作探究 随堂训练 导入语 我们学习了一元一次方程kx b 0 k 0 和一次函数y kx b k 0 后 讨论了它们之间的关系 当一次函数中的函数值y 0时 一次函数y kx b就转化成了一元一次方程kx b 0 且一次函数y kx b k 0 的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx b 0的解 问题 现在我们学习了一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 和二次函数y ax2 bx c a 0 它们之间是否也存在一定的关系呢 情景引入 问题 如图以40m s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 1 球的飞行高度能否达到15m 如能 需要多少飞行时间 2 球的飞行高度能否达到20m 如能 需要多少飞行时间 3 球的飞行高度能否达到20 5m 为什么 4 球从飞出到落地需要用多少时间 合作探究 所以可以将问题中h的值代入函数解析式 得到关于t的一元二次方程 如果方程有合乎实际的解 则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值 否则 说明球的飞行高度不能达到问题中h的值 15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 当球飞行1s和3s时 它的高度为15m 分析 由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h 20t 5t2 t1 1s t2 3s 15m 15m 2 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 当球飞行2s时 它的高度为20m t1 2s 20m 3 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 球的飞行高度达不到20 5m 20m 4 解方程 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 当球飞行0s和4s时 它的高度为0m 即0s时球从地面发出 4s时球落回地面 0 从上面可以看出 二次函数与一元二次方程关系密切 一般地 我们可以利用二次函数y ax2 bx c深入讨论一元二次方程ax2 bx c 0 例如 已知二次函数y x2 4x的值为3 求自变量x的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即x2 4x 3 0 反过来 解方程x2 4x 3 0又可以看作已知二次函数y x2 4x 3的值为0 求自变量x的值 例 求一元二次方程的根的近似值 精确到0 1 分析 一元二次方程的根就是 抛物线与x轴的交点的横坐标 因此我们可以先画出这条抛物线 然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标 这种解一元二次方程的方法叫作图象法 作出函数图象的图象可以发现抛物线与x轴一个交点在 1与0之间 另一个在2与3之间 通过观察或测量 可得到抛物线与x轴交点的横坐标在约为 0 4或2 4 即一元二次方程的实数根为x1 0 4 x22 4还可以用等分计算的方法确定方程x2 2x 1 0的近似根为 x1 0 4 x2 2 4 例题学习 归纳 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2 x 15 0的近似根 1 用描点法作二次函数y 2x2 x 15的图象 2 观察估计二次函数y 2x2 x 15的图象与x轴的交点的横坐标 由图象可知 图象与x轴有两个交点 其横坐标一个是 3 另一个在2与3之间 分别约为3和2 5 可将单位长再十等分 借助计算器确定其近似值 3 确定方程2x2 x 15 0的解 由此可知 方程2x2 x 15 0的近似根为 x1 3 x2 2 5 一元二次方程ax2 bx c m的根就是二次函数y ax2 bx c与直线y m m是实数 图象交点的横坐标 既可以用求根公式求二次方程的根 也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根 说一说 例2 如图 丁丁在扔铅球时 铅球沿抛物线运行 其中x是铅球离初始位置的水平距离 y是铅球离地面的高度 1 当铅球离地面的高度为2 1m它离初始位置的水平距离是多少 2 铅球离地面的高度能否达到2 5m 它离初始位置的水平距离是多少 3 铅球离地面的高度能否达到3m 为什么 x y 解 1 由抛物线的表达式得 即x2 6x 5 0 解得x1 1x2 5 当铅球离地面高度为2 1m时 它离初始位置的水平距离是1m或5m 当铅球离地面高度为2 5m时 它离初始位置的水平距离是3m 2 由抛物线的表达式得 即x2 6x 9 0 解得x1 x2 3 所以铅球离地面高度不能达到3m 3 由抛物线的表达式得 即x2 6x 14 0 因为 6 2 4x1x14 0所以方程无实数根 从例2可以看出 已知二次函数y ax2 bx c a0 某一个函数值y m求对应的自变量的值时 需要解一元二次方程ax2 bx c m 这样二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了 2 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 这对应着一元二次方程根的三种情况 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不等的实数根 一般地 从二次函数y ax2 bx c的图象可知 1 如果抛物线y ax2 bx c与x轴有公共点 公共点的横坐标是x0 那么当x x0时 函数的值是0 因此x x0就是方程ax2 bx c 0的一个根 课堂小结 有两个交点 有两个相异的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0 说明 a 0 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时 函数的值是多少 由此 你能得出相应的一元二次方程的根吗 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1 1 抛物线y x2 x 2与x轴有两个公共点 它们的横坐标是 2 1 当x取公共点的横坐标时 函数的值是0 由此得出方程x2 x 2 0的根是 2 1 2 抛物线y x2 6x 9与x轴有一个公共点 这点的横坐标是3 当x 3时 函数的值是0 由此得出方程x2 6x 9 0有两个相等的实数根3 3 抛物线y x2 x 1与x轴